ZVA Riemanndichte zuordnen < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Es sei X eine auf (0,1] gleichverteilte ZVA (Zufallsvariable), d.h. mit Riemann-Dichte [mm] f_X(.)=1_{(0,1]}(.).
[/mm]
Bestimmen Sie die Riemann-Dichten der Zufallsvariablen [mm] X^2, \sqrt{X} [/mm] und -log X.
b) Gegeben ist eine ZVA X~ [mm] \mathcal{E}(2) [/mm] $$ [mm] (\mathcal{E} [/mm] bezeichnet die Exponentialverteilung mit Parameter [mm] \alpha). [/mm] Bestimmen Sie Riemann-Dichte und Verteilungsfunktion der Zufallsvariable Y=exp(X). |
Hallo!
Ich höre momentan die Grundvorlesung Stochastik.
Eine Riemann-Dichte ist, wenn ich das richtig verstanden habe, einfach eine Funktion, deren Funktionswerte immer größer oder gleich null sind und für die gilt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1.
[/mm]
Aber ich kann mit der beschriebenen Dichte nicht viel anfangen. Meint der Punkt, dass ich dort beliebige Sachen einsetzen soll? Heißt das, dass ich sozusagen je nach ZVA eine Darstellung für den Punkt finden soll?
Denn mir ist zwar einigermaßen klar, was eine Riemann-Dichte ist, aber ich weiß nicht, wie ich einer ZVA eine Riemann-Dichte zuordnen soll.
Leider habe ich nicht so richtig einen Ansatz, daher wäre einfach ein Tipp, wie ich an die Aufgabe heran gehen soll super!
Vielen Dank schonmal, Wiebke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mi 05.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
bei der Loesung derartiger Aufgaben ist vielfach folgende
Vorgehensweise hilfreich:
Die Zufallsvariable $X_$ wird mittels $g_$ zur Zufallsvariablen $Y=g(X)_$.
1) Klaere, welche Werte $Y_$ annimmt. Bezeichne die Menge dieser Werte mit [mm] $M_y$.
[/mm]
2) Waehle [mm] $y\in M_y$ [/mm] und bestimme [mm] $G(y)=P(Y\le [/mm] y)$, also die Verteilungsfunktion von $Y_$.
3) Leite $G_$ zur Bestimmung der Dichte von $Y_$ ab.
In 2) solltest du die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Verteilung von
$X_$ bestimmen.
Machen wir das Ganze an b) deutlich:
1) Offenbar nimmt [mm] $Y=\exp(X)$ [/mm] nur Werte $>1_$ an: [mm] $M_y=(1,\infty)$.
[/mm]
2) Waehle $y>1_$. Dann ist
[mm] $G(y)=P(Y\le y)=P(\log(Y)\le \log(y))=P(X\le \log(y))=1-\exp(-2\log(y))=1-\frac{1}{y^2}$.
[/mm]
Die *vollstaendige* Verteilungsfunktion von $Y_$ ist folglich
[mm] $G(y)=\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)1_{(1,\infty)}(y)$.
[/mm]
3) Ist mir zu schwer. 
vg Luis
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Erstmal vielen Dank für die Anleitung und ausführliche Lösung! Jetzt sehe ich das ganze schon viel klarer.
Ein Problem habe ich allerdings noch und zwar bei folgendem Schritt:
> [mm]P(X\le \log(y))=1-\exp(-2\log(y))[/mm].
Ich weiß, dass man da über das Integral geht und dann irgendwie substituiert, habe das hier mal probiert:
$ [mm] P(X\le \log(y))= \integral_{-\infty}^{log(y)}{f(t) dt} [/mm] $
Substituiere: $ log(y)=u [mm] \Rightarrow [/mm] y=exp(u) $. Aber wie mache ich das jetzt mit dem f(t) und dem y?
Wenn ich das verstanden habe, stelle ich Lösungsvorschläge zu den anderen Aufgaben rein.
Lg Wiebke
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Hat zwar ein wenig gedauert aber ich glaub jetzt hab ichs verstanden ;)
Also $ G(y)=P(Y [mm] \le [/mm] y)= P (log(Y) [mm] \le [/mm] log(y)) = P (X [mm] \le [/mm] log(y))=F(log(y))$
Und da zur Zufallsvariable X die Verteilungsfunktion $ [mm] f_{\alpha}(x)=1-exp(-\alpha \cdot [/mm] x) , $ für $x [mm] \le [/mm] 0$ was wir ja in 1) vorausgesetzt haben, ist und da [mm] $\alpha [/mm] =2$, gilt dann:
$F(log(y))=1-exp(-2 [mm] \cdot log(y))=1-\frac{1}{y^2}$
[/mm]
Damit habe ich aber erst die Verteilungsfunktion. Die Dichtefunktion erhalte ich durch ableiten, sie lautet also:
$f(y)=2 [mm] \cdot \frac{1}{y^3}$
[/mm]
Das wärs was ich zu Teil 2 aufschreiben würde.
Jetzt meine Überlegungen zu Teil 1 [mm] $X^2$.
[/mm]
1. [mm] $Y=X^2 \Rightarrow \sqrt(Y)=X$ [/mm] oder [mm] $-\sqrt(Y)=X$ [/mm] (fällt weg, da X auf (0,1] verteilt ist und damit nicht negativ ist oder?)
Y steht unter der Wurzel kann also nur positive Werte annehmen.
Damit gilt: [mm] $M_Y=(0,\infty)$.
[/mm]
2) Wähle [mm] $y\in M_Y$.
[/mm]
$G(y)=P(Y [mm] \le y)=P(\sqrt(Y) \le \sqrt(y))= F(\sqrt(y))$
[/mm]
Da X auf (0,1] gleichverteilte ZVA ist muss ich jetzt deren Verteilungsfunktion betrachten, die lautet:
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x$ \le a$ \\ \frac{x-a}{b-a}, & \mbox{für } $a
Da X auf (0,1] gleichverteilt ist und nicht auf [0,1], weiß ich jetzt nicht was ich für a bzw. b wählen soll..
Allgemein gilt: [mm] G(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } $ \sqrt(y) \le a$ \\ \frac{\sqrt(y)-a}{b-a}, & \mbox{für } $a<\sqrt(y)
Für die Dichtefunktion würde ich die einzeln ableiten und erhalte:
[mm] g(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } $\sqrt(y) \le a$ \\ \frac{-a}{b-a}, & \mbox{für } $ a<\sqrt(y)
Stimmt das so?
Danke schonmal! Lieben Gruß, Wiebke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Do 06.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin Wiebke
> Dichtefunktion erhalte ich durch ableiten, sie lautet
> also:
> [mm]f(y)=2 \cdot \frac{1}{y^3}[/mm]
> Das wärs was ich zu Teil 2
> aufschreiben würde.
Noch schoener waere es, wenn du auch den Fall $y<1_$ beschreiben wuerdest, als $f(y)=0_$ fuer $y<1_$.
>
> Jetzt meine Überlegungen zu Teil 1 [mm]X^2[/mm].
> 1. [mm]Y=X^2 \Rightarrow \sqrt(Y)=X[/mm] oder [mm]-\sqrt(Y)=X[/mm] (fällt
> weg, da X auf (0,1] verteilt ist und damit nicht negativ
> ist oder?)
> Y steht unter der Wurzel kann also nur positive Werte
> annehmen.
> Damit gilt: [mm]M_Y=(0,\infty)[/mm].
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $M_y=(0,1)$
[/mm]
> 2) Wähle [mm]y\in M_Y[/mm].
> [mm]G(y)=P(Y \le y)=P(\sqrt(Y) \le \sqrt(y))= F(\sqrt(y))[/mm]
>
> Da X auf (0,1] gleichverteilte ZVA ist muss ich jetzt deren
> Verteilungsfunktion betrachten, die lautet:
> [mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x$ \le a$ \\ \frac{x-a}{b-a}, & \mbox{für } $a
Das ist der allgemeine Fall einer auf dem Intervall $(a,b)_$ gleichverteilten Zufallsvariablen. Im vorliegenden Fall ist $a=0_$ und $b=1_$.
vg Luis
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> Noch schoener waere es, wenn du auch den Fall [mm]y<1_[/mm]
> beschreiben wuerdest, als [mm]f(y)=0_[/mm] fuer [mm]y<1_[/mm].
Da liegt im Moment mein Problem. Also nochmal zu b), da sagst du am Anfang Y kann nur Werte >1 annehmen.
Warum? Meine Überlegung dazu war, ob es sich auf die Dichtefunktion von X bezieht....
Dann sagst du [mm] $M_y=(1,\infty)$ [/mm] und wählst $y [mm] \in M_y$.
[/mm]
Ich versstehe nicht, warum du diesen Teil überhaupt machst, wenn man y nachher wieder uneingeschränkt betrachten soll. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Meine Überlegungen zu a) [mm] $X^2$:
[/mm]
[mm] Y=X^2 \Rightarrow \sqrt(Y)=X [/mm]
Hierzu eine Frage: Kann [mm] $X=-\sqrt(Y)$ [/mm] sein? Schwimme da leicht, denn eigentlich sind ja ZVS Abbildungen und wie man aus denen überhaupt die Wurzel ziehen soll ist mir eigentlich schon schleierhaft....
>$ G(y)=P(Y [mm] \le y)=P(\sqrt(Y) \le \sqrt(y))= F(\sqrt(y)) [/mm] $
[mm] $=\integral_{-\infty}^{\sqrt(y)}{f(x) dx}$
[/mm]
Leider kennen wir laut Vorlesung F noch nicht, sondern nur die Dichtefunktion f. Daher habe ich F aus f durch integrieren erstmal allgemein hergeleitet, dann brauche ich auch nicht substituieren, sondern setzte nachher ein: (Da ich ein halboffenes Intervall habe, habe ich die [mm] $\le$ [/mm] und < entsprechend angeglichen.)
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } $ x \le a $ \\ \frac{1}{b-a}, & \mbox{für } $ a < x \le b $ \\ 0, & \mbox{für } $ b < x $ \end{cases} [/mm]
Je nachdem, wo das x liegt, hat man drei verschiedene Fälle und somit Integrale, aber es läuft auf folgendes hinaus:
[mm] \Rightarrow F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x $ \le a $ \\ \frac{x-a}{b-a}, & \mbox{für } $ a
Auf unsere Aufgabe bezogen ist a=0 und b=1.
Da ist es doch egal, ob das Intervall halboffen, offen oder abgeschlossen ist oder?
[mm] \Rightarrow G(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } $ \sqrt(y) \le 0 $ \\ \sqrt(y), & \mbox{für } $ 0<\sqrt(y) \le 1 $ \\ 1, & \mbox{für } $ 1 < \sqrt(y) $ \end{cases} [/mm]
Jetzt erhält man durch differenzieren die Dichtefunktion:
[mm] g(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } $ \sqrt(y) \le 0 $ \\ \frac{1}{2 \cdot \sqrt(y)}, & \mbox{für } $ 0<\sqrt(y) \le 1 $ \\ 0, & \mbox{für } $ 1 < \sqrt(y) $ \end{cases} [/mm]
[mm] $=1_{ 0 < y \le 1} \cdot \frac [/mm] {1}{2 [mm] \cdot \sqrt(y)}$
[/mm]
Ist das jetzt alles formal so richtig? Für die anderen Beiden geht das dann eigentlich ganz schnell analog, wenn man F(x) erstmal gebildet hat. Deswegen poste ich das jetzt nicht auch noch.
Danke für deine ausführlichen Hinweise und schnellen Antworten! Es hat mir total geholfen!
Lieben Gruß, WiebkeMarie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Do 06.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> > Noch schoener waere es, wenn du auch den Fall [mm]y<1_[/mm]
> > beschreiben wuerdest, als [mm]f(y)=0_[/mm] fuer [mm]y<1_[/mm].
>
> Da liegt im Moment mein Problem. Also nochmal zu b), da
> sagst du am Anfang Y kann nur Werte >1 annehmen.
> Warum? Meine Überlegung dazu war, ob es sich auf die
> Dichtefunktion von X bezieht....
$X_$ ist exponentialverteilt, nimmt also Werte $>0_$ an. Mithin nimmt [mm] $\exp(X)$ [/mm] Werte $>1_$ an.
> Dann sagst du [mm]M_y=(1,\infty)[/mm] und wählst [mm]y \in M_y[/mm].
> Ich
> versstehe nicht, warum du diesen Teil überhaupt machst,
> wenn man y nachher wieder uneingeschränkt betrachten soll.
>
[mm] $M_y$ [/mm] ist die Menge, wo fuer $Y_$ "die Musik spielt". Fuer Werte [mm] $y\notin M_y$ [/mm] ist $f(y)=0$. Das sollte man der Vollstaendigkeit wegen nur noch einmal explizit hinschreiben.
>
> Meine Überlegungen zu a) [mm]X^2[/mm]:
> [mm]Y=X^2 \Rightarrow \sqrt(Y)=X[/mm]
>
> Hierzu eine Frage: Kann [mm]X=-\sqrt(Y)[/mm] sein? Schwimme da
> leicht, denn eigentlich sind ja ZVS Abbildungen und wie man
> aus denen überhaupt die Wurzel ziehen soll ist mir
> eigentlich schon schleierhaft....
Nein, da fuer $X_$ die Musik im Intervall $(0,1)_$ spielt und $X_$ somit nicht negativ werden kann. Also: [mm] $+\sqrt(Y)=X$.
[/mm]
>
> >[mm] G(y)=P(Y \le y)=P(\sqrt(Y) \le \sqrt(y))= F(\sqrt(y))[/mm]
>
> [mm]=\integral_{-\infty}^{\sqrt(y)}{f(x) dx}[/mm]
>
> Leider kennen wir laut Vorlesung F noch nicht, sondern nur
> die Dichtefunktion f. Daher habe ich F aus f durch
> integrieren erstmal allgemein hergeleitet, dann brauche ich
> auch nicht substituieren, sondern setzte nachher ein: (Da
> ich ein halboffenes Intervall habe, habe ich die [mm]\le[/mm] und <
> entsprechend angeglichen.)
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } $ x \le a $ \\ \frac{1}{b-a}, & \mbox{für } $ a < x \le b $ \\ 0, & \mbox{für } $ b < x $ \end{cases}[/mm]
>
> Je nachdem, wo das x liegt, hat man drei verschiedene
> Fälle und somit Integrale, aber es läuft auf folgendes
> hinaus:
>
> [mm]\Rightarrow F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x $ \le a $ \\ \frac{x-a}{b-a}, & \mbox{für } $ a
>
> Auf unsere Aufgabe bezogen ist a=0 und b=1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da ist es doch egal, ob das Intervall halboffen, offen
> oder abgeschlossen ist oder?
Ja.
>
> [mm]\Rightarrow G(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } $ \sqrt(y) \le 0 $ \\ \sqrt(y), & \mbox{für } $ 0<\sqrt(y) \le 1 $ \\ 1, & \mbox{für } $ 1 < \sqrt(y) $ \end{cases}[/mm]
>
> Jetzt erhält man durch differenzieren die Dichtefunktion:
> [mm]g(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } $ \sqrt(y) \le 0 $ \\ \frac{1}{2 \cdot \sqrt(y)}, & \mbox{für } $ 0<\sqrt(y) \le 1 $ \\ 0, & \mbox{für } $ 1 < \sqrt(y) $ \end{cases}[/mm]
>
> [mm]=1_{ 0 < y \le 1} \cdot \frac {1}{2 \cdot \sqrt(y)}[/mm]
>
> Ist das jetzt alles formal so richtig?
Formaler haette ich es nicht ausdruecken koennen.
> Für die anderen Beiden geht das dann eigentlich ganz schnell analog, wenn
> man F(x) erstmal gebildet hat. Deswegen poste ich das jetzt
> nicht auch noch.
>
> Danke für deine ausführlichen Hinweise und schnellen
> Antworten! Es hat mir total geholfen!
Gerne. Hat mir Spass gemacht.
vg Luis
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Hi,
da ich genau an der selben Aufgabe sitze, aber anscheinend diese Aufgabe leider nicht so schnell begreife, stelle ich eine Nachfrage:
Ich möchte die Riemann-Dichte der Zufallsvariable [mm] X^2 [/mm] bestimmen. Dann gilt [mm] M_y=[0,\infty), [/mm] oder?
[mm] G(y)=P(Y\le [/mm] y)=??? Wie mache ich das weiter? Ich brauche bitte eine etwas ausführlichere Anleitung.
Vielen lieben Dank!
Gruß
Kirsten
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