Z[X] ist kein Hauptidealring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Di 09.10.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | | Zu zeigen: [mm] \IZ[X] [/mm] ist kein Hauptidealring |
Hallo Leute,
versuche gerade das obige zu beweisen.
Habe folgendes Gegenbeispiel und wollte fragen ob meine Argumentation so richtig ist, bzw. wie ich es anders machen müsste.
Also:
Betrachte das Ideal (x,2) in [mm] \IZ[X].
[/mm]
Angenommen [mm] \IZ[X] [/mm] wäre Hauptidealring, dann muss gelten:
[mm] \existis [/mm] q [mm] \in \IZ[X] [/mm] sodass I=(x,2)=(q)
Daraus folgt: q teilt x und q teil 2, das ist jedoch nur dann erfüllt wenn q=1 ist. Jedoch ist [mm] 1\not\in [/mm] (x,2). und somit ist [mm] \IZ[X] [/mm] kein Hauptidealring.
Hoffe ihr könnt mir helfen...
viele Grüße, kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Di 09.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
ja das sieht sehr gut aus. das einzige was man vielleicht noch etwas genauer begründen könnte ist, dass nur $1$ (und $-1$) gemeinsame teiler von $2$ und $X$ sind.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 09.10.2007 | | Autor: | kittie |
1 und -1 deshalb, da ich sont aus [mm] \IZ[x] [/mm] rausfliegen würde, denn die koeffizienten müssen in [mm] \IZ [/mm] liegen, und das wäre nur bei für q=1 oder q=-1 der fall!!!
Stimmt das so???
viele Grüße, kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Di 09.10.2007 | | Autor: | andreas |
> 1 und -1 deshalb, da ich sont aus [mm]\IZ[x][/mm] rausfliegen würde,
> denn die koeffizienten müssen in [mm]\IZ[/mm] liegen, und das wäre
> nur bei für q=1 oder q=-1 der fall!!!
>
> Stimmt das so???
ja das passt.
grüße
andreas
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