Z/m homomorphes Bild von Z < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 05.04.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Die Aussage, dass [mm] $\IZ [/mm] /m$ ein homomorphes Bild von [mm] \IZ [/mm] ist, können wir mit der Kongruenzrelation folgendermaßen ausdrücken:
[mm] $a_1\equiv a_2$ [/mm] (mod m) und [mm] $b_1\equiv b_2$ [/mm] (mod m) [mm] \Longrightarrow $a_1+b_1\equiv a_2+b_2$ [/mm] (mod m) und [mm] $a_1b_1\equiv a_2b_2$ [/mm] (mod m) |
Hey, habe diese Frage schon vorher einmal mit anderen Fragen zusammen gestellt, dachte dass vielleicht aufgrund von zu vielen Fragen nicht auf diese Frage geantwortet wurde und wollte es noch mal seperat probieren.
Also, dass [mm] $\IZ/m [/mm] ein homomorphes Bild von [mm] \IZ [/mm] ist, versteh ich, denn es gibt einen wohldefinierten Ringepimorphismus [mm] $f:\IZ\to\IZ/m [/mm] mit [mm] $f(x)=x+m\IZ.
[/mm]
Was bedeutet aber dann, wenn es hier heißt, dass die Tatsache, dass [mm] $\IZ/m [/mm] ein homomorphes Bild von [mm] \IZ [/mm] ist, auch so ausgdrückt werden kann:
[mm] $a_1\equiv a_2$ [/mm] (mod m) und [mm] $b_1\equiv b_2$ [/mm] (mod m) [mm] \Longrightarrow $a_1+b_1\equiv a_2+b_2$ [/mm] (mod m) und [mm] $a_1b_1\equiv a_2b_2$ [/mm] (mod m) ?
Diese Kongruenzrelation drückt doch nur mit der Moduloschreibweise aus, dass die Addition und Multiplikation in [mm] \IZ/m [/mm] unabhängig von der Represanten der Restklassen ist.
Wie ist das dann zu verstehen, wenn dies die Aussage ausdrücken soll?
Würde mich sehr über Tipps freuen.
Vielen Dank
Diddy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Di 05.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Diddy!
> Die Aussage, dass [mm]\IZ /m[/mm] ein homomorphes Bild von [mm]\IZ[/mm] ist,
> können wir mit der Kongruenzrelation folgendermaßen
> ausdrücken:
>
> [mm]a_1\equiv a_2[/mm] (mod m) und [mm]b_1\equiv b_2[/mm] (mod m)
> [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]a_1+b_1\equiv a_2+b_2[/mm] (mod m) und
> [mm]a_1b_1\equiv a_2b_2[/mm] (mod m)
>
> Hey, habe diese Frage schon vorher einmal mit anderen
> Fragen zusammen gestellt, dachte dass vielleicht aufgrund
> von zu vielen Fragen nicht auf diese Frage geantwortet
> wurde und wollte es noch mal seperat probieren.
Ja, die Frage hatte ich gesehen; die Laenge zusammen damit, dass ich nicht viel Zeit hatte, hat dazu gefuehrt dass ich nicht geantwortet habe. Aber das hol ich nun (fuer diesen Teil) nach :)
> Also, dass [mm]$\IZ/m[/mm] ein homomorphes Bild von [mm]\IZ[/mm] ist, versteh
> ich, denn es gibt einen wohldefinierten Ringepimorphismus
> [mm]$f:\IZ\to\IZ/m[/mm] mit [mm]$f(x)=x+m\IZ.[/mm]
Genau.
> Was bedeutet aber dann, wenn es hier heißt, dass die
> Tatsache, dass [mm]$\IZ/m[/mm] ein homomorphes Bild von [mm]\IZ[/mm] ist,
> auch so ausgdrückt werden kann:
> [mm]a_1\equiv a_2[/mm] (mod m) und [mm]b_1\equiv b_2[/mm] (mod m)
> [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]a_1+b_1\equiv a_2+b_2[/mm] (mod m) und
> [mm]a_1b_1\equiv a_2b_2[/mm] (mod m) ?
>
> Diese Kongruenzrelation drückt doch nur mit der
> Moduloschreibweise aus, dass die Addition und
> Multiplikation in [mm]\IZ/m[/mm] unabhängig von der Represanten der
> Restklassen ist.
Nicht nur: es zeigt auch, dass die Aequivalenzrelation [mm] $\sim$, [/mm] definiert durch $a [mm] \sim [/mm] b [mm] :\Longleftrightarrow [/mm] a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \pmod{m}$, [/mm] eine Kongruenzrelation auf [mm] $\IZ$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Di 05.04.2011 | | Autor: | diddy449 |
> Ja, die Frage hatte ich gesehen; die Laenge zusammen damit,
> dass ich nicht viel Zeit hatte, hat dazu gefuehrt dass ich
> nicht geantwortet habe. Aber das hol ich nun (fuer diesen
> Teil) nach :)
Kein Vorwurf, hatte mir später auch überlegt, dass das zu viel auf einmal gefragt war.^^
> > Was bedeutet aber dann, wenn es hier heißt, dass die
> > Tatsache, dass [mm]$\IZ/m[/mm] ein homomorphes Bild von [mm]\IZ[/mm] ist,
> > auch so ausgdrückt werden kann:
> > [mm]a_1\equiv a_2[/mm] (mod m) und [mm]b_1\equiv b_2[/mm] (mod m)
> > [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]a_1+b_1\equiv a_2+b_2[/mm] (mod m) und
> > [mm]a_1b_1\equiv a_2b_2[/mm] (mod m) ?
> >
> > Diese Kongruenzrelation drückt doch nur mit der
> > Moduloschreibweise aus, dass die Addition und
> > Multiplikation in [mm]\IZ/m[/mm] unabhängig von der Represanten der
> > Restklassen ist.
>
> Nicht nur: es zeigt auch, dass die Aequivalenzrelation
> [mm]\sim[/mm], definiert durch [mm]a \sim b :\Longleftrightarrow a \equiv b \pmod{m}[/mm],
> eine Kongruenzrelation auf [mm]\IZ[/mm] ist.
ok, hab den Begriff Kongruenzrelation nachgegooglet und rausbekommen, dass es eine Äquivalenzrelation ist, die mit einer algebraischen Struktur und seinen Operationen verträglich ist.
Das macht dann hier auch Sinn, da die Äquivalenzrelation [mm]a \sim b :\Longleftrightarrow a \equiv b \pmod{m}[/mm] sich dann mit dem + und * in [mm] \IZ [/mm] verträgt.
So dann haben wir eine Kongruenzrelation in [mm] \IZ [/mm] und f bildet jetzt die Elemente, die in Kongruenzrelation zueinander stehen, in eine Restklasse ab und aufgrund der Verträglichkeit der Kongruenzrelation von + und *, muss diese Abbildung ein Homomorphismus sein.
Ist das der Grund, warum diese Kongruenzrelation die Aussage ausdrückt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Mi 06.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Was bedeutet aber dann, wenn es hier heißt, dass die
> > > Tatsache, dass [mm]$\IZ/m[/mm] ein homomorphes Bild von [mm]\IZ[/mm] ist,
> > > auch so ausgdrückt werden kann:
> > > [mm]a_1\equiv a_2[/mm] (mod m) und [mm]b_1\equiv b_2[/mm] (mod m)
> > > [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]a_1+b_1\equiv a_2+b_2[/mm] (mod m) und
> > > [mm]a_1b_1\equiv a_2b_2[/mm] (mod m) ?
> > >
> > > Diese Kongruenzrelation drückt doch nur mit der
> > > Moduloschreibweise aus, dass die Addition und
> > > Multiplikation in [mm]\IZ/m[/mm] unabhängig von der Represanten der
> > > Restklassen ist.
> >
> > Nicht nur: es zeigt auch, dass die Aequivalenzrelation
> > [mm]\sim[/mm], definiert durch [mm]a \sim b :\Longleftrightarrow a \equiv b \pmod{m}[/mm],
> > eine Kongruenzrelation auf [mm]\IZ[/mm] ist.
>
> ok, hab den Begriff Kongruenzrelation nachgegooglet und
> rausbekommen, dass es eine Äquivalenzrelation ist, die mit
> einer algebraischen Struktur und seinen Operationen
> verträglich ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das macht dann hier auch Sinn, da die Äquivalenzrelation [mm]a \sim b :\Longleftrightarrow a \equiv b \pmod{m}[/mm]
> sich dann mit dem + und * in [mm]\IZ[/mm] verträgt.
>
> So dann haben wir eine Kongruenzrelation in [mm]\IZ[/mm] und f
> bildet jetzt die Elemente, die in Kongruenzrelation
> zueinander stehen, in eine Restklasse ab und aufgrund der
> Verträglichkeit der Kongruenzrelation von + und *, muss
> diese Abbildung ein Homomorphismus sein.
>
> Ist das der Grund, warum diese Kongruenzrelation die
> Aussage ausdrückt?
Ja(ein). Die Kongruenzrelation macht die Menge der Restklassen zu einem Ring. Die Abbildung $f$ ist genau dann ein Homomorphismus (dafuer muss ja auf beiden Seiten ein Ring stehen!), wenn die Zielmenge ein Ring ist mit repraesentantenweise definierten Operationen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Do 07.04.2011 | | Autor: | diddy449 |
> > > > [mm]a_1\equiv a_2[/mm] (mod m) und [mm]b_1\equiv b_2[/mm] (mod m)
> > > > [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]a_1+b_1\equiv a_2+b_2[/mm] (mod m) und
> > > > [mm]a_1b_1\equiv a_2b_2[/mm] (mod m) ?
> Die Kongruenzrelation macht die Menge der
> Restklassen zu einem Ring.
Inwiefern macht sie das? Ich erkenne wohldefiniertheit und abgeschlossenheit von * und +, aber was ist mit den anderen Bedingungen.
> Die Abbildung [mm]f[/mm] ist genau dann
> ein Homomorphismus (dafuer muss ja auf beiden Seiten ein
> Ring stehen!), wenn die Zielmenge ein Ring ist mit
> repraesentantenweise definierten Operationen.
>
ok das versteh ich dann, wenn ich die obere Frage verstanden habe.
Gruß Diddy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Do 07.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > > [mm]a_1\equiv a_2[/mm] (mod m) und [mm]b_1\equiv b_2[/mm] (mod m)
> > > > > [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]a_1+b_1\equiv a_2+b_2[/mm] (mod m) und
> > > > > [mm]a_1b_1\equiv a_2b_2[/mm] (mod m) ?
>
> > Die Kongruenzrelation macht die Menge der
> > Restklassen zu einem Ring.
>
> Inwiefern macht sie das? Ich erkenne wohldefiniertheit und
> abgeschlossenheit von * und +, aber was ist mit den anderen
> Bedingungen.
Nun, um Restklassen zu bilden brauchst du eine Aequivalenzrelation. Um auf den Restklassen nun durch [mm] $[a]_\sim [/mm] + [mm] [b]_\sim [/mm] = [a + [mm] b]_\sim$ [/mm] eine Operation zu definieren, die sich aehnlich wie $+$ auf der urspruenglichen Menge verhaelt, musst du ueberpruefen ob diese Definition wohldefiniert ist. Und das ist gerade dazu aequivalent, dass [mm] $\sim$ [/mm] eine Kongruenzrelation (bzgl. $+$) ist.
Die Abgeschlossenheit hast du automatisch, auch alle anderen Bedingungen. "Nur" fuer die Wohldefiniertheit, dazu brauchst du dass es eine Kongruenzrelation ist. (Und genauer: es ist aequivalent dazu.)
LG Felix
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