Z/pZ Körper <=> p prim < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Minchen |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
Z/mZ ist genau dann ein Körper, wenn p prim ist. |
Hallo,
das die Aussage wahr ist, ist klar und kann man überall nachlesen. Aber wie kann man es beweisen.
Wenn p keine Primzahl ist heißt das p lässt sich schreiben als m*n. Dann müsste man noch die Körperaxiome nachprüfen, aber ich hab keine Ahnung wie ich anfangen soll und wie ich Z/pZ einbeziehe.
Wär echt lieb wenn mir jemand helfen könnte
Grüßle Minchen
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Hallo Jasmin,
ich vermute mal, ihr habt schon gezeigt, dass [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] stets ein Ring ist (Restklassenring)
Dann musst du für die Beh. nicht mehr alle Körperaxiome nachweisen, sondern nur noch die Nullteilerfreiheit bzw Existenz des Inversen zu jedem Element
Die "Hinrichtung" kannst du per indirekten Beweis machen:
[mm] [\Rightarrow]: [/mm] Sei [mm] \IZ/p\IZ [/mm] ein Körper
Ann. [mm] p\notin\IP \Rightarrow \exists m,n\in\IZ\backslash\{0\}:p=m\cdot{}n
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overline{0}=\overline{p}=\overline{mn}=\overline{m}\cdot{}\overline{n}
[/mm]
In dem Körper [mm] \IZ/p\IZ [/mm] besitzt nun jedes Element ein Inverses, so auch [mm] \overline{m}, [/mm] dieses sei [mm] \overline{m}'\Rightarrow\overline{m}\cdot{}\overline{m}'=\overline{1}
[/mm]
Überlege, wie du jetzt einen Widespruch basteln kannst (bedenke [mm] m,n\ne [/mm] 0)
Für die Rückrichtung sei [mm] p\in\IP
[/mm]
du musst nun zeigen, dass jedes von [mm] \overline{0} [/mm] verschiedene Element [mm] \overline{a} [/mm] ein Inverses hat.
Bedenke, dass wegen [mm] p\in\IP [/mm] ggt(a,p)=1 ist.
Da gibts ein paar Sätze, die helfen. [mm] (\exists s,t\in\IZ:1=as+pt)
[/mm]
Hoffe, du kommst mit den Tipps ein Stück weiter
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 27.05.2007 | | Autor: | Minchen |
Hallo schachuzipus,
danke erstmal für deine Antwort. Sie hat mir wirklich weitergeholfen.
Aber eine Frage hätte ich immer noch:
Bei der Rückrichtung kann ich die Gleichung 1 = a*s+p*t [mm] (s,t\in\IZ [/mm] ) einfach umformen bis dasteht a^(-1) = s/(1-p*t) und dann sagen das a^(-1) existert? Oder muss ich das mit dem ggT auch noch reinbringen und wenn ja wie?
Danke im Vorraus
Grüßle Minchen
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Hallo,
> Hallo schachuzipus,
> Bei der Rückrichtung kann ich die Gleichung 1 = a*s+p*t
> [mm](s,t\in\IZ[/mm] ) einfach umformen bis dasteht a^(-1) =
> s/(1-p*t) und dann sagen das a^(-1) existert? Oder muss ich
> das mit dem ggT auch noch reinbringen und wenn ja wie?
Die Gleichung folgt doch aus der Tatsache, dass der ggt(a,p)=1 ist.
Mache mal in der Gleichung 1=as+pt den Übergang zu den Restklassen, also [mm] $\overline{1}=\overline{as}+\overline{pt}\Rightarrow\overline{1}=\overline{as}+...$
[/mm]
Was ist [mm] \overline{pt} [/mm] ? 
Dann haste es schon - das Inverse zu [mm] \overline{a} [/mm] ist dann also ...
> Danke im Vorraus
Gerne
> Grüßle Minchen
>
Selber Grüßle
schachuzipus
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