Z[wurzel{-2}] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Ares1804 |
| Aufgabe | Werde mit [mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm] folgende Menge bezeichnet:
{ [mm] a+bi*\wurzel{2}|a,b \in \IZ [/mm] }
so zeige man:
a) daß für jedes Paar komplexer Zahlen (x,y) in [mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm] (wobei y ungleich 0), es ein Tupel (q,r) von Elementen aus [mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm] gibt, derart, dass x= qy+r und |r|<|y| gilt
b) dass sich jede Zahl x [mm] \in \IZ[\wurzel{-2)}] [/mm] auf eindeutige Weise schreiben lässt als Produkt
[mm] x=\pm \produkt_{i=1}^{n} p_{i}^{k_{i}}
[/mm]
wobei [mm] n\in \IN [/mm] \ {0}, [mm] k_{i} \in \IN [/mm] für jedes i [mm] \in [/mm] {1,....n} und [mm] p_{i} \in \IZ[\wurzel{-2}] [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,....n} irreduzibel sind. |
Hallo,
Ich blicke leider durch obenstehende Aufgabe gar nicht recht durch! Und bitte um Unterstützung jeglicher Art.
Wäre sehr dankbar, wenn sich jemand dieser Aufgabe annehmen könnte und mich auf die richtige Spur führen könnte....
MfG
M.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Jotwie |
Hallo,
vielleicht geht das, indem man sich mal überlegt, wie die Menge [mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm] aussieht. Gleichung umformen, fertig.
Viel Erfolg.
Jotwie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Sa 02.06.2007 | | Autor: | datschi |
Mache dir klar, was die Einheiten es in [mm] \IZ [\wurzel[2]{-2}] [/mm] sind! Dann folgt aus Aufgabenteil a) direkt Aufgabenteil b)
(Denn in Aufgabenteil a) hat man gezeigt, dass eine eulersche Normfunktion existiert)
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