Zähldichte approximieren < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man zeige: Die Zähldichte der hypergeometrischen Verteilung mit Parametern $(N,M,n)$ für [mm] $N,M\to\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{M}{N}\to [/mm] p$ lässt sich durch die Zähldichte der Binomialverteilung mit Parametern $(n,p)$ approximieren.
Zähldichte p(k) der Hypergeometrische Verteilung H(N,M,n): $p(k) = [mm] \frac{\vektor{M\\k}*\vektor{N-M\\n-k}}{\vektor{N\\n}}$
[/mm]
Zähldichte p(k) der Binomialverteilung B(n,p): $p(k) = [mm] \vektor{n\\k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}$ [/mm] |
Hallo!
Zu obiger Fragestellung habe ich zunächst eine allgemeine Frage: Was genau muss ich zeigen, wenn ich zeigen soll, dass sich die eine durch die andere Verteilung approximieren lässt? Muss ich zeigen dass für [mm] $M,N\to \infty$ [/mm] die hypergeometrische Verteilung gegen die Binomialverteilung konvergiert?
Ich habe mal versucht anzufangen:
$p(k) = [mm] \frac{\vektor{M\\k}*\vektor{N-M\\n-k}}{\vektor{N\\n}}$
[/mm]
$= [mm] \frac{\frac{M!}{k!*(M-k)!}*\frac{(N-M)!}{(n-k)!*(N-M-n+k)!}}{\frac{N!}{n!*(N-n)!}}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n!}{k!*(n-k)!}*\left(\frac{M!}{N!}*\frac{(N-M)!*(N-n)!}{(M-k)!*(N-M-n+k)!}\right)$
[/mm]
[mm] $=\vektor{n\\k}*\left(\frac{M!}{N!}*\frac{(N-M)!*(N-n)!}{(M-k)!*(N-M-n+k)!}\right)$
[/mm]
Jetzt müsste ich wahrscheinlich irgendwie [mm] $M,N\to\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{M}{N}\to [/mm] p$ benutzen, aber ich weiß nicht genau wie?
Die Klammer müsste ja beim Grenzübergang zu [mm] p^{k}*(1-p)^{n-k} [/mm] werden.
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 So 01.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]p(k) = \frac{\vektor{M\\k}*\vektor{N-M\\n-k}}{\vektor{N\\n}}[/mm]
[mm]= \frac{\frac{M!}{k!*(M-k)!}*\frac{(N-M)!}{(n-k)!*(N-M-n+k)!}}{\frac{N!}{n!*(N-n)!}}[/mm]
[mm]= \bruch{\bruch{M(M-1)...(M-k+1)}{k!}\bruch{(N-M)(N-M-1)...(N-M-(n-k)+1)}{(n-k1)}}{\bruch{N(N-1)...(N-n+1)}{n!}}[/mm]
[mm]= \bruch{n!}{k!(n-k)!} \bruch{\bruch{1}{N^n}}{\bruch{1}{N^n}} \bruch{M(M-1)...(M-k+1)(N-M)(N-M-1)...(N-M-(n-k)+1)}{N(N-1)...(N-n+1)} [/mm]
[mm]= \bruch{n!}{k!(n-k)!} \bruch{M/N(M/N-1/N)...(M/N-(k-1)/N)((N-M)/N)((N-M)/N-1/N)...((N-M)/N-((n-k)-1)/N)}{N/N(N/N-1/N)...(N/N-(n-1)/N)} [/mm]
[mm]= \vektor{n \\ k} ...[/mm]
auf ... kommst du wenn du beachtest, dass M/N gegen p geht und somit 1-M/N gegen q
gruß
|
|
|
| |
|
Hallo vivo,
vielen, vielen Dank für deine Antwort! Hab's verstanden. Trotzdem bitte ich noch einmal um Kontrolle, besonders die Begründung zur Konvergenz:
$p(k) = [mm] \frac{\vektor{M\\k}*\vektor{N-M\\n-k}}{\vektor{N\\n}}$ [/mm]
$= [mm] \frac{\frac{M!}{k!*(M-k)!}*\frac{(N-M)!}{(n-k)!*(N-M-n+k)!}}{\frac{N!}{n!*(N-n)!}}$ [/mm]
$= [mm] \vektor{n\\k}*\frac{\frac{M!}{(M-k)!}*\frac{(N-M)!}{(N-M-n+k)!}}{\frac{N!}{(N-n)!}}$ [/mm]
$= [mm] \vektor{n\\k}*\frac{\left(\produkt_{i=0}^{k-1}(M-i)\right)*\left(\produkt_{i=0}^{n-k-1}(N-M-i)\right)}{\produkt_{k=0}^{n-1}(N-i)}*\frac{\frac{1}{N^{n}}}{\frac{1}{N^{n}}}$
[/mm]
Sowohl im Zähler als auch im Nenner des Bruchs befinden sich n Faktoren:
$= [mm] \vektor{n\\k}*\frac{\left(\produkt_{i=0}^{k-1}(\frac{M}{N}-\frac{i}{N})\right)*\left(\produkt_{i=0}^{n-k-1}(1-\frac{M}{N}-\frac{i}{N})\right)}{\produkt_{k=0}^{n-1}(1-\frac{i}{N})}$
[/mm]
Betrachtet man nun den Grenzübergang von [mm] $N,M\to\infty$ [/mm] und gleichzeitig [mm] $\frac{M}{N}\to [/mm] p$, so erhält zusammen damit, dass k und n konstant sind (und somit auch der Bereich der i's in den Produkten beschränkt):
$= [mm] \vektor{n\\k}*\frac{\left(\produkt_{i=0}^{k-1}p\right)*\left(\produkt_{i=0}^{n-k-1}(1-p)\right)}{\produkt_{k=0}^{n-1}(1)}$
[/mm]
$ = [mm] \vektor{n\\k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}$
[/mm]
So okay?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mo 02.11.2009 | | Autor: | vivo |
so ist es!
|
|
|
| |
|
Hallo!
Analog soll man nun noch zeigen, dass sich die Zähldichte der hypergeometrischen Verteilung durch eine Poisson-Verteilung mit [mm] $\lambda [/mm] > 0$ approximieren lässt, wenn [mm] $N,M,n\to \infty$ [/mm] gehen und dabei [mm] $\frac{M*n}{N}\to \lambda [/mm] > 0$ ist.
Die Zähldichte der hypergeometrischen Verteilung ist: [mm]p(k) = \frac{\vektor{M\\k}*\vektor{N-M\\n-k}}{\vektor{N\\n}}[/mm]
Die Zähldichte der Poisson-Verteilung ist: $p(k) = [mm] \frac{\lambda^{k}}{k!}*e^{-\lambda}$
[/mm]
-------
Ich hatte zunächst folgenden Ansatz, wo ich hin will:
[mm] $\frac{\lambda^{k}}{k!}*e^{-\lambda} \approx \frac{\left(\frac{M*n}{N}\right)^{k}}{k!}*\left(1+\frac{\left(-\frac{Mn}{N}\right)}{n}\right)^{n} [/mm] = [mm] \frac{\left(\frac{M*n}{N}\right)^{k}}{k!}*\left(1-\frac{M}{N}\right)^{n}$
[/mm]
So, nun die Ausführung:
Für die Kontrolle: Es geht im Wesentlichen um den siebten Schritt.
$p(k) = [mm] \frac{\vektor{M\\k}*\vektor{N-M\\n-k}}{\vektor{N\\n}}$ [/mm]
$= [mm] \frac{\frac{M!}{k!*(M-k)!}*\frac{(N-M)!}{(n-k)!*(N-M-n+k)!}}{\frac{N!}{n!*(N-n)!}}$ [/mm]
$= [mm] \frac{1}{k!}*\frac{\frac{n!}{(n-k)!}*\frac{M!}{(M-k)!}*\frac{(N-M)!}{(N-M-n+k)!}}{\frac{N!}{(N-n)!}}$ [/mm]
$= [mm] \frac{1}{k!}\frac{\left(\produkt_{i=0}^{k-1}(n-i)\right)*\left(\produkt_{i=0}^{k-1}(M-i)\right)*\left(\produkt_{i=0}^{n-k-1}(N-M-i)\right)}{\produkt_{k=0}^{n-1}(N-i)}*\frac{\frac{1}{N^{n}}}{\frac{1}{N^{n}}}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{k!}\frac{\left(\produkt_{i=0}^{k-1}\frac{(n-i)(M-i)}{N}\right)*\left(\produkt_{i=0}^{n-k-1}(1-\frac{M}{N}-\frac{i}{N})\right)}{\produkt_{k=0}^{n-1}(1-\frac{i}{N})}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{k!}\frac{\left(\produkt_{i=0}^{k-1}(\frac{M*n}{N} - \frac{i*(n+M)}{N} + \frac{i^{2}}{N})\right)*\left(\produkt_{i=0}^{n-k-1}(1-\frac{M}{N}-\frac{i}{N})\right)}{\produkt_{k=0}^{n-1}(1-\frac{i}{N})}$
[/mm]
So...
Nun muss ich ja zeigen, dass das gegen meinen Ansatz konvergiert.
- Das erste Produkt im Zähler besteht ja nur aus endlich vielen Faktoren und ich behaupte, wenn [mm] \frac{M*n}{N} [/mm] gegen eine feste Zahl [mm] \lambda [/mm] geht, geht nur [mm] \frac{n}{N} [/mm] bzw. [mm] \frac{M}{N} [/mm] gegen 0. Das wäre meine Begründung, dass bei dem ersten Produkt [mm] \lambda [/mm] entsteht. Kann ich es besser begründen?
- Das zweite Produkt "ähnelt" dem Ansatzteil [mm] $\left(1+\frac{\left(-\frac{Mn}{N}\right)}{n}\right)^{n} [/mm] = [mm] \left(1-\frac{M}{N}\right)^{n}$, [/mm] aber nun muss ich noch begründen, dass das auch wirklich im Unendlichen dasselbe ist. Nun - das Produkt geht ja bis n-k-1. Da n gegen unendlich geht, k aber konstant ist, geht das Produkt also bis unendlich. Mir geht jetzt aber noch eine (sinnvolle) Begründung, warum der Teil [mm] \frac{i}{N} [/mm] in der Klammer einfach ignoriert werden kann? ...
- ... Dasselbe Problem dann bei dem dritten Produkt, dass ja ebenfalls unendlich viele Faktoren hat und gegen 1 gehen soll.
----
Wenn das alles begründet ist, komme ich dann weiter zu:
$= [mm] \frac{1}{k!}\frac{\left(\produkt_{i=0}^{k-1}\lambda\right)*e^{-\lambda}}{\produkt_{k=0}^{n-1}1}$
[/mm]
$= [mm] \frac{\lambda^{k}}{k!}*e^{-\lambda}$
[/mm]
Danke für Eure Hilfe!!!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mo 02.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]\lambda > 0[/mm]
[mm]N,M,n\to \infty[/mm]
[mm]\frac{M*n}{N}\to \lambda > 0[/mm]
bedeutet
[mm]n \to \infty[/mm]
[mm]np \to \lambda[/mm]
[mm]p \to 0[/mm]
[mm]\vektor{n \\ k} p^k (1-p)^{n-k} = \bruch{n!}{(n-k)!k!} p^k (1-p)^{n-k} = \bruch{1}{k!}\bruch{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}(np)^k \bruch{(1-p)^n}{(1-p)^k} \to \bruch{1}{k!}\lambda^k e^{-\lambda}[/mm]
gruß
|
|
|
| |
|
Okay vivo,
danke für die Antworten; das verstehe ich 
Aber habe ich in der Fragestellung überhaupt noch zur Verfügung, dass [mm] $\frac{M}{N}\to [/mm] p$ geht?
Könnte ich es theoretisch auch so schreiben wie ich es im meinem vorherigen Post gemacht habe?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Mo 02.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
$ = [mm] \frac{1}{k!}\frac{\left(\produkt_{i=0}^{k-1}(n-i)\right)\cdot{}\left(\produkt_{i=0}^{k-1}(M-i)\right)\cdot{}\left(\produkt_{i=0}^{n-k-1}(N-M-i)\right)}{\produkt_{k=0}^{n-1}(N-i)}\cdot{}\frac{\frac{1}{N^{n}}}{\frac{1}{N^{n}}} [/mm] $
dass hattest du oben ja bereits, dann:
$ = [mm] \frac{1}{k!}\frac{\left(\produkt_{i=0}^{k-1}(n-i)\right)\cdot{}\left(\produkt_{i=0}^{k-1}(M-i)\right)\cdot{}\left(\produkt_{i=0}^{n-k-1}(N-M-i)\right)}{\produkt_{k=0}^{n-1}(N-i)}\cdot{}\frac{\frac{1}{N^{n}}}{\frac{1}{N^{n}}} \bruch{n^k}{n^k} [/mm] $
[mm] \to \frac{1}{k!} \lambda^k (1-\bruch{M}{N})^n \to \frac{1}{k!} \lambda^k e^{-\bruch{Mn}{N}} \to \frac{1}{k!} \lambda^k e^{-\lambda}[/mm]
gruß
|
|
|
| |
|
Okay,
Danke vivo für deine Antworten!
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
