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Forum "Stochastik" - Zählmaß
Zählmaß < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Zählmaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Sa 02.09.2017
Autor: knowhow

Aufgabe
sei [mm] \mu:=\summe_{n\in\IN}\epsilon_n [/mm] das Zählmaß auf [mm] \IN:=\{1,2,...\} [/mm] und [mm] A_n:=\{n, n+1,...\} [/mm] für [mm] n\in \IN. [/mm]

Bestimmen Sie [mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN} A_n) [/mm] sowie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n). [/mm] Ist [mm] \mu [/mm] stetig n ach oben?

Hallo zusammen,

erstmal zu [mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN} A_n): [/mm]

[mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN} A_n)=\summe_{n\in\IN}\epsilon_n(\bigcap_{k\in\IN} A_k)=\summe_{n\in\IN}\epsilon_n\summe_{k\in\IN}A_k=\summe_{k\in\IN}\summe_{n\in\IN}\epsilon_n(A_k)=\summe_{k\in\IN}\mu(A_k) [/mm]

Da [mm] A_1:=\{1,2,3,4,....\} [/mm]
[mm] A_2:=\{2,3,4,5,...\} [/mm]
[mm] A_3:=\{3,4,5,....\} [/mm]
[mm] \vdots [/mm]

ist [mm] A_1 \supset A_2 \supset A_3\supset.... [/mm]
damit folgt dann [mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n)=\limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n). [/mm] Aus obiger Rechnung wissen wir, dass

[mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN} A_n)=\summe_{n\in\IN}\mu(A_n). [/mm] Somit ist

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n)=\summe_{n\in\IN}\mu(A_n) [/mm]

[mm] \Rightarrow \mu [/mm] stetig von oben

Ist das richtig?

        
Bezug
Zählmaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Sa 02.09.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN} A_n)=\summe_{n\in\IN}\epsilon_n(\bigcap_{k\in\IN} A_k)=\summe_{n\in\IN}\epsilon_n\summe_{k\in\IN}A_k=\summe_{k\in\IN}\summe_{n\in\IN}\epsilon_n(A_k)=\summe_{k\in\IN}\mu(A_k)[/mm]

[notok]

Was ist [mm] $\bigcap_{n\in\IN} A_n$? [/mm]
Das kannst du direkt angeben.

Was ist das Maß dieser Menge?

Gruß,
Gono

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Bezug
Zählmaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 So 03.09.2017
Autor: knowhow

da [mm] \bigcap_{n\in\IN}A_n=\emptyset [/mm] folgt dann [mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n)=\mu(\emptyset)=0, [/mm] oder?

kann ich dann auch sagen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=0? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Zählmaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 So 03.09.2017
Autor: fred97


> da [mm]\bigcap_{n\in\IN}A_n=\emptyset[/mm] folgt dann
> [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n)=\mu(\emptyset)=0,[/mm] oder?

ja


>  
> kann ich dann auch sagen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=0?[/mm]  


was ist denn [mm] \mu(A_n), [/mm] wenn [mm] \mu [/mm] das Zählmass ist ?

Bezug
                                
Bezug
Zählmaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Mo 04.09.2017
Autor: knowhow

das heißt dann dass

[mm] \mu(A_n)=\infty [/mm] also ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=\infty. [/mm]

Da [mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n) [/mm] ist somit [mm] \mu [/mm] nicht stetig.

Stimmt das?

Bezug
                                        
Bezug
Zählmaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Mo 04.09.2017
Autor: fred97


> das heißt dann dass
>  
> [mm]\mu(A_n)=\infty[/mm] also ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=\infty.[/mm]
>  
> Da [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)[/mm]
> ist somit [mm]\mu[/mm] nicht stetig.
>  
> Stimmt das?

Ja




Bezug
                                                
Bezug
Zählmaß: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 15:17 Di 05.09.2017
Autor: Gonozal_IX

Hallo fred,

Stetigkeit von oben benötige [mm] $\mu(A_n) [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] insofern ist das Beispiel kein geeignetes Gegenbeispiel.
Demzufolge ist der Schluß nicht korrekt.

Gruß,
Gono

Bezug
                                        
Bezug
Zählmaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Di 05.09.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Da [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)[/mm]
> ist somit [mm]\mu[/mm] nicht stetig.
>  
> Stimmt das?

nein das stimmt nicht.
Stetigkeit von oben hat eine weitere Voraussetzung, nämlich [mm] $\mu(A_n) [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] was hier nicht der Fall ist.

Du kannst also mit diesem Beispiel keine Aussage treffen.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Zählmaß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 Di 05.09.2017
Autor: fred97


> Hiho,
>  
> > Da [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)[/mm]
> > ist somit [mm]\mu[/mm] nicht stetig.
>  >  
> > Stimmt das?
>
> nein das stimmt nicht.
>  Stetigkeit von oben hat eine weitere Voraussetzung,
> nämlich [mm]\mu(A_n) < \infty[/mm], was hier nicht der Fall ist.
>
> Du kannst also mit diesem Beispiel keine Aussage treffen.

Die Vor.  [mm]\mu(A_n) < \infty[/mm] hatte ich in der Tat vergessen.

>  
> Gruß,
>  Gono


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