Zählmaß sigma-endlich < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für A [mm] \subset \Omega [/mm] sei das Zählmaß
[mm] \mu(A):=
[/mm]
$|A|$, falls A endlich
[mm] \infty, [/mm] falls A unendlich
genau dann [mm] \sigma-endlich, [/mm] wenn [mm] \Omega [/mm] abzählbar ist. |
Hatte im ersten Aufgabenteil z.z. dass [mm] \mu [/mm] ein Maß auf [mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm] ist. Das hat soweit geklappt.
Jetzt muss ich noch diese Teilaufgabe lösen.
Ich fange mit der Rückrichtung an:
[mm] \Leftarrow: [/mm] Sei [mm] \Omega [/mm] abzählbar. Dann ist [mm] \mu(A)<\infty [/mm] für alle A [mm] \subset \Omega. [/mm]
Jetzt will ich zeigen, dass es abzählbar viele dieser Mengen A gibt, sodass deren Vereinigung [mm] \Omega [/mm] gibt.
Stimmt das soweit? Wie komme ich auf den letzten Teil?
Die Hin-Richtung
[mm] \Rightarrow: [/mm] Sei [mm] \mu \sigma-endlich. [/mm] Also gibt es abzählbare viele Mengen A mit endlichem Maß, deren Vereinigung [mm] \Omega [/mm] ist. Also muss [mm] \Omega [/mm] abzählbar sein. Trivial?!
Danke für die Hilfe.
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Hiho,
> Ich fange mit der Rückrichtung an:
Ok.
> [mm]\Leftarrow:[/mm] Sei [mm]\Omega[/mm] abzählbar. Dann ist [mm]\mu(A)<\infty[/mm] für alle A [mm]\subset \Omega.[/mm]
Nein, warum sollte das gelten?
Offensichtlich ist [mm] $2\IN [/mm] = [mm] \{2,4,6,\ldots\} \subset \IN$, [/mm] aber [mm] $\mu(2\IN) [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Nutze die Definition von Abzählbarkeit, sei also [mm] \Omega [/mm] abzählbar und damit [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{\omega_1,\omega_2,\ldots\}$
[/mm]
> Die Hin-Richtung
> [mm]\Rightarrow:[/mm] Sei [mm]\mu \sigma-endlich.[/mm] Also gibt es
> abzählbare viele Mengen A mit endlichem Maß, deren Vereinigung [mm]\Omega[/mm] ist. Also muss [mm]\Omega[/mm] abzählbar sein.
Warum sollte eine abzählbare Vereinigung von Mengen automatisch abzählbar sein? Da solltest du noch Begründen, welche Eigenschaften die Mengen A haben um das klarer zu machen.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Do 23.01.2014 | | Autor: | dennis93 |
Diese Frage fand ich damals schon interessant und war auf die Antwort gespannt. Leider ist bist jetzt noch keine gekommen, aber vielleicht kann mir sie jetzt ja jemand beantworten.
Also die Rückrichtung ist mir relativ klar: Als Repräsentant für abzählbare Mengen nehmen wir [mm] \IN. [/mm] Nehmen wir jetzt die Folge von Mengen [mm] S_1:=\{1\}, S_2:=\{1,2\},... [/mm] dann ist [mm] S_k [/mm] eine abzählbare Folge messbarer Mengen mit [mm] \mu(S_k)<\infty [/mm] wobei die Vereinigung der [mm] S_k [/mm] wieder [mm] \IN [/mm] ergibt und daher ist [mm] $\mu$ \sigma-endlich.
[/mm]
Wieso funktioniert die Hinrichtung so nicht? Also wenn [mm] \mu \sigma-endlich [/mm] ist, dann ist [mm] \Omega [/mm] abzählbar? Also es existiert eine Folge der [mm] S_k [/mm] wobei jedes einzelne ein Maß kleiner [mm] \infty [/mm] hat, dann ist doch die Vereinigung dieser auch kleiner [mm] \infty? [/mm] Wo ist mein Gedankenfehler?
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Hiho,
> Also die Rückrichtung ist mir relativ klar: Als Repräsentant für abzählbare Mengen nehmen wir [mm]\IN.[/mm]
Wieso Repräsentant? Du kannst das doch für beliebige abzählbare Mengen direkt machen. So auf Spezialfälle beschränken ist doof, aber letztlich läuft dein Beweis aufs gleiche hinaus.
> Wieso funktioniert die Hinrichtung so nicht? Also wenn [mm]\mu \sigma-endlich[/mm] ist, dann ist [mm]\Omega[/mm] abzählbar? Also es existiert eine
> Folge der [mm]S_k[/mm] wobei jedes einzelne ein Maß kleiner [mm]\infty[/mm] hat, dann ist doch die Vereinigung dieser auch kleiner [mm]\infty?[/mm] Wo ist mein Gedankenfehler?
Der Beweis der Hinrichtung stand doch schon in der Ursprungsfrage.
Du hast es jetzt nur einen Fehler eingebaut. [mm] \Omega [/mm] muss keineswegs ein endliches Maß haben, muss aber abzählbar sein. Das stand aber wie gesagt schon in der Ursprungsfrage.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Do 23.01.2014 | | Autor: | dennis93 |
Ok dann nochmal:
Es gibt abzählbare viele Mengen $A$ mit endlichem Maß deren Vereinigung [mm] $\Omega [/mm] $ ist. Daher muss $ [mm] \Omega [/mm] $ abzählbar sein.
Ist das nun richtig oder nicht? Denn du hast gefragt was für Eigenschaften die $A$'s habe müssen, damit das stimmt.
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Hiho,
> Ok dann nochmal:
> Es gibt abzählbare viele Mengen [mm]A[/mm] mit endlichem Maß deren Vereinigung [mm]\Omega[/mm] ist. Daher muss [mm]\Omega[/mm] abzählbar
sein.
> Ist das nun richtig oder nicht? Denn du hast gefragt was für Eigenschaften die [mm]A[/mm]'s habe müssen, damit das stimmt.
Ja, das ist schon richtig. Worauf ich mit der Frage hinauswollte, ist folgende:
Nehmen wir [mm] \IR [/mm] mit dem Lebesgue-Maß, dann gilt eben auch:
[mm] $\IR [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^\infty [/mm] [-n,n]$ und [mm] $\lambda\left([-n,n]\right) [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] aber [mm] \IR [/mm] ist überabzählbar, obwohl die [-n,n] endliches Maß haben.
Man sollte zumindest die entscheidende Eigenschaft, die aus dem endlichen Maß der A's folgt und dafür sorgt das [mm] \Omega [/mm] abzählbar bleibt, erwähnen und nicht kommentarlos folgern.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Fr 24.01.2014 | | Autor: | dennis93 |
Also muss noch hinzugefügt werden, dass das Maß der A's bzgl. des Zählmaßes endlich sind. Dann wäre es aber damit gezeigt.
Danke!
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Hiho,
ja, dass die A's eben endlich sind. Und die abzählbare Vereinigung von endlichen Mengen ist.....
Gruß,
Gono.
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