Zahlenbereich \IZ \wurzel{5} < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Sa 31.05.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Gegeben ist der Zahlenbereich [mm] \IZ \wurzel{5}.
[/mm]
a)Zeigen Sie, dass in ihm [mm] a=34+10*\wurzel{5} [/mm] durch [mm] 2+3*\wurzel{5} [/mm] teilbar ist.
b) Untersuchen Sie, ob es in [mm] \IZ \wurzel{5} [/mm] zu [mm] b=8+4\wurzel{5} [/mm] und zu [mm] 2+\wurzel{5} [/mm] inverse Elemente bezüglich der Multiplikation gibt.
c) Welche Aussage lässt sich hinsichtlich der Teilbarkeit eines beliebigen Elementes von Z [mm] [\wurzel{5}] [/mm] durch 2+ [mm] \wurzel{5} [/mm] machen? Begründen Sie. |
a) ich wende die polynomdivision an und beginne beispielsweise so:
[mm] (34+10*\wurzel{5}) [/mm] \ [mm] (2+3*\wurzel{5}) [/mm] = 17.........
-34+51 [mm] *\wurzel{5}
[/mm]
und dann komme ich schon nicht mehr weiter, weil das ganze ja nie ohne Rest durch 3 teilbar sein wird.....Was mache ich also??
zu b) und c) hab ich leider gar keine ahnung- wär nett, wenn mir jemand nen tipp geben könnte, wie ich vorgehen muss!
dankeschön!
|
|
| |
|
Hallo Jura,
ich hab noch nie gesehen, dass man das über Polynomdivision lösen könnte, weil da ja die eigentlich "Quadratischen" Glieder wieder in die Zahl eingehen.
Ich würd einen anderen Ansatz wählen und zwar, was heisst denn Teilbarkeit?
Überprüfe also, ob [mm]a,b \in \IZ[/mm] existieren, so dass
[mm](2+3\sqrt{5})(a+b\sqrt{5}) = 34 + 10\sqrt{5}[/mm] gilt.
Das ganze führt dich auf einen Koeffizientenvergleich mit anschliessendem Lösen eines LGS. Eigenschaften von LGS dürften dir ja bekannt sein, so dass du b) und c) einigermaßen allein hinbekommen solltest.
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mo 02.06.2008 | | Autor: | jura |
ok, also ich hab deinen ansatz hergenommen und die beiden klammern ausmultipliziert- erhalte so folgendes lgs:
(2+3 [mm] \wurzel{5}) [/mm] a+ (15+2 [mm] \wurzel{5}) [/mm] b= 34+ [mm] 10\wurzel{5}
[/mm]
und sorry, aber da musst du mir auf die sprünge helfen- wie löse ich denn das bitte eindeutig?? ich kann hier doch eine variable frei wählen.....oder?
danke und grüße.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Mo 02.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> ok, also ich hab deinen ansatz hergenommen und die beiden
> klammern ausmultipliziert- erhalte so folgendes lgs:
>
> (2+3 [mm]\wurzel{5})[/mm] a+ (15+2 [mm]\wurzel{5})[/mm] b= 34+ [mm]10\wurzel{5}[/mm]
>
> und sorry, aber da musst du mir auf die sprünge helfen- wie
> löse ich denn das bitte eindeutig?? ich kann hier doch eine
> variable frei wählen.....oder?
>
> danke und grüße.
Es war glaubich schon gesagt worden, daß du dann die Koeffizienten vergleichen sollst. 1 und [mm] \wurzel{5} [/mm] sind über [mm] \IZ [/mm] linear unabhängig, also müssen die zugehörigen Koeffizienten auf beiden Seiten gleich sein. Das ergibt dann 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (a und b). Haben sie eine Lösung?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mo 02.06.2008 | | Autor: | jura |
ich kann nur einfach mit dem begriff koeffizientenvergleich nix anfangen- aber vielleicht hab ich ja genau das gemacht....ich erhalte als lösung meines lgs
a=2 und b=2.
stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jura!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 02.06.2008 | | Autor: | jura |
ok, vielen dank an alle!
die aufgabe b) hab ich denk ich nun auch gelöst: für das erste element existiert ein inverses, für das zweite nicht- ich hoffe, das stimmt auch?
und bei c) komme ich nun leider wieder nicht so richtig weiter.......
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mo 02.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du mit 2.tem element [mm] 2+\wurzel{5} [/mm] meinst existiert ein Inverses!
deshal zu [mm] 4*(2+\wurzel{5}) [/mm] keins.
zu c) dividieren heisst mit dem Inversen Multiplizieren!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Di 03.06.2008 | | Autor: | jura |
> Hallo
> Wenn du mit 2.tem element [mm]2+\wurzel{5}[/mm] meinst existiert
> ein Inverses!
oh, dann hab ich es also genau falschrum und folglich wohl auch den falschen ansatz! ich dachte, dass [mm]2+\wurzel{5}[/mm] multipliziert mit seinem inversen 1 ergeben muss?
> deshal zu [mm]4*(2+\wurzel{5})[/mm] keins.
und wie gelangt man dann zu dieser schlussfolgerung?
> zu c) dividieren heisst mit dem Inversen Multiplizieren!
> Gruss leduart
gruß jule
|
|
|
| |
|
> ich dachte, dass [mm]2+\wurzel{5}[/mm]
> multipliziert mit seinem inversen 1 ergeben muss?
Hallo,
ja, so ist es doch auch.
>
> > deshal zu [mm]4*(2+\wurzel{5})[/mm] keins.
>
> und wie gelangt man dann zu dieser Schlussfolgerung?
Ich hab's rechnend herausgefunden, durch Lösen v. [mm] 1=(8+4\wurzel{5})(a+b\wurzel{5}).
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Di 03.06.2008 | | Autor: | jura |
> Ich hab's rechnend herausgefunden, durch Lösen v.
> [mm]1=(8+4\wurzel{5})(a+b\wurzel{5}).[/mm]
>
genau das steht bei mir auch am anfang- dann multipliziere ich aus, fasse wieder zusammen zu:
[mm] (8+4\wurzel{5}) [/mm] a+ [mm] (20+8\wurzel{5})b=1
[/mm]
das hab ich dann in ein lgs geschrieben und gelöst- aber eben falsch. kann mir bitte jemand einfach die gleichung richtig zu ende vorrechnen?
danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Di 03.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] 2+\wurzel{5} [/mm] kann man das Inverse direkt ansehen ,wenn man [mm] (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 [/mm] kennt und [mm] (\wurzel{5}-2)*(\wurzel{5}+2) [/mm] rechnet.
wenn man dann das 4-fache hat müsste das Inverse 1/4 davon sein, das ist nicht mit [mm] a,b\in [/mm] Z zu machen!
Rechnung:
$ [mm] (8+4\wurzel{5}) [/mm] $ a+ $ [mm] (20+8\wurzel{5})b=1 [/mm] $
$ 8a+20b=1$
$ 4a+8b=0$
$a=-2b$ $-16b+20b=1 $ b=-1/4 b nicht in Z
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Di 03.06.2008 | | Autor: | jura |
na endlich hab ich meinen fehler kapiert- hatte nicht bedacht, dass b=0,25 ja nicht in [mm] \IZ [/mm] liegt und folglich auch ein inverses element erhalten! nun verstehe ich natürlich die beiden lösungen....DANKE
und nun zu c): teilen durch (2+ [mm] \wurzel{5}) [/mm] entspricht also der multiplikation mit dem inversen ( [mm] \wurzel{5} [/mm] -2):
(a+b [mm] \wurzel{5}) [/mm] ( [mm] \wurzel{5} [/mm] -2)= ( [mm] \wurzel{5}-2) [/mm] a+ (5-2 [mm] \wurzel{5})b
[/mm]
und was schließe ich daraus nun für die teilbarkeit eines beliebigen elementes von [mm] \IZ \wurzel{5} [/mm] durch 2+ [mm] \wurzel{5} [/mm] ?? dass es immer eine lösung gibt?
|
|
|
| |
|
> und nun zu c): teilen durch (2+ [mm]\wurzel{5})[/mm] entspricht also
> der multiplikation mit dem inversen ( [mm]\wurzel{5}[/mm] -2):
> (a+b [mm]\wurzel{5})[/mm] ( [mm]\wurzel{5}[/mm] -2)= ( [mm]\wurzel{5}-2)[/mm] a+
> (5-2 [mm]\wurzel{5})b[/mm]
Hallo,
Du hast das so aufgeschrieben, daß man nix sieht.
Statt a und b auszuklammern solltest Du lieber sortieren nach Termen mit und ohne [mm] \wurzel{5}
[/mm]
Also
(a+b [mm]\wurzel{5})[/mm]: ( [mm]\wurzel{5}[/mm] +2)= (a+b [mm]\wurzel{5})[/mm]([mm]\wurzel{5}[/mm] -2)=...
Da sieht man dann, daß das mit der Teilbarkeit immer klappt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Di 03.06.2008 | | Autor: | jura |
ok, nochmal ein großes DANKE an alle!
|
|
|
|
