matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieZahlenbereich \IZ \wurzel{5}
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Zahlentheorie" - Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5} < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Sa 31.05.2008
Autor: jura

Aufgabe
Gegeben ist der Zahlenbereich [mm] \IZ \wurzel{5}. [/mm]
a)Zeigen Sie, dass in ihm [mm] a=34+10*\wurzel{5} [/mm] durch [mm] 2+3*\wurzel{5} [/mm] teilbar ist.
b) Untersuchen Sie, ob es in  [mm] \IZ \wurzel{5} [/mm] zu [mm] b=8+4\wurzel{5} [/mm] und zu [mm] 2+\wurzel{5} [/mm] inverse Elemente bezüglich der Multiplikation gibt.
c) Welche Aussage lässt sich hinsichtlich der Teilbarkeit eines beliebigen Elementes von Z [mm] [\wurzel{5}] [/mm] durch 2+ [mm] \wurzel{5} [/mm] machen? Begründen Sie.

a) ich wende die polynomdivision an und beginne beispielsweise so:
[mm] (34+10*\wurzel{5}) [/mm] \ [mm] (2+3*\wurzel{5}) [/mm] = 17.........
-34+51 [mm] *\wurzel{5} [/mm]


und dann komme ich schon nicht mehr weiter, weil das ganze ja nie ohne Rest durch 3 teilbar sein wird.....Was mache ich also??

zu b) und c) hab ich leider gar keine ahnung- wär nett, wenn mir jemand nen tipp geben könnte, wie ich vorgehen muss!
dankeschön!

        
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 So 01.06.2008
Autor: Gonozal_IX

Hallo Jura,

ich hab noch nie gesehen, dass man das über Polynomdivision lösen könnte, weil da ja die eigentlich "Quadratischen" Glieder wieder in die Zahl eingehen.

Ich würd einen anderen Ansatz wählen und zwar, was heisst denn Teilbarkeit?

Überprüfe also, ob [mm]a,b \in \IZ[/mm] existieren, so dass

[mm](2+3\sqrt{5})(a+b\sqrt{5}) = 34 + 10\sqrt{5}[/mm] gilt.

Das ganze führt dich auf einen Koeffizientenvergleich mit anschliessendem Lösen eines LGS. Eigenschaften von LGS dürften dir ja bekannt sein, so dass du b) und c) einigermaßen allein hinbekommen solltest.

MfG,
Gono.


Bezug
                
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Mo 02.06.2008
Autor: jura

ok, also ich hab deinen ansatz hergenommen und die beiden klammern ausmultipliziert- erhalte so folgendes lgs:

(2+3 [mm] \wurzel{5}) [/mm] a+ (15+2 [mm] \wurzel{5}) [/mm] b= 34+ [mm] 10\wurzel{5} [/mm]

und sorry, aber da musst du mir auf die sprünge helfen- wie löse ich denn das bitte eindeutig?? ich kann hier doch eine variable frei wählen.....oder?

danke und grüße.

Bezug
                        
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Mo 02.06.2008
Autor: statler

Hi!

> ok, also ich hab deinen ansatz hergenommen und die beiden
> klammern ausmultipliziert- erhalte so folgendes lgs:
>  
> (2+3 [mm]\wurzel{5})[/mm] a+ (15+2 [mm]\wurzel{5})[/mm] b= 34+ [mm]10\wurzel{5}[/mm]
>  
> und sorry, aber da musst du mir auf die sprünge helfen- wie
> löse ich denn das bitte eindeutig?? ich kann hier doch eine
> variable frei wählen.....oder?
>  
> danke und grüße.

Es war glaubich schon gesagt worden, daß du dann die Koeffizienten vergleichen sollst. 1 und [mm] \wurzel{5} [/mm] sind über [mm] \IZ [/mm] linear unabhängig, also müssen die zugehörigen Koeffizienten auf beiden Seiten gleich sein. Das ergibt dann 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (a und b). Haben sie eine Lösung?

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
                                
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Mo 02.06.2008
Autor: jura

ich kann nur einfach mit dem begriff koeffizientenvergleich nix anfangen- aber vielleicht hab ich ja genau das gemacht....ich erhalte als lösung meines lgs
a=2   und b=2.
stimmt das?

Bezug
                                        
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Mo 02.06.2008
Autor: Loddar

Hallo jura!


[ok]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mo 02.06.2008
Autor: jura

ok, vielen dank an alle!
die aufgabe b) hab ich denk ich nun auch gelöst: für das erste element existiert ein inverses, für das zweite nicht- ich hoffe, das stimmt auch?

und bei c) komme ich nun leider wieder nicht so richtig weiter.......



Bezug
                                                        
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Mo 02.06.2008
Autor: leduart

Hallo
Wenn du mit 2.tem element [mm] 2+\wurzel{5} [/mm] meinst existiert ein Inverses!
deshal zu [mm] 4*(2+\wurzel{5}) [/mm] keins.
zu c) dividieren heisst mit dem Inversen Multiplizieren!
Gruss leduart

Bezug
                                                                
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 Di 03.06.2008
Autor: jura


> Hallo
>  Wenn du mit 2.tem element [mm]2+\wurzel{5}[/mm] meinst existiert
> ein Inverses!

oh, dann hab ich es also genau falschrum und folglich wohl auch den falschen ansatz! ich dachte, dass [mm]2+\wurzel{5}[/mm] multipliziert mit seinem inversen 1 ergeben muss?

>  deshal zu [mm]4*(2+\wurzel{5})[/mm] keins.

und wie gelangt man dann zu dieser schlussfolgerung?

>  zu c) dividieren heisst mit dem Inversen Multiplizieren!
>  Gruss leduart

gruß jule


Bezug
                                                                        
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 Di 03.06.2008
Autor: angela.h.b.


>  ich dachte, dass [mm]2+\wurzel{5}[/mm]
> multipliziert mit seinem inversen 1 ergeben muss?

Hallo,

ja, so ist es doch auch.

>  
> >  deshal zu [mm]4*(2+\wurzel{5})[/mm] keins.

>  
> und wie gelangt man dann zu dieser Schlussfolgerung?

Ich hab's rechnend herausgefunden,  durch Lösen v. [mm] 1=(8+4\wurzel{5})(a+b\wurzel{5}). [/mm]

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                                
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 Di 03.06.2008
Autor: jura


> Ich hab's rechnend herausgefunden,  durch Lösen v.
> [mm]1=(8+4\wurzel{5})(a+b\wurzel{5}).[/mm]
>  

genau das steht bei mir auch am anfang- dann multipliziere ich aus, fasse wieder zusammen zu:
[mm] (8+4\wurzel{5}) [/mm] a+ [mm] (20+8\wurzel{5})b=1 [/mm]
das hab ich dann in ein lgs geschrieben und gelöst- aber eben falsch. kann mir bitte jemand einfach die gleichung richtig zu ende vorrechnen?
danke!

Bezug
                                                                                        
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Di 03.06.2008
Autor: leduart

Hallo
1. [mm] 2+\wurzel{5} [/mm] kann man das Inverse direkt ansehen ,wenn man [mm] (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 [/mm] kennt und [mm] (\wurzel{5}-2)*(\wurzel{5}+2) [/mm] rechnet.
wenn man dann das 4-fache hat müsste das Inverse 1/4 davon sein, das ist nicht mit [mm] a,b\in [/mm] Z zu machen!
Rechnung:
$ [mm] (8+4\wurzel{5}) [/mm] $ a+ $ [mm] (20+8\wurzel{5})b=1 [/mm] $
$ 8a+20b=1$
$ 4a+8b=0$
$a=-2b$   $-16b+20b=1 $  b=-1/4 b nicht in Z
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Di 03.06.2008
Autor: jura

na endlich hab ich meinen fehler kapiert- hatte nicht bedacht, dass b=0,25 ja nicht in [mm] \IZ [/mm] liegt und folglich auch ein inverses element erhalten! nun verstehe ich natürlich die beiden lösungen....DANKE

und nun zu c): teilen durch (2+ [mm] \wurzel{5}) [/mm] entspricht also der multiplikation mit dem inversen ( [mm] \wurzel{5} [/mm] -2):
(a+b  [mm] \wurzel{5}) [/mm] ( [mm] \wurzel{5} [/mm] -2)= ( [mm] \wurzel{5}-2) [/mm] a+ (5-2 [mm] \wurzel{5})b [/mm]

und was schließe ich daraus nun für die teilbarkeit eines beliebigen elementes von [mm] \IZ \wurzel{5} [/mm] durch 2+ [mm] \wurzel{5} [/mm] ?? dass es immer eine lösung gibt?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Di 03.06.2008
Autor: angela.h.b.


> und nun zu c): teilen durch (2+ [mm]\wurzel{5})[/mm] entspricht also
> der multiplikation mit dem inversen ( [mm]\wurzel{5}[/mm] -2):
>  (a+b  [mm]\wurzel{5})[/mm] ( [mm]\wurzel{5}[/mm] -2)= ( [mm]\wurzel{5}-2)[/mm] a+
> (5-2 [mm]\wurzel{5})b[/mm]

Hallo,

Du hast das so aufgeschrieben, daß man nix sieht.
Statt a und b auszuklammern solltest Du lieber sortieren nach Termen mit und ohne [mm] \wurzel{5} [/mm]

Also
(a+b  [mm]\wurzel{5})[/mm]: ( [mm]\wurzel{5}[/mm] +2)= (a+b  [mm]\wurzel{5})[/mm]([mm]\wurzel{5}[/mm] -2)=...

Da sieht man dann, daß das mit der Teilbarkeit immer klappt.

Gruß v. Angela



Bezug
                                                                                                                
Bezug
Zahlenbereich \IZ \wurzel{5}: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 Di 03.06.2008
Autor: jura

ok, nochmal ein großes DANKE an alle!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]