Zahlenfolge;Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es ist eine Zahlenfolge reeller Zahlen [mm] (a_{n})_{n\varepsilon\IN} [/mm] gegeben mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine Zahl a [mm] \varepsilon \IR [/mm] so dass jede echte Teilfolgen [mm] (a_{n_{k}})_{k\varepsilon\IN} [/mm] gegen a konvergiert.Zeigen Sie ,dass dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n})=a [/mm] |
Also :) ,es wird gesagt " [mm] (a_{n_{k}})_{k\varepsilon\IN} [/mm] gegen a"
=====> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n_{k}})_{k\varepsilon\IN}=a [/mm]
Nach der Bedingung von Konvergent gilt :
[mm] |(a_{n_{k}} [/mm] -a |< [mm] \varepsilon \forall [/mm] n> N
Es ist nun zu zeigen : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n})=a
[/mm]
ich weiß nicht wie ich jetzt weiter gehen soll,ich hab keine ahnung wie ich die beiden unterbringe ...
meine idee war dass für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n})=a [/mm] gilt:
| [mm] (a_{n})- [/mm] a| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > N
nun setz wenn das gilt dann muss auch gelten
| [mm] a_{n_{k}} [/mm] -a |+| [mm] (a_{n})- [/mm] a | < 2 [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] (a_{n})- [/mm] a |< 2 [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] |a_{n_{k}} [/mm] -a |
| [mm] (a_{n})- [/mm] a |< 1 [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] 1\varepsilon [/mm] -| [mm] a_{n_{k}} [/mm] -a | /
Nun setze ich für [mm] \varepsilon [/mm] := | [mm] a_{n_{k}} [/mm] -a |
=>| [mm] (a_{n})- [/mm] a | < [mm] 1\varepsilon [/mm] + | [mm] a_{n_{k}} [/mm] -a | - [mm] |a_{n_{k}} [/mm] -a | /
| [mm] (a_{n})- [/mm] a |< [mm] \varepsilon [/mm]
Ist diese Beweismethode richtig ?falsch?wenn ja was fehlt ?was hab ich nicht beachtet danke voraus ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 So 13.05.2007 | | Autor: | Decehakan |
will mir keiner hier helfen oder was?warte schon seit 22 stunden auf eine antwort
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> will mir keiner hier helfen oder was?warte schon seit 22
> stunden auf eine antwort
Hallo,
Das klingt für mich ziemlich fordernd.
Ich verweise auf die Forenregeln.
Dafür, daß sich niemand meldet, kann es viele Grunde geben, z.B.
- Es hat keiner Zeit, sich in dem zu erwartenden Umfang mit der Aufgabe zu beschäftigen.
- Es hat keiner Lust dazu.
- Es kann keiner.
- Es versteht keiner die Aufgabe.
Gruß v. Angela
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> Es ist eine Zahlenfolge reeller Zahlen
> [mm](a_{n})_{n\varepsilon\IN}[/mm] gegeben mit der folgenden
> Eigenschaft: Es gibt eine Zahl a [mm]\varepsilon \IR[/mm] so dass
> jede echte Teilfolgen [mm](a_{n_{k}})_{k\varepsilon\IN}[/mm] gegen a
> konvergiert.Zeigen Sie ,dass dann gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n})=a[/mm]
> Also :) ,es wird gesagt " [mm](a_{n_{k}})_{k\varepsilon\IN}[/mm]
> gegen a"
Hallo,
das stimmt nicht.
Es wird gesagt: Jede Teilfolge [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] von [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen a.
> " [mm](a_{n_{k}})_{k\varepsilon\IN}[/mm]
> gegen a"
>
> =====> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n_{k}})_{k\varepsilon\IN}=a[/mm]
Das ist kraus.
Wenn Du die Definiion 1:1 umsetzt, kommst Du auf
[mm] ==>\limes_{k\rightarrow\infty}a_{n_{k}}.
[/mm]
[mm] (a_{n_{k}})_{k\varepsilon\IN} [/mm] ist doch die gesamte Folge, Du aber benötigst das k-te Folgenglied [mm] a_{n_{k}}der [/mm] Teilfolge.
Und es geht [mm] k-->\infty [/mm] und nicht n. Ein n haben wir doch hier gar nicht!
Ein bißchen habe ich das Gefühl, daß Du den Begriff Teilfolge nicht verstanden hast .
Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] hat die Folgenglieder
[mm] a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8,...
[/mm]
Eine Teilfolge wäre z.B.
[mm] a_1,a_4,a_5,a_7,a_{10}.a_{12}, a_{14}, a_{16}...
[/mm]
Man könnte sie schreiben als [mm] (a_{n_k}) [/mm] mit [mm] n_0=1, n_1=4, n_2=5, n_3=7, n_4=10, n_5=12, n_k:=2(k+1) [/mm] für alle k> 5.
Hieran solltest Du sehen, daß n kein Laufindex ist, sondern daß es das k ist, welches läuft.
Also [mm] \limes_{k \rightarrow\infty}a_{n_k}.
[/mm]
>
> Nach der Bedingung von Konvergent gilt :
Zu jedem vorgegebenem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] N\in \IN [/mm] so, daß
>
> [mm]|(a_{n_{k}}[/mm] -a |< [mm]\varepsilon \forall[/mm] n> N.
Das vorgegebene [mm] \varepsilon [/mm] und das real existierende N sind durchaus sehr wichtig; nicht nur für den Beweis, sondern zunächst auch fürs Verständnis der Konvergenz - welche dem Beweis vorausgehen muß.
>
> Es ist nun zu zeigen : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n})=a[/mm]
Genau. Das ist das Ziel der Aufgabe. Ausgehend von den Voraussetzungen will man das haben.
>
> ich weiß nicht wie ich jetzt weiter gehen soll,ich hab
> keine ahnung wie ich die beiden unterbringe ...
>
> meine idee war dass für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n})=a[/mm]
> gilt:
Auch das solltest Du nun nach allen Regeln der Kunst aufschreiben, dann weißt Du nämlich, worauf Du zusteuern mußt.
Den Rest, den Du schreibst, werde ich jetzt nicht in alle Einzelheiten zerpflücken, es sind einige richtige Ideen darin, die man unbedingt braucht, wie der Gedanke, mit der Dreiecksungleichung etwas zu bewirken.
Nun paß auf.
Wenn jede Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] gegen a konvergiert, tut dies insbesondere die Folge der geraden Folgenglieder [mm] (a_{2k})_{k\in \IN}.
[/mm]
Das bedeutet ...
Ebenso die Folge der ungeraden Folgenglieder [mm] (a_{2k+1})_{k\in \IN}.
[/mm]
Das bedeutet ...
Dann kannst Du zeigen, daß [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist, woraus die Konvergenz folgt.
Bleibt zu zeigen, daß wirklich a der Grenzwert ist.
Hierfür kannnst Du (falls das irgendwo dran war, ansonsten mußt Du's "zeigen" - es folgt direkt aus den Def.) verwenden, daß sämtliche Teilfolgen konvergenter Folgen gegen den Grenzwert der Folge konvergieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:52 So 13.05.2007 | | Autor: | Decehakan |
und wie zeig ich das nun mit der teilfolge :) ,ich wüsste jetzt gar nicht ..
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> und wie zeig ich das nun mit der teilfolge :) ,ich wüsste
> jetzt gar nicht ..
Hallo,
ich weiß jetzt echt nicht, was Du mit "das" meinst.
Wie weit bist Du denn jetzt?
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:36 So 13.05.2007 | | Autor: | Decehakan |
Andersrum...Kannst du es mir beweisen ....:)?besser jetzt ?^^
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> Andersrum...Kannst du es mir beweisen ....:)?besser jetzt
> ?^^
Das ist immerhin deutlich.
Ja. Ich kann das.
Aber ich werde es nicht tun.
Ich verweise auf den entsprechenden Passus in den Forenregeln.
Ich habe versucht, Dir einiges, was Du wissen mußt, zu erklären, und auch erzählt, wie Du das mit dem Beweis machen mußt.
Jetzt würde ich Aktion von Dir erwarten.
Zu einem Dialog bin ich bereit, zu einem Ein-Personen-Theaterstück, in welchem ich die eine Person bin, nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:15 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Decehakan |
man du bist ja unsymphatisch , ich wollte den beweis ansehen ,da ich wissen wollte wie sowas ausieht .okey?manche sachen muss man halt sehen sodass man den prinzip versteht ...
und da ich im ersten semester bin ,finde ich echt nett von dir ....tzzz ,naja egal
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> man du bist ja unsymphatisch ,
Hallo,
damit, daß Du mich unsympathisch findest, kann ich gut leben - man wird halt nicht von jedem gemocht.
> ich wollte den beweis
> ansehen ,da ich wissen wollte wie sowas ausieht
> .okey?manche sachen muss man halt sehen sodass man den
> prinzip versteht ...
Manche Sachen muß man tun, damit man sie versteht - auch (und gerade im) ersten Semster.
Beweise zum Anschauen findet man zuhauf in Büchern.
> und da ich im ersten semester bin ,finde ich echt nett von
> dir ....tzzz ,naja egal
Falls Du mir hiermit mangelnde Hilfs- und Kooperationsbereitschaft vorwirfst, möchte ich das mit Hinweis auf meine erste Antwort in diesem Thread entschieden zurückweisen.
Gruß v. Angela
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sag mir wenigstens den ersten ansatz ich will das verstehen ...
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> sag mir wenigstens den ersten ansatz ich will das verstehen
> ...
Ich habe doch schon gesagt, wie Du das machen kannst!
Schreib Dir zunächst auf, was [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a [/mm] bedeutet:
Zu jedem ...
Dann weißt Du, worauf Du hinarbeiten mußt.
Beweis:
Da jede Teilfolge konvergiert, konvergieren die Folgen [mm] (a_{2n})=(a-0,a_2,a_4,a_6,...) [/mm] und [mm] (a_{2n+1})=(a_1,a_3,a_5,...)
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] ...
Nun die Def. für Konvergenz der beiden Folgen.
Dann zeigst Du mithilfe des obigen, daß [mm] (a_n) [/mm] Cauchyfolge ist, Du schätzt also
[mm] |a_n-a_{n+1}| [/mm] ab. Bedenke, daß [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] einfach zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder sind.
Wenn Du Cauchyfolge hast, folgt hieraus sofort (Vorlesung) Konvergenz.
Nun brauchst Du nur noch einen guten Grund dafür, daß es sich um Konvergenz gegen a handelt. (Normalerweise liefert den die Vorlesung mit dem Sätzchen über Teilfolgen konvergenter Folgen.)
Gruß v. Angela
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Hallo,
ist bisschen alt diese Aufagbe aber ich noch ein Frage dazu.
Bin grad auch dabei die Aufgabe zu lösen.
In der Aufgabenstellung steht ja das jede Teilfolde konvergiert. Nun schreibst du dass die Def. für Konvergenz auf die "geraden" und "ungeraden" Teilfolgen anwenden muss.
Aber was bringt mir dass denn? Was ist denn das genau Ziel dieses Schrittes?
Schonmal danke wenn du mir eine Anwort geben könntest :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 So 14.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir haben: [mm] (a_{2n}) [/mm] konv. gegen a und [mm] (a_{2n+1}) [/mm] konv. gegen a.
Nun geben wir uns ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] vor. Sei [mm] U_{\varepsilon}(a):= (a-\varepsilon, a+\varepsilon)
[/mm]
Mal Dir ein Bild ! Wir machen ein Ergänzungs-Rate-Spiel: Du ergänzt . was jeweils für xxx stehen muß.
1. Wieviele Folgenglieder mit geradem Index liegen außerhalb von [mm] U_{\varepsilon}(a) [/mm] ? Antwort: höchstens xxx
2. Wieviele Folgenglieder mit ungeradem Index liegen außerhalb von [mm] U_{\varepsilon}(a) [/mm] ? Antwort: höchstens xxx
3. Wieviele Folgenglieder [mm] a_n [/mm] liegen dann außerhalb von [mm] U_{\varepsilon}(a) [/mm] ? Antwort: höchstens xxx
4. Wieviele Folgenglieder [mm] a_n [/mm] liegen dann innerhalb von [mm] U_{\varepsilon}(a) [/mm] ? Antwort: fast xxx, also alle ab einem gewissen xxx
5. Fazit: zu [mm] \varepsilon> [/mm] 0 gibt es ei xxx [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n-a| [/mm] < xxx für n > xxx
FRED
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So was du jetzt bestimmt meinst ist die [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung aufzeichen.
1.) Es dürfen dann höchsten [mm] \varepsilon [/mm] halbe Folgenglieder mit geraden Index stehen.
2.) Das müsste der gleiche Fall wie bei 1.) sein mit den ungeraden Folgenglieder.
3.) Folgt dann dass es höchsten [mm] \varepsilon [/mm] Folgenglieder.
stimmt das?
wäre dann bei 5.) nur die Def. für die Konvergenz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 So 14.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> So was du jetzt bestimmt meinst ist die [mm]\varepsilon[/mm]
> Umgebung aufzeichen.
>
> 1.) Es dürfen dann höchsten [mm]\varepsilon[/mm] halbe
> Folgenglieder mit geraden Index stehen.
>
> 2.) Das müsste der gleiche Fall wie bei 1.) sein mit den
> ungeraden Folgenglieder.
>
> 3.) Folgt dann dass es höchsten [mm]\varepsilon[/mm]
> Folgenglieder.
>
> stimmt das?
Nein. Das ist kompletter Unsinn !
Zu1.
1. Wieviele Folgenglieder mit geradem Index liegen außerhalb von $ [mm] U_{\varepsilon}(a) [/mm] $ ? Antwort: höchstens xxx
Antwort: höchstens endlich viele
FRED
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> wäre dann bei 5.) nur die Def. für die Konvergenz?
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Ah okay. Jetzt weiß ich was gemeint ist. Eben in den Unterlagen noch durchgeblättert.
Also.
1.) höchstens endlich viele
2.) auch höchstens endlich viele
3.) (was kommt denn hier hin? auch endlich viele?)
4.) fast alle Folgenglieder, also ab einem (im Buch steht jetzt einen Index N)? was heißt das genau?
Ist das soweit richtig?
5.)Fazit: zu $ [mm] \varepsilon> [/mm] $ 0 gibt es ein N $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] |a_n-a| [/mm] $ < [mm] \varepsilon [/mm] für n > N
Aber dann steht ja im Fazit schon dass [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert. Dass soll ich ja beweisen.
Oder folgt das aus den Punkten 1.-4.?
Aber ich versteh erhrlich gesagt den ganzen Zusammenhang noch nicht -.-"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ah okay. Jetzt weiß ich was gemeint ist. Eben in den
> Unterlagen noch durchgeblättert.
> Also.
>
> 1.) höchstens endlich viele
> 2.) auch höchstens endlich viele
Ja
> 3.) (was kommt denn hier hin? auch endlich viele?)
Ja
> 4.) fast alle Folgenglieder, also ab einem (im Buch steht
> jetzt einen Index N)?
Ja
> was heißt das genau?
>
> Ist das soweit richtig?
>
> 5.)Fazit: zu [mm]\varepsilon>[/mm] 0 gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]|a_n-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für n > N
>
> Aber dann steht ja im Fazit schon dass [mm]a_n[/mm] gegen a
> konvergiert. Dass soll ich ja beweisen.
> Oder folgt das aus den Punkten 1.-4.?
Ja
FRED
>
> Aber ich versteh erhrlich gesagt den ganzen Zusammenhang
> noch nicht -.-"
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