Zahlenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Sei x E R. Betrachten Sie für n E N mit n>|x| die Zahlenfolgen [mm] E_{n}(x)=(1+\bruch{x}{n})^{n} [/mm] und [mm] F_{n}(x)=(1-\bruch{x}{n})^{-n}
[/mm]
Zeigen Sie folgende Aussagen:
1) [mm] E_{n}(x) \le F_{n}(x)
[/mm]
[mm] 2)E_{n}(x) \le E_{n+1}(x) \le
[/mm]
3) [mm] F_{n}(x) \ge F_{n+1}(x) \ge
[/mm]
[mm] 4)E_{n}(x) \le F_{m}(x) [/mm] für n,m > |x|
Bemerkung: Wird ein Euro mit dem Zinssatz x angelegt, so liefert er nach einem Jahr [mm] 1+x=E_{1}(x) [/mm] Euro. Beim Zinseszins wird das Jahr in n Abschnitte unterteilt und der Zins anteilig genommen. Nach einem Jahr ergibt das [mm] (1+\bruch{x}{n})^{n}=E_{n}(x) [/mm] Euro. |
Hallo!
Irgendwie weiß ich gar nicht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Muss ich jede Aussage durch Induktion zeigen? Oder hat es evtl etwas mit der Binomischen Formel zu tun? Was bringt mir die Bemerkung?
Für ein paar Anregungen wär ich euch sehr dankbar!
LG Leni
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
hallo!
weiß von euch auch niemand weiter? ich komm einfach net drauf....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Fr 10.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei x E R. Betrachten Sie für n E N mit n>|x| die
> Zahlenfolgen [mm]E_{n}(x)=(1+\bruch{x}{n})^{n}[/mm] und
> [mm]F_{n}(x)=(1-\bruch{x}{n})^{-n}[/mm]
> Zeigen Sie folgende Aussagen:
> 1) [mm]E_{n}(x) \le F_{n}(x)[/mm]
erweitere die rechte Seite der Ungleichung mit [mm] 1+\bruch{x}{n})^{n} [/mm] und 3. bin. Formel im Nenner.
> [mm]2)E_{n}(x) \le E_{n+1}(x) \le[/mm]
hier greift die Bemerkung unten. Bei Zinseszinsen bekommt man immer mehr als bei einfachen Zinsen!
Es ist auch eine Form der sog. Bernoulli Ungleichung, die du wahrscheinlich auch brauchst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi Leduard!
Danke für deine Antwort. Ich weiß aber immer noch nicht genau was du meinst. Du meinst also, dass ich ohne Induktion arbeiten kann? Und wie meinst du das mit dem Erweitern? Ich kann doch net einfach die rechte Seite erweitern, aber die linke net...
LG Leni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
Hat niemand mehr eine Idee zu dieser Aufgabe?
Grüße Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Sa 11.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo leni
Hast du denn Ansätze gemacht und irgendwas raus?
Ich mach mal den Anfang mit
[mm] (1+\bruch{x}{n}) [/mm] ^n < [mm] (1+\bruch{x}{n+1})^{n+1}
[/mm]
[mm] (1+\bruch{x}{n}) [/mm] ^n < [mm] (1+\bruch{x}{n+1})^{n}*(1+\bruch{x}{|n+1})
[/mm]
[mm] (\bruch{n+x}{n})^n <(\bruch{n+1+x}{n+1})^n*\bruch{n+1+x}{n+1}
[/mm]
[mm] (\bruch{n+x}{n}*\bruch{n+1}{n+1+x})^n <\bruch{n+1+x}{n+1}
[/mm]
die Ungl. mit dem > kann ich leichter zeigen, drum bild ich die kehrwerte der Brüche: a<b ==> 1/a>1/b
also :
[mm] (\bruch{n^2+n+nx+x-x}{n^2+nx+n+x})^n>\bruch{n+1+x-x}{n+1+x}
[/mm]
mein Ziel ist die Bernoulli Ungleichung in der Form [mm] :(1+a)^n>1+n*a [/mm] für a>-1
die will verwerten deshalb oben schon vorbereitend das +x-x
also:
[mm] (1-\bruch{x}{n^2+n+nx+x})^n >1-\bruch{x}{n+1+x}
[/mm]
wegen [mm] -\bruch{x}{n^2+n+nx+x}>-1 [/mm] kann ich bernoulli anwenden und habe:
[mm] (1-\bruch{x}{n^2+n+nx+x})^n >1-n*\bruch{x}{n^2+n+nx+x}=1-\bruch{x}{n+1+x+x/n} [/mm]
[mm] \bruch{x}{n+1+x+x/n} <\bruch{x}{n+1+x}
[/mm]
deshalb [mm] 1-\bruch{x}{n+1+x+x/n}>1-\bruch{x}{n+1+x}
[/mm]
fertig.
die nächsten Beweise auf ähnliche Art musst du selber aufschreiben, mir ist das zu viel Schreibarbeit!
Lies dir das sorgfältig durch, ich garantier nicht für Verschreibfehler!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 11.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo leni
aus [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{c}{d} [/mm] folgt doch [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{c*e}{d*e}
[/mm]
das ist doch der Sinn des Erweiterns, dass das Ergebnis gleich bleibt.
Gruss leduart
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Nach Voraussetzung werden nur [mm] n\in\IN [/mm] betrachtet, für die gilt n>|x|.
=> 0 [mm] \le \bruch{|x|}{n} [/mm] < 1
=> 0 < [mm] 1-\bruch{x^2}{n^2} \le [/mm] 1
=> 0 < [mm] (1-\bruch{x^2}{n^2})^n \le [/mm] 1
=> 0 < [mm] (1+\bruch{x}{n})^{n}*(1-\bruch{x}{n})^{n} \le [/mm] 1
Nun folgt ja nach der Voraussetzung n>|x| unter anderem auch
[mm] 1-\bruch{x}{n} [/mm] > 0
=> [mm] (1-\bruch{x}{n})^{n} [/mm] > 0
Folglich darf man dividieren, ohne dass sich das Kleiner-gleich-Zeichen ändert.
=> [mm] (1+\bruch{x}{n})^{n} \le (1-\bruch{x}{n})^{-n}
[/mm]
=> [mm] E_n [/mm] (x) [mm] \le F_n [/mm] (x) qed
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Seien n,m > |x| und die Aussagen 1,2,3 bewiesen.
Sei zunächst n>m.
Aus 2 folgt trivial [mm] E_m [/mm] (x) [mm] \le E_n [/mm] (x)
Aus 3 folgt trivial [mm] F_m [/mm] (x) [mm] \ge F_n [/mm] (x)
Mit 1 folgt [mm] E_n [/mm] (x) [mm] \le F_n [/mm] (x) [mm] \le F_m [/mm] (x), also [mm] E_n [/mm] (x) [mm] \le F_m [/mm] (x).
Bei n=m ist Aussage 4 mit Aussage 1 identisch.
Sei n<m.
Aus 2 folgt trivial [mm] E_m [/mm] (x) [mm] \ge E_n [/mm] (x)
Aus 3 folgt trivial [mm] F_m [/mm] (x) [mm] \le F_n [/mm] (x)
Mit 1 folgt [mm] E_n [/mm] (x) [mm] \le E_m [/mm] (x) [mm] \le F_m [/mm] (x), also [mm] E_n [/mm] (x) [mm] \le F_m [/mm] (x).
qed
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Zunächst: n > |x| [mm] \gdw [/mm] -n < x < n
Daraus folgt: [mm] 1+\bruch{x}{n}>0 [/mm] und [mm] 1-\bruch{x}{n}>0
[/mm]
Seien Aussage 1 und Aussage 2 bewiesen.
Weil 2 für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt, gilt 2 auch für -x, da |-x|=|x|.
Also gilt: 0 [mm] \le (1+\bruch{-x}{n})^n \le (1+\bruch{-x}{n+1})^{n+1}
[/mm]
Bildet man von positiven Zahlen den Kehrwert, dreht sich das Zeichen um.
Damit gilt: [mm] (1+\bruch{-x}{n})^{-n} \ge (1+\bruch{-x}{n+1})^{-(n+1)} [/mm] qed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 So 12.11.2006 | | Autor: | otto.euler |
Sei [mm] n_0 \in \IN [/mm] minimal mit [mm] n_0 [/mm] > |x|
Dann hat die monoton wachsende Folge [mm] E_n [/mm] (x) die obere Schranke [mm] F_{n_0} [/mm] (x). Folglich ist sie konvergent. Ihr Grenzwert sei [mm] g_E [/mm] (x). Analog hat die monoton fallende Folge [mm] F_n [/mm] (x) die untere Schranke [mm] E_{n_0} [/mm] (x). Also ist sie konvergent; ihr Grenzwert sein [mm] g_F [/mm] (x).
Betrachte die Folge [mm] G_n [/mm] (x) := [mm] F_n [/mm] (x) - [mm] E_n [/mm] (x) mit n>|x|. Da alle Folgenglieder nicht-negativ sind, ist 0 eine untere Schranke.
Aus [mm] F_n [/mm] - [mm] F_{n+1} \ge [/mm] 0 und [mm] E_{n+1} [/mm] - [mm] E_n \ge [/mm] 0 folgt
[mm] (F_n [/mm] - [mm] E_n [/mm] ) - [mm] (F_{n+1} [/mm] - [mm] E_{n+1}) \ge [/mm] 0
also [mm] G_n \ge G_{n+1}, [/mm] d.h. [mm] G_n [/mm] ist monoton fallend.
Folglich ist [mm] G_n [/mm] konvergent und es gilt für den Grenzwert [mm] g_G:
[/mm]
0 [mm] \le g_G [/mm] = [mm] g_F [/mm] - [mm] g_E
[/mm]
Andererseits gilt wegen 4 stets [mm] g_E \le g_F
[/mm]
Daraus folgt [mm] g_E [/mm] = [mm] g_F. [/mm] Beide Folgen haben denselben Grenzwert.
Dieser gemeinsame Grenzwert ist [mm] e^x [/mm] mit der Eulerschen Zahl e.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 So 12.11.2006 | | Autor: | otto.euler |
Beweis fehlt noch.
Möglicher Ansatz: [mm] (1+\bruch{x}{n})^n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i} (\bruch{x}{n})î
[/mm]
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