Zahlenfolgen2 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mo 14.06.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
gegeben ist die Folge [mm]a_{n} = n*\sqrt{1+\frac{1}{n}}-n[/mm]. Das habe ich durch entsprechendes Erweitern folgendermassen umgeformt:
[mm]\frac{n}{n*\sqrt{1+\frac{1}{n}}+n}[/mm]
Anschliessend den kompletten Bruch durch [mm]n[/mm] geteilt:
[mm]\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}[/mm]
Daran erkennt man, dass die Folge wohl gegen [mm]\frac{1}{2}[/mm] konvergiert. Soweit richtig oder habe ich hier schon was falsch gemacht?
Jetzt moechte ich gern den umgeformten Ausdruck in die Ungleichung
[mm]|a_{n} - a| < \varepsilon[/mm]
einsetzen und nach [mm]n[/mm] aufloesen. Aber wie schaffe ich das? Ich habe verschiedenes probiert (z.B. einfach die Differenz zu berechnen oder versuchen die Wurzel auf eine Seite zu bringen und dann beide Seiten zu potenzieren), aber ich komme immer auf [mm]n > \frac{\varepsilon}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8\varepsilon}[/mm], was aber nicht stimmt, da das Ergebnis [mm]n > \frac{1}{8\varepsilon}[/mm] lautet.
Bin fuer alle Hinweise dankbar!
Viele Gruesse,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo michael7,
in welchem Land behandelt man denn die Konvergenz von Zahlenfolgen in der 9. oder 10. Klasse?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mo 14.06.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Marc,
> in welchem Land behandelt man denn die Konvergenz von
> Zahlenfolgen in der 9. oder 10. Klasse?
ich bin eigentlich schon aus der Schule, bin momentan aber am Durcharbeiten von diversem Stoff und oefters nicht ganz sicher, wo die jeweilige Frage einzuordnen ist. Beim Drueberlesen der Beitraege von "Klassen 9-10" war ich ueberrascht, was da schon alles gemacht wird. Aber Konvergenz von Zahlenfolgen gehoert wohl wirklich mehr nach "Oberstufe".
Viele Gruesse,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Di 15.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michael
> Hallo,
>
> gegeben ist die Folge [mm]a_{n} = n*\sqrt{1+\frac{1}{n}}-n[/mm]
> Das habe ich durch entsprechendes Erweitern folgendermassen
> umgeformt:
>
> [mm] $\frac{n}{n*\sqrt{1+\frac{1}{n}}+n}$
[/mm]
>
> Anschliessend den kompletten Bruch durch $n$ geteilt:
>
Hier meinst du sicher: mit $n$ gekürzt. 
> [mm] $\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$
[/mm]
>
> Daran erkennt man, dass die Folge wohl gegen [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm]
> konvergiert. Soweit richtig oder habe ich hier schon was
> falsch gemacht?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nein, das ist alles korrekt. 
> Jetzt moechte ich gern den umgeformten Ausdruck in die
> Ungleichung
>
> [mm] $|a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
>
> einsetzen und nach [mm]n[/mm] aufloesen. Aber wie schaffe ich das?
> Ich habe verschiedenes probiert (z.B. einfach die Differenz
> zu berechnen oder versuchen die Wurzel auf eine Seite zu
> bringen und dann beide Seiten zu potenzieren), aber ich
> komme immer auf $n > [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{8\varepsilon}$, [/mm]
> was aber nicht stimmt, da das Ergebnis $n > [mm] \frac{1}{8\varepsilon}$ [/mm]
> lautet.
>
> Bin fuer alle Hinweise dankbar!
>
Nun, es geht ja nur um eine Abschätzung. Du musst ein $n$ finden, das die Bedingung sicher erfüllt, das heisst, wenn du das $n$ grösser wählst als die genaue Rechnung ergibt, dann bist du auf der guten Seite.
In deinem Falle, etwas genauer Analysiert:
$n > [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{8\varepsilon}$
[/mm]
$n > [mm] (\frac{\varepsilon}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}) [/mm] + [mm] \frac{1}{8\varepsilon}$
[/mm]
Wenn der Ausdruck, den ich in Klammern gesetzt habe, $< 0$ ist, dann kann ich ihn auch weglassen, da sich die Grenze für $n$ dadurch "nach rechts" verschiebt.
Untersuchen wir also mal, wann dieser Ausdruck in Klammern $< 0$ wird:
[mm] $\frac{\varepsilon}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] < 0$
[mm] $\varepsilon [/mm] - 1 < 0$
[mm] $\varepsilon [/mm] < 1$
Sobald [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ gewählt wird, ist die Vereinfachung der Ungleichung also zulässig!
Alles klar? Falls nicht, bitte melden!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Di 15.06.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Paul,
> > komme immer auf $n > [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm]
> + [mm] \frac{1}{8\varepsilon}$, [/mm]
> > was aber nicht stimmt, da das Ergebnis $n >
> [mm] \frac{1}{8\varepsilon}$ [/mm]
> > lautet.
> >
> > Bin fuer alle Hinweise dankbar!
> >
>
> Nun, es geht ja nur um eine Abschätzung. Du musst ein $n$
> finden, das die Bedingung sicher erfüllt, das heisst, wenn
> du das $n$ grösser wählst als die genaue Rechnung ergibt,
> dann bist du auf der guten Seite.
OK, an einen solchen "Trick" hatte ich nicht gedacht.
> In deinem Falle, etwas genauer Analysiert:
>
> $n > [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] +
> [mm] \frac{1}{8\varepsilon}$
[/mm]
>
> $n > [mm] (\frac{\varepsilon}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}) [/mm] +
> [mm] \frac{1}{8\varepsilon}$
[/mm]
>
> Wenn der Ausdruck, den ich in Klammern gesetzt habe, $< 0$
> ist, dann kann ich ihn auch weglassen, da sich die Grenze
> für $n$ dadurch "nach rechts" verschiebt.
Gilt dies nicht auch fuer [mm]= 0[/mm]?
> Untersuchen wir also mal, wann dieser Ausdruck in Klammern
> $< 0$ wird:
>
> [mm] $\frac{\varepsilon}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] < 0$
>
> [mm] $\varepsilon [/mm] - 1 < 0$
>
> [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$
>
> Sobald [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ gewählt wird, ist die
> Vereinfachung der Ungleichung also zulässig!
>
> Alles klar? Falls nicht, bitte melden!
Soweit habe ich das jetzt verstanden. Vielen Dank! Aber muesste man das streng genommen nicht zur Loesung dazuschreiben, dass der Ausdruck [mm]n > \frac{1}{8\varepsilon}[/mm] nur fuer [mm]\varepsilon < 1[/mm] gilt und ansonsten der komplette Ausdruck verwendet werden muss?
Viele Gruesse,
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Di 15.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michael
> >
> > Wenn der Ausdruck, den ich in Klammern gesetzt habe, [mm]< 0[/mm]
>
> > ist, dann kann ich ihn auch weglassen, da sich die Grenze
>
> > für [mm]n[/mm] dadurch "nach rechts" verschiebt.
>
> Gilt dies nicht auch fuer [mm]= 0[/mm]?
>
Ja, selbstverständlich! Sehr gur beobachtet!! Da habe ich mich tatsächlich verschrieben: es müsste $<=$ heissen, nicht $<$ ! Sorry, tut mir leid!
>
> Soweit habe ich das jetzt verstanden. Vielen Dank! Aber
> muesste man das streng genommen nicht zur Loesung
> dazuschreiben, dass der Ausdruck [mm]n > \frac{1}{8\varepsilon}[/mm]
> nur fuer [mm]\varepsilon < 1[/mm] gilt und ansonsten der komplette
> Ausdruck verwendet werden muss?
Ja, da hast du Recht! Man sollte (in unseren Falle) streng genommen das in etwa so formulieren:
$n > [mm] \frac{1}{8\varepsilon}$, [/mm] sobald [mm] $\varepsilon \le [/mm] 1$.
Das wird aber in der Regel nicht gemacht, da der ganze Vorgang ja so oder so wie ein Zwiegespräch betrachtet wird: jemand wählt [mm] $\varepsilon [/mm] = 0.1$, und du sagst: Ok, dann nehme ich für $n$ den Wert $2$ ($n > 10/8$).
dann kommt der jemand wieder, und sagt: wie wäre es dann aber für [mm] $\varepsilon [/mm] = 0.001$?, worauf du wieder entgegnest: dann nehme ich halt für $n$ den Wert $126$!
Das heisst, der jemand will das [mm] $\varepsilon$ [/mm] möglichst klein machen, um dir die Sache mit dem $n$ zu vermiesen, aber du konterst immer mit dem auf Grund des vorgegebenen kleinen [mm] $\varepsilon$ [/mm] neu berechneten Wert für $n$, so dass alle folgenden [mm] $a_i$ [/mm] innerhalb der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] des Grenzwertes liegen.
So gesehen, hättest du übrigens auch an Stelle $n > [mm] \bruch{1}{8\varepsilon}$ [/mm] auch einfach zum Beispiel $n > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] nehmen können, denn - wie bereits gesagt - : aufrunden darf man immer!
P.S. In unserem vorliegenden Fall gilt ja auch noch, dass der durch die genaue Formel berechnete Wert für [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] negativ wird. Da aber unser $n$ eine natürliche Zahl sein muss, gilt die Formel auch für die grossen [mm] $\varepsilon$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 16.06.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Paul,
vielen Dank fuer Deine ausfuehrliche Erklaerung! Wirklich ein nettes Forum hier!
Viele Gruesse,
Michael
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