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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 04.11.2008 | | Autor: | mmg |
| Aufgabe | | Können Zahlenfolgen 2 Grenzwerte haben? |
Kann mir jemand helfen diese Frage zu beantworten? Und wenn ja, wie?
Wie würde das graphisch dargestelt aussehen ( KO-System)? Wie sehen solche Zahlenfolgen aus? Wie kann ich das mit der Grenzwertdefinition ggf beweisen?
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mmg und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Können Zahlenfolgen 2 Grenzwerte haben?
> Kann mir jemand helfen diese Frage zu beantworten? Und
> wenn ja, wie?
> Wie würde das graphisch dargestelt aussehen ( KO-System)?
> Wie sehen solche Zahlenfolgen aus? Wie kann ich das mit der
> Grenzwertdefinition ggf beweisen?
Nein, wenn eine (Zahlen-)Folge einen Grenzwert hat, so ist er eindeutig, sprich: es kann nur einen geben
Aber es kann durchaus zwei Teilfolgen der Folge geben, die beide einen Grenzwert haben können, die verschieden sind.
Schaue dir mal die Folge [mm] $(-1)^n$ [/mm] an, das ist $1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,.....$
Diese Folge nimmt für gerades n immer den Wert 1 an, für ungerades n immer den Wert -1
Die Teilfolgen sind hier also [mm] $(-1)^{\overbrace{2n}^{\text{gerade}}}$ [/mm] und [mm] $(-1)^{\overbrace{2n-1}^{\text{ungerade}}}$
[/mm]
Wenn du das in ein Koordinatensystem einträgst, hüpft die Folge immer zwischen -1 und 1 hin-und her.
Die (Gesamt-)Folge hat daher keinen Grenzwert.
Wenn du eine Folge hast, die einen Grenzwert, sagen wir a hat, so kannst du das geometrisch im Koordinatensystem so erklären bzw. skizzieren, dass du einen beliebig kleinen Streifen (parallel zur x-Achse) um a legen kannst und irgendwann und irgendwo auf der x-Achse ein möglicherweise weit entferntes großes x (bzw. hier haben wir es n genannt) findest, so dass ab diesem n alle weiteren Glieder der Folge innerhalb dieses schmalen Streifens um a liegen.
Das klappt zB. bei der obigen Beispielfolge nicht.
Nimm mal an, der Grenzwert sei 1, dann lege einen Streifen der Breite [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] um 1, dann liegen aber - egal wie weit du auch auf der x-Achse gehst - immer die -1-Werte außerhalb dieses Streifens ...
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LG
schachuzipus
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