matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDeutsche Mathe-OlympiadeZahlentheorie-GleiSys (441336)
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Deutsche Mathe-Olympiade" - Zahlentheorie-GleiSys (441336)
Zahlentheorie-GleiSys (441336) < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Deutsche Mathe-Olympiade"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Zahlentheorie-GleiSys (441336): Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Di 03.02.2009
Autor: tuxor

Aufgabe
Es seien a, b ganze Zahlen und [mm] p_1 [/mm] , [mm] p_2 [/mm] , . . . , [mm] p_6 [/mm] Primzahlen. Man ermittle alle derartigen Zahlen, die das Gleichungssystem
[mm] a^6 [/mm] − [mm] b^6 [/mm] = [mm] p_1 p_2 p_3 [/mm] (1)
[mm] a^3 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] = [mm] p_1 p_2 [/mm] (2)
a + b = [mm] p_1 [/mm] (3)
ab = [mm] p_4 p_5 p_6 [/mm] (4)
erfüllen.

Da kann man ja so einiges umformen und ausschließen. Ich habe nacheinander feststellen können, dass a und b nicht negativ und dann sogar größer 1 sein müssen. Außerdem ist a > b und von a und b muss genau eine Zahl durch 2 teilbar sein. (Die Begründungen kann ich bei Bedarf noch nachreichen.)
Zu einer Lösung bin ich trotzdem nicht gekommen. Nicht mal zu einer einzigen durch Ausprobieren. Vermutlich gibt es keine (?)

Durch Umformen bekommt man z.B. diese interessanten Zusammenhänge:
[mm] p_2 [/mm] = [mm] \bruch{a^3 + b^3}{a+b} [/mm]
[mm] p_1 [/mm] = a + b
[mm] p_3 [/mm] = [mm] a^3 [/mm] - [mm] b^3 [/mm]

Jetzt habe ich aber irgendwo gelesen, dass es für die Aufgabe einen sehr kurzen Lösungsweg geben soll, und habe deswegen die Vermutung, dass ich ziemlich im Dunklen tappe und einen entscheidenden Punkt noch übersehe.

Ich würde mich wie immer über einen eurer immer sehr hilfreichen Vorschläge freuen :)

        
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Di 03.02.2009
Autor: abakus


> Es seien a, b ganze Zahlen und [mm]p_1[/mm] , [mm]p_2[/mm] , . . . , [mm]p_6[/mm]
> Primzahlen. Man ermittle alle derartigen Zahlen, die das
> Gleichungssystem
>  [mm]a^6[/mm] − [mm]b^6[/mm] = [mm]p_1 p_2 p_3[/mm] (1)

Hallo,
Kennst du binomische Formeln?
Es ist [mm] a^6-b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^3). [/mm] Jetzt vergleiche das mal mit der zweiten Gleichung ...
Gruß Abakus

>  [mm]a^3[/mm] + [mm]b^3[/mm] = [mm]p_1 p_2[/mm] (2)
>  a + b = [mm]p_1[/mm] (3)
>  ab = [mm]p_4 p_5 p_6[/mm] (4)
>  erfüllen.
>  Da kann man ja so einiges umformen und ausschließen. Ich
> habe nacheinander feststellen können, dass a und b nicht
> negativ und dann sogar größer 1 sein müssen. Außerdem ist a
> > b und von a und b muss genau eine Zahl durch 2 teilbar
> sein. (Die Begründungen kann ich bei Bedarf noch
> nachreichen.)
>  Zu einer Lösung bin ich trotzdem nicht gekommen. Nicht mal
> zu einer einzigen durch Ausprobieren. Vermutlich gibt es
> keine (?)
>  
> Durch Umformen bekommt man z.B. diese interessanten
> Zusammenhänge:
>  [mm]p_2[/mm] = [mm]\bruch{a^3 + b^3}{a+b}[/mm]
>  [mm]p_1[/mm] = a + b
>  [mm]p_3[/mm] = [mm]a^3[/mm] - [mm]b^3[/mm]
>  
> Jetzt habe ich aber irgendwo gelesen, dass es für die
> Aufgabe einen sehr kurzen Lösungsweg geben soll, und habe
> deswegen die Vermutung, dass ich ziemlich im Dunklen tappe
> und einen entscheidenden Punkt noch übersehe.
>  
> Ich würde mich wie immer über einen eurer immer sehr
> hilfreichen Vorschläge freuen :)


Bezug
                
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Di 03.02.2009
Autor: tuxor

Danke für deine schnelle Reaktion :)

Ich hätte doch die Herleitung meiner bisherigen Erkenntnisse dokumentieren sollen ;) Diese dritte binomische Formel habe ich auch noch bemerkt. So bin ich ja auch auf die bereits erwähnte Gleichung [mm] p_3 [/mm] = [mm] a^3 [/mm] - [mm] b^3 [/mm] gekommen. Das hat mich dann auch zu der Erkenntnis gebracht, dass a größer b sein muss. Doch weiter komme ich damit nicht.

Wo steckt also an dieser Stelle der entscheidende Angriffspunkt?

Bezug
                        
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Di 03.02.2009
Autor: abakus


> Danke für deine schnelle Reaktion :)
>  
> Ich hätte doch die Herleitung meiner bisherigen
> Erkenntnisse dokumentieren sollen ;) Diese dritte
> binomische Formel habe ich auch noch bemerkt. So bin ich ja
> auch auf die bereits erwähnte Gleichung [mm]p_3[/mm] = [mm]a^3[/mm] - [mm]b^3[/mm]
> gekommen. Das hat mich dann auch zu der Erkenntnis
> gebracht, dass a größer b sein muss. Doch weiter komme ich
> damit nicht.
>  
> Wo steckt also an dieser Stelle der entscheidende
> Angriffspunkt?

Ob entscheidend - weiß ich nicht.
Auf alle Fälle ist die Polynomdivision [mm] (a^3+b^3)/(a+b) [/mm] ohne Rest möglich. Und eine der Zahle [mm] p_4, p_5, p_6 [/mm] muss 2 sein.
Gruß Abakus


Bezug
                                
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Di 03.02.2009
Autor: abakus


> > Danke für deine schnelle Reaktion :)
>  >  
> > Ich hätte doch die Herleitung meiner bisherigen
> > Erkenntnisse dokumentieren sollen ;) Diese dritte
> > binomische Formel habe ich auch noch bemerkt. So bin ich ja
> > auch auf die bereits erwähnte Gleichung [mm]p_3[/mm] = [mm]a^3[/mm] - [mm]b^3[/mm]
> > gekommen. Das hat mich dann auch zu der Erkenntnis
> > gebracht, dass a größer b sein muss. Doch weiter komme ich
> > damit nicht.
>  >  
> > Wo steckt also an dieser Stelle der entscheidende
> > Angriffspunkt?
> Ob entscheidend - weiß ich nicht.
>  Auf alle Fälle ist die Polynomdivision [mm](a^3+b^3)/(a+b)[/mm]
> ohne Rest möglich. Und eine der Zahle [mm]p_4, p_5, p_6[/mm] muss 2
> sein.
>  Gruß Abakus
>  

Ach so, da war noch was. Einerseits ist wohl [mm] (a^3-b^3) [/mm] Primzahl, andererseits ist [mm] (a^3-b^3) [/mm] in zwei Faktoren zerlegbar (Polynomdivison durch (a-b)!). Dieser Widerspruch ist nur auflösbar, wenn einer der beiden Faktoren 1 (oder -1) ist.

Bezug
                                        
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 Di 03.02.2009
Autor: tuxor

Dass [mm] a^n \pm b^n [/mm] für ungerade n faktorisierbar ist, hätte ich echt erkennen müssen. Denn das kam schon in anderen Aufgaben vor, die ich mal gelöst habe. Echt blöd gelaufen ^^

Wir haben jetzt [mm] p_3 [/mm] = [mm] a^3 [/mm] - [mm] b^3 [/mm] = (a - [mm] b)(a^2 [/mm] + ab + [mm] b^2). [/mm] Da a > b > 1 muss der Faktor (a - b) = 1 sein.
So heißt es also
[mm] p_1 [/mm] = a + b = 2a - 1
[mm] p_2 [/mm] = 1 + ab
[mm] p_3 [/mm] = 1 + 3ab
[mm] p_3 [/mm] - [mm] p_2 [/mm] = 2 [mm] p_4 p_5 p_6 [/mm] (durch zwei teilbar)

Ich habe jetzt eigenartigerweise ein Ergebnis gefunden, für das dies zutrifft: a=7, b=6, [mm] p_1=13, p_2=43, p_3=127, p_4=2, p_5=3, p_6=7 [/mm]
Habe ich mich verrechnet oder etwas übersehen?
Also wenn das wirklich stimmt, dann glaube ich aber nicht, dass das das einzige mögliche Ergebnis ist?!
Ich bin gerade etwas verwirrt von dieser Feststellung. Heute kann ich da nichts mehr machen, ich bin irgendwie müde.



Bezug
                                                
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:23 Mi 04.02.2009
Autor: rabilein1


> Ich habe jetzt eigenartigerweise ein Ergebnis gefunden, für
> das dies zutrifft: a=7, b=6, [mm]p_1=13, p_2=43, p_3=127, p_4=2, p_5=3, p_6=7[/mm]

Was ist daran eigenartig?
  

> Habe ich mich verrechnet oder etwas übersehen?

Weder - noch. Die obigen Zahlen erfüllen alle 4 Gleichungen.


>  Also wenn das wirklich stimmt, dann glaube ich aber nicht,
>  dass das das einzige mögliche Ergebnis ist?!

In der Mathematik sollte man zwar nicht "glauben", aber in diesem Fall halte ich es eher für unwahrscheinlich, dass so eine Kombination aus Additieren, Multiplizieren und Potenzieren noch mit anderen Primzahlen möglich sein sollte.


>  Ich bin gerade etwas verwirrt von dieser Feststellung.

Freue dich doch, dass du die Lösung gefunden hast.

Bezug
                                                        
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Mi 04.02.2009
Autor: tuxor

a=4 b=3 p1=7 p2=13 p3=37 p4=2 p5=2 p6=3
Damit geht es auch. Und deswegen ist es wohl doch nicht so unwahrscheinlich, dass hier die Suche noch nicht beendet ist. Ich vermute mal, dass man die Gleichungen alle jetzt so ineinandereinsetzen können müsste, dass man alle Lösungen explizit errechnen kann. Doch das will mir ehrlich gesagt nicht gelingen.

Kann mir jemand sagen, ob das überhaupt möglich ist?

Bezug
                                                                
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Mi 04.02.2009
Autor: abakus


> a=4 b=3 p1=7 p2=13 p3=37 p4=2 p5=2 p6=3
>  Damit geht es auch. Und deswegen ist es wohl doch nicht so
> unwahrscheinlich, dass hier die Suche noch nicht beendet
> ist. Ich vermute mal, dass man die Gleichungen alle jetzt
> so ineinandereinsetzen können müsste, dass man alle
> Lösungen explizit errechnen kann. Doch das will mir ehrlich
> gesagt nicht gelingen.
>  
> Kann mir jemand sagen, ob das überhaupt möglich ist?

Hallo,
allein die Faktoren [mm] p_4, p_5 [/mm] und [mm] p_6 [/mm] können auf 6 verschiedene Arten untereinander vertauscht werden.

Ich empfehle dir aber erst einmal, die Erkennnis a-b=1 auszunutzen und a in allen zuletzt erhaltenen Gleichungen durch b+1 zu ersetzen.  Vielleicht werden dann die möglichen Primfaktoren etwas klarer.
Gruß Abakus


Bezug
                                                                        
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Mi 04.02.2009
Autor: tuxor

Wir scheinen ja der Antwort jetzt ziemlich nah. Für mich sieht es eher so aus, als ob es jetzt nur noch gilt, Bedingungen für die Primzahlen zu finden.
Also folgendes habe ich (a = b+1)
[mm] p_1 [/mm] = 2b + 1
[mm] p_2 [/mm] = 1 + b(b+1)
[mm] p_3 [/mm] = 1 + 3b(b+1) = [mm] p_2 [/mm] + 2b(b+1)
[mm] p_4p_5p_6 [/mm] = b(b+1)

Eine Lösung könnte ja zum Beispiel so aussehen: Es existieren Lösungen für jede Primzahl [mm] p_1 [/mm] > 3, wobei
b = [mm] \bruch{p_1 - 1}{2} [/mm]
a = b+1
[mm] p_2 [/mm] = 1 + b(b+1)
[mm] p_3 [/mm] = 1 + 3b(b+1)

Für [mm] p_4 [/mm] , [mm] p_5 [/mm] und [mm] p_6 [/mm] lässt sich diese Reihe nun aber nicht so schön fortsetzen. Und: Für welche Primzahlen [mm] p_1 [/mm]  sind [mm] p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm] tatsächlich prim?



Bezug
                                                                                
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Mi 04.02.2009
Autor: abakus


> Wir scheinen ja der Antwort jetzt ziemlich nah. Für mich
> sieht es eher so aus, als ob es jetzt nur noch gilt,
> Bedingungen für die Primzahlen zu finden.
>  Also folgendes habe ich (a = b+1)
>  [mm]p_1[/mm] = 2b + 1
>  [mm]p_2[/mm] = 1 + b(b+1)
>  [mm]p_3[/mm] = 1 + 3b(b+1) = [mm]p_2[/mm] + 2b(b+1)
>  [mm]p_4p_5p_6[/mm] = b(b+1)
>  
> Eine Lösung könnte ja zum Beispiel so aussehen: Es
> existieren Lösungen für jede Primzahl [mm]p_1[/mm] > 3, wobei
>  b = [mm]\bruch{p_1 - 1}{2}[/mm]
>  a = b+1
>  [mm]p_2[/mm] = 1 + b(b+1)
>  [mm]p_3[/mm] = 1 + 3b(b+1)
>  
> Für [mm]p_4[/mm] , [mm]p_5[/mm] und [mm]p_6[/mm] lässt sich diese Reihe nun aber nicht
> so schön fortsetzen. Und: Für welche Primzahlen [mm]p_1[/mm]  sind
> [mm]p_2[/mm] und [mm]p_3[/mm] tatsächlich prim?
>  
>  

Hallo,
aus deiner Aufgabenstellung konnte ich nicht entnehmen, ob die Primzahlen [mm] p_1 [/mm] bis [mm] p_6 [/mm] voneinander verschieden sein müssen oder nicht.
Jetzt würde sich noch lohnen in Fallunterscheidung zu untersuchen,  welchen Rest b bei Teilung durch 3 lassen kann und welche Konsequenz dies für die beteiligten Primfaktoren hat (Konkret: wo steckt in welchem Fall der Primfaktor 3.)
Gruß Abakus



Bezug
                                                                                        
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Mi 04.02.2009
Autor: tuxor

Die Aufgabenstellung ist die original Aufgabenstellung von der 44. MO, Näheres weiß ich auch nicht.

Folgendes modulo 3:
[mm]b \equiv 1 \Rightarrow p_2 \equiv 0 \wedge p_1 \equiv 0 \Rightarrow p_{1}=p_{2}=3 [/mm] Dieser Fall ist unmöglich!
[mm]b \equiv -1 \Rightarrow a \equiv 0 \Rightarrow [/mm] entweder [mm] p_{4},p_{5} [/mm] oder [mm] p_{6} [/mm] ist 3 (eins von denen war auch schon 2)
[mm]b \equiv 0 \Rightarrow[/mm] wieder: entweder [mm] p_{4},p_{5} [/mm] oder [mm] p_{6} [/mm] ist 3

Es ist also immer entweder a oder b durch 3 teilbar. Und eins von beiden ist ja auch immer durch 2 teilbar, wie wir bereits wissen.

[mm] p_{4}, p_{5}, p_{6} \in \{2,3,\bruch{b(b+1)}{6}\} [/mm] wobei jedes Element aus der Menge genau einmal vorkommt.

Irgendwie finde ich, dass das immer noch nach keiner Lösung aussieht. Wir wissen nicht, unter welchen Umständen jetzt [mm] p_1 [/mm] oder [mm] p_2 [/mm] oder [mm] p_3 [/mm] auch wirklich prim sind... Dafür müssten wir ja eine Untersuchung modulo jeder Primzahl machen. Die Lösungen, die ich durch Probieren bekam lassen vermuten, dass sich [mm] \bruch{b(b+1)}{6} [/mm] nicht eindeutig bestimmen lässt. Höchstens mehrdeutig...

Bezug
                                                                                                
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:54 Do 05.02.2009
Autor: reverend

Hallo tuxor,

das sieht doch schon alles sehr gut aus.

Du kannst in der Tat alle Lösungen bestimmen, für die [mm] \bruch{b(b+1)}{6} [/mm] prim ist. Es sind ja nicht viele, denn nach dem Kürzen muss einer der beiden Faktoren im Zähler zu 1 geworden sein, sonst wäre das Ergebnis nicht prim!

Es gibt daher folgende Möglichkeiten:
1) b=2, b+1=3, [mm] p_6=1 [/mm] nicht prim
2) b=3, b+1=4, [mm] p_6=2 [/mm] ok
3) b=5, b+1=6, [mm] p_6=5 [/mm] ok
4) b=6, b+1=7, [mm] p_6=7 [/mm] ok
Ende.

Jetzt bleibt für die drei möglichen b noch die Überprüfung, ob [mm] p_1, p_2, p_3 [/mm] prim sind. Dann hast Du Kenntnis aller Lösungen.

Grüße,
reverend

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:33 Do 05.02.2009
Autor: tuxor

Ja stimmt. Das war mal wieder zu trivial. Einfach mal ausprobieren ..

Ich habe nun also alle Möglichkeiten durchgespielt und komme auf diese Lösungsmenge:
[mm] (a,b,p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6}) [/mm] = (4,3,7,13,37,2,3,2), (6,5,11,31,91,2,3,5), (7,6,13,43,127,2,3,7), ... (es folgen alle Permutationen für [mm] p_{4-6}) [/mm]

Danke schön für deine geduldige Hilfe :)

Viele Grüße
thomas

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Weiterleitung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Do 05.02.2009
Autor: reverend


> Danke schön für deine geduldige Hilfe :)
>  
> Viele Grüße
>  thomas

Das reiche ich mal weiter an abakus, der sich die ganze Mühe gemacht hat. Ich habe nur immer wieder mal mitgelesen.

Grüße,
reverend

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:55 Do 05.02.2009
Autor: tuxor


> Das reiche ich mal weiter an abakus, der sich die ganze
> Mühe gemacht hat. Ich habe nur immer wieder mal
> mitgelesen.
>  
> Grüße,
>  reverend

Oh, ich habe völlig übersehen, dass die letzte Antwort von jemand anderem geschrieben war. Also ich danke euch natürlich beiden ganz herzlich :)

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Zahlentheorie-GleiSys (441336): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:23 Fr 06.02.2009
Autor: Sigrid

Hallo thomas,


> Ja stimmt. Das war mal wieder zu trivial. Einfach mal
> ausprobieren ..
>  
> Ich habe nun also alle Möglichkeiten durchgespielt und
> komme auf diese Lösungsmenge:
>  [mm](a,b,p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6})[/mm] =
> (4,3,7,13,37,2,3,2), (6,5,11,31,91,2,3,5),
> (7,6,13,43,127,2,3,7), ... (es folgen alle Permutationen
> für [mm]p_{4-6})[/mm]

(6,5,11,31,91,2,3,5) kann keine Lösung sein, da $ 91=7 [mm] \cdot [/mm] 13 $ keine Primzahl ist.
Es gibt wirklich nur die beiden Lösungen, die Du schon oben gefunden hast mit den zugehörigen Permutationen, also insgesamt 9 Lösungen.

Gruß
Sigrid

>  
> Danke schön für deine geduldige Hilfe :)
>  
> Viele Grüße
>  thomas


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Deutsche Mathe-Olympiade"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]