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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 14.06.2011 | | Autor: | Dr.Weber |
| Aufgabe 1 | | Man bestimme ein nicht-triviales Polynom f mit [mm] f(\alpha) [/mm] = 0 für [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel[3]{2 + i}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Man schreibe [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] \wurzel{3} [/mm] als Elemente von [mm] \IQ (\wurzel{2} +\wurzel{3}), [/mm] d.h. mit ϑ = [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3} [/mm] schreibe
man [mm] \alpha_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] r_{1} [/mm] (ϑ) und [mm] \alpha_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] = [mm] r_{2} [/mm] (ϑ) mit Polynomen [mm] r_{1} [/mm] , [mm] r_{2} [/mm] von Grad kleiner 4. |
| Aufgabe 3 | | Man bestimme Norm und Spur von a + [mm] b\wurzel[3]{2}+c \wurzel[3]{4} [/mm] in [mm] \IQ (\wurzel[3]{2}) [/mm] mit a, b, c [mm] \in \IQ [/mm] |
Weiß bei den Aufgaben leider gar nicht wie ich anfangen soll. Hat jemand einen Tipp oder einen Ansatz. Danke für eure Hilfe im Voraus.
Lg
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Zu Aufgabe 1:
Du brauchst irgend ein Polynom...
Es empfiehlt sich dann wohl ein Polynom zu nehmen, bei dem der Rang eines jeden Elementes durch 3 teilbar ist, also wo du nur [mm]a*x^0 + b*x^3 + c*x^6 + \cdots[/mm] hast, denn dann fällt die Wurzel weg.
Was du sonst für Vorfaktoren etc. brauchst kannst du (wenn die Wurzel weg ist) einfach mal durchprobieren, das ergibt sich recht schnell.
Da bei Aufgabe 2 und 3 leider ein paar Begriffe dabei sind die mir nicht wirklich viel sagen kann ich dir bei denen nicht weiterhelfen, deshalb lass ich die Frage noch offen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Di 14.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Man bestimme ein nicht-triviales Polynom f mit [mm]f(\alpha)[/mm] =
> 0 für [mm]\alpha[/mm] = [mm]\wurzel[3]{2 + i}.[/mm]
> Man schreibe [mm]\wurzel{2}[/mm]
> und [mm]\wurzel{3}[/mm] als Elemente von [mm]\IQ (\wurzel{2} +\wurzel{3}),[/mm]
> d.h. mit ϑ = [mm]\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3}[/mm] schreibe
> man [mm]\alpha_{1}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm] = [mm]r_{1}[/mm] (ϑ) und [mm]\alpha_{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{3}[/mm] = [mm]r_{2}[/mm] (ϑ) mit Polynomen [mm]r_{1}[/mm] , [mm]r_{2}[/mm] von
> Grad kleiner 4.
> Man bestimme Norm und Spur von a + [mm]b\wurzel[3]{2}+c \wurzel[3]{4}[/mm]
> in [mm]\IQ (\wurzel[3]{2})[/mm] mit a, b, c [mm]\in \IQ[/mm]
> Weiß bei den
> Aufgaben leider gar nicht wie ich anfangen soll. Hat jemand
> einen Tipp oder einen Ansatz. Danke für eure Hilfe im
> Voraus.
Bei Aufgabe 1) fehlt die Angabe, aus welchem Polynomring f gewählt werden darf. Ich nehme mal an $f [mm] \in \IQ[X]$.
[/mm]
Du musst nun sozusagen Schritt für Schritt [mm] $\wurzel[3]{2 + i}$ [/mm] eliminieren. Zunächst eliminiert potenzieren mit 3 die Wurzel, danach kannst du 2 abziehen, und hast nur noch $i$ übrig, welches du nicht einfach abziehen darfst, da $i [mm] \not\in \IQ$. [/mm] Quadrieren und anschließendes addieren von 1 eleminiert $i$ jedoch. Also zusammengefasst:
[mm] $\left((\wurzel[3]{2 + i})^3-2)\right)^2+1 [/mm] = 0$ (rechne das nochmal nach, vielleicht habe ich mich vertan). Das gesuchte Polynom wäre also [mm] $(X^3-2)^2+1$.
[/mm]
Es ist jedoch wirklich wichtig anzugeben, wie du f wählen darfst. Wäre $f [mm] \in \IQ(\wurzel[3]{2 + i})[X]$ [/mm] zugelassen, so könntest du einfach $f= X - [mm] \wurzel[3]{2 + i}$ [/mm] wählen. Aber das scheint mir nicht der Sinn der Aufgabe zu sein.
In 2) ist zu zeigen, dass [mm] $\sqrt{2}, \sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3})$ [/mm] liegen. Dazu musst kannst du ein Polynom angeben, dass [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] bzw. [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] ergibt, wenn du [mm] $\vartheta [/mm] = [mm] \sqrt{2}+\sqrt{3}$ [/mm] einsetzt.
In der Aufgabe ist der Hinweis gegeben, dass die zu bestimmenden Polynome vom Grad kleiner 4 sind. Es macht also Sinn zunächst [mm] $\vartheta^2$ [/mm] und [mm] $\vartheta^3$ [/mm] zu bestimmen.
Ich erhalte (modulo Rechenfehler):
[mm] $\vartheta^2 [/mm] = [mm] 5+2\sqrt{6}$ [/mm] sowie
[mm] $\vartheta^3 [/mm] = [mm] 11\sqrt{2}+9\sqrt{3}$
[/mm]
Man sieht also sofort, dass z.B. $ [mm] \frac{1}{2}(\vartheta^3 [/mm] - [mm] 9\vartheta) [/mm] = [mm] \sqrt{2}$
[/mm]
Für [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] kannst du es dir ja einmal selbst überlegen.
Zu 3) Die Erweiterung [mm] $\IQ(\wurzel[3]{2})/\IQ$ [/mm] ist galoissch. Um die Norm und Spur eines Elementes $x$ aus [mm] $L:=\IQ (\wurzel[3]{2})$ [/mm] zu bestimmen, ermittle zuerst die Galoisgruppe $G$ der Erweiterung [mm] $L/\IQ$. [/mm] Für Galoiserweiterungen gilt dann:
[mm] $N_{L/\IQ}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{\sigma \in G} \sigma(x)$ [/mm] und
[mm] $Sp_{L/\IQ}(x) [/mm] = [mm] \summe_{\sigma \in G} \sigma(x)$
[/mm]
Wende dies auf $x = a + [mm] b\wurzel[3]{2}+c \wurzel[3]{4}$ [/mm] an und beachte dabei, dass die Galoisautomorphismen natürlich linear sind und Elemente des Grundkörpers fest lassen.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Do 16.06.2011 | | Autor: | Dr.Weber |
| Aufgabe | Aufgabe 1
Man bestimme ein nicht-triviales Polynom f mit [mm] f(\alpha) [/mm] = 0 für [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel[3]{2 }+i. [/mm] |
Hey ihr,
danke schonmal für eure Hilfe. Leider habe ich bei aufgabe 1 einen Tippfehler gehabt. Die Aufgabe müsste [mm] f(\alpha) [/mm] = 0 für [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel[3]{2 }+i. [/mm] lauten. Dabei wird das mit dem mit 3 Potenzieren, sehr viel komplizierter.
Lg
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Hallo,
sooo kompliziert auch nicht.
Rechne mal [mm] \alpha^2 [/mm] und [mm] \alpha^3 [/mm] aus und bastle Dir dann ein Polynom der Form [mm] ax^3+bx^2+cx+d=0 [/mm] mit [mm] a,b,c,d\in\IC.
[/mm]
Das ist nicht so schwierig.
Ich habe da ein naheliegendes gefunden. Falls Du das gleiche findest, ist [mm]a+b+c+d=2-i[/mm].
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Do 16.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin rev,
> sooo kompliziert auch nicht.
>
> Rechne mal [mm]\alpha^2[/mm] und [mm]\alpha^3[/mm] aus und bastle Dir dann
> ein Polynom der Form [mm]ax^3+bx^2+cx+d=0[/mm] mit [mm]a,b,c,d\in\IC.[/mm]
> Das ist nicht so schwierig.
>
> Ich habe da ein naheliegendes gefunden. Falls Du das
> gleiche findest, ist [mm]a+b+c+d=2-i[/mm].
ich vermute aber, dass die Koeffizienten aus [mm] $\IZ$ [/mm] und nicht aus [mm]\IZ[i][/mm] sein sollen. Man benoetigt also ein Polynom sechsten Grades, und dazu muss man alle Potenzen bis [mm] $\alpha^6$ [/mm] ausrechnen (und mit [mm] $\sqrt[3]{2}^3 [/mm] = 2$ und [mm] $i^2 [/mm] = -1$ moeglichst vereinfachen).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Do 16.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
das würde den Aufwand in der Tat deutlich erhöhen.
Vielleicht gibt die Aufgabenstellung ja einen Hinweis?
Grüße
rev
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