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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Do 13.10.2005 | | Autor: | sara_20 |
Hallo,
ich habe folgende Frage d.h. eine Aufgabe die ich geloesst habe, will aber eine bessere Loesung finden, da diese ziemlich kompliziert ist. Kann mir jemand helfen?
Die Aufgabe lautet:
Sei [mm] n,k\in \IN.
[/mm]
n ist nicht mit 3 teilbar. [mm] k\ge [/mm] n. Zu beweisen ist dass es ein [mm] m\in \IN [/mm] gibt, so dass m mit n teilbar ist und die Summe der Ziffern der Zahl m ist gleich k.
Also, kann jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Do 13.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo irma!
> ich habe folgende Frage d.h. eine Aufgabe die ich geloesst
> habe, will aber eine bessere Loesung finden, da diese
> ziemlich kompliziert ist. Kann mir jemand helfen?
Um nicht denselben Weg, den du bereits gegangen bist, nochmal zu beschreiben, wäre es nicht schlecht, wenn du kurz sagen könntest, wie du die Aufgabe gelöst hast.
> Die Aufgabe lautet:
> Sei [mm]n,k\in \IN.[/mm]
> n ist nicht mit 3 teilbar. [mm]k\ge[/mm] n. Zu
> beweisen ist dass es ein [mm]m\in \IN[/mm] gibt, so dass m mit n
> teilbar ist und die Summe der Ziffern der Zahl m ist gleich
> k.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Fr 14.10.2005 | | Autor: | sara_20 |
Hallo,
ich habe mir es eingentlich so gedacht dass ich so viel wie moeglich Loesungen erfahre.
So viele Ideen wie moeglich.
In drei Tagne werde ich dann auch meine Loesung representieren.
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Hallo Irma,
Hanno hat schon mal eine verwandte Aufgabe gestellt und einen genial kurzen Beweis dafuer (ich weiss aber nicht mehr wo), daher meine Loesung:
Es geht darum, zu jedem n [mm] \in [/mm] IN (das nicht durch 3 teilbar ist) und jedem k [mm] \ge [/mm] n ein m so zu finden, dass Q(nm) = k ist, wobei Q(x) die Quersumme zu x in Dezimaldarstellung sein soll, richtig?
Jetzt sei n auch nicht durch 2 oder 5 teilbar (der Fall kommt noch), dann ist 10 invertierbar modulo n und es gibt ein r mit [mm] 10^{r} [/mm] = 1 mod n, und da es maximal n-1 invertierbare Elemente gibt ist r < n. D.h.: es gibt ein [mm] m_1 [/mm] mit [mm] 10^{r} [/mm] = [mm] m_1 [/mm] n + 1 , also [mm] m_1 [/mm] n = [mm] 10^{r} [/mm] - 1 = 999...9 (mit r Neunen) und da n nicht durch 3 teilbar ist, ergibt die Gleichung durch 9 geteilt [mm] m_2 [/mm] n = [mm] (10^{r} [/mm] - 1)/9 = 111...1 mit r Einsen fuer [mm] m_2 [/mm] = [mm] m_1 [/mm] /9.
Angenommen, es gibt ein k, das sich nicht als Quersumme von mn darstellen laesst fuer alle m [mm] \in [/mm] IN: dann sei k minimal gewaelt:
Dann ist k-r natuerlich und es gibt ein [mm] m_3, [/mm] sodass die Quersumme [mm] Q(m_3 [/mm] n) = k-r, weil k minimal war. Sei s groesser als die Stellenzahl von [mm] m_3 [/mm] n, dann ist [mm] Q(10^{s}m_2 [/mm] n + [mm] m_3 [/mm] n) = k, weil [mm] 10^{s}m_2 [/mm] n am Anfang r Einsen hat gefolgt von s Nullen, und zu diesen Nullen wird [mm] m_3 [/mm] n hinzugezaehlt mit einer Ziffernfolge kleiner s, welche als Quersumme k-r hat. Damit haben wir einen Widerspruch, weil [mm] (10^{s}m_2 [/mm] + [mm] m_3 [/mm] )n ein Vielfaches von n ist.
Wenn das n urspruenglich durch 2 oder 5 teilbar war, dann nehmen wir den zu 2 und 5 teilerfremden Rest von n fuer obige Ueberlegung mit den r Einsen: Durch die Wahl von s in [mm] 10^{s} [/mm] koennen wir die fehlenden Faktoren wieder hinzuzufuegen.
Gruesse, Richard
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