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Zahlpartition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Fr 06.01.2017
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Sei [mm] N_n [/mm] die Menge aller positiven, natürlichen Zahlen, deren Primzahlzerlegung aus höchstens n Faktoren besteht.

Wie viele Zahlen aus [mm] N_5 [/mm] haben eine Zerlegung in genau 5 paarweise verschiedene Primfaktoren, die alle [mm] \le [/mm] 30 sind?

Hallo,
mir fehlt bei der Aufgabe der Ansatz.

Es gibt 10 Primzahlen, die kleiner gleich 30 sind ( 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29)

Ich verstehe dieses [mm] N_5 [/mm] noch nicht so ganz. In [mm] N_5 [/mm] sind auf jeden Fall [mm] \le [/mm] 5 Faktoren drin. Die 2 hat zum Beispiel nur eine Primzahlzerlegung, nämlich die 2 selbst, die 3 hat auch nur sich selbst. Deswegen verstehe ich die Aufgabenstellung nicht ganz. Könnte mir jemand bitte erklären, was ich hier machen soll?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Zahlpartition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Fr 06.01.2017
Autor: abakus


> Sei [mm]N_n[/mm] die Menge aller positiven, natürlichen Zahlen,
> deren Primzahlzerlegung aus höchstens n Faktoren besteht.
>
> Wie viele Zahlen aus [mm]N_5[/mm] haben eine Zerlegung in genau 5
> paarweise verschiedene Primfaktoren, die alle [mm]\le[/mm] 30 sind?
>  Hallo,
>  mir fehlt bei der Aufgabe der Ansatz.
>  
> Es gibt 10 Primzahlen, die kleiner gleich 30 sind (
> 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29)

Und von diesen 10 Zahlen sind 5 auszuwählen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

>  
> Ich verstehe dieses [mm]N_5[/mm] noch nicht so ganz. In [mm]N_5[/mm] sind auf
> jeden Fall [mm]\le[/mm] 5 Faktoren drin. Die 2 hat zum Beispiel nur
> eine Primzahlzerlegung, nämlich die 2 selbst, die 3 hat
> auch nur sich selbst. Deswegen verstehe ich die
> Aufgabenstellung nicht ganz. Könnte mir jemand bitte
> erklären, was ich hier machen soll?
>  
> Vielen Dank im Voraus.  




Bezug
                
Bezug
Zahlpartition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Fr 06.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,
danke für die Antwort.

Was mich irritiert ist "paarweise verschieden"

Nehmen wir zum Beispiel 7, 11, 13 , 17
und 19

Die 7 kann ich mit 2×2 + 3  darstellen
Die 11 mit 2×2×2+3
Die 13 mit 2×2×2+5

Inwiefern  habe ich jetzt Paare ?

Bezug
                        
Bezug
Zahlpartition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Fr 06.01.2017
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo,
> danke für die Antwort.

>

> Was mich irritiert ist "paarweise verschieden"

Das bedeutet, kein Primfaktor taucht in einer Potenz der Primfaktorzerlegung auf.
Die Primfaktorzerlegung der Elemente aus [mm] N_{5} [/mm] besteht also aus genau fünf verschiedenen Primfaktoren.


Da in der Zusatzbedingung gefordert ist, dass diese Primfaktoren dann kleiner als 30 sein sollen, bleiben als mögliche Primfaktoren dann noch die Zahlen 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

>

> Nehmen wir zum Beispiel 7, 11, 13 , 17
> und 19

>

> Die 7 kann ich mit 2×2 + 3 darstellen
> Die 11 mit 2×2×2+3
> Die 13 mit 2×2×2+5

>

> Inwiefern habe ich jetzt Paare ?

Gar nicht, denn die Primzahlen sollst du hier nur zusammensetzen, und damit dann die Elemente aus [mm] N_{5} [/mm] zusammensetzen.
Mögliche Elemente aus [mm] N_{5} [/mm] sind also:
[mm] 2\cdot5\cdot19\cdot23\cdot29=126730 [/mm]
aber auch
[mm] 3\cdot7\cdot11\cdot23\cdot29=154077 [/mm]

Das kleinste Element aus [mm] N_{5} [/mm] ist
[mm] 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11=2310 [/mm] und das größte Element dann [mm] 13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29=2800733 [/mm]

Marius

Bezug
                                
Bezug
Zahlpartition: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:19 Fr 06.01.2017
Autor: pc_doctor

Achso, jetzt verstehe ich es.
Alles klar,  vielen Dank für die Antworten.

Bezug
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