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| Aufgabe | Aufgabe 1 Bei einer Ueberpruefung der Steuermoral von Unternehmer Meier stoeßt der Beamte
der Steuerfahndung auf folgende Zahlungseingaenge eines Meierschen Sonderkontos:
74.720,- am 20.03.
161.600,- am 06.04.
41.600,- am ???
150.400,- am 05.06.
Wann wurden die 41.600,- gezahlt, wenn das Konto nach dem Zinszuschlag am 30.06. ein
Gesamtguthaben (einschliesslich Zinsen von 4,5% p.a.) von 431.680,- aufwies? |
Hallo liebe Forummitglieder,l
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sitze nun schon seit 2 Stunden vor dieser Aufgabe und könnte ein wenig Hilfe gebrauchen!
Meine Gedankengänge sehen bisher so aus.
Da Annuitäten = A immer aus Zins und Tilgung bestehen schlussfolgere ich , dass die unterschiedlichen Zahlungen, die bisher unverzinst sind als Ko = Barwert betrachtet werden dürfen.
Die Verzinsung erfolgt am 30.06 - Da nicht mehr angegeben ist, bin ich mir nicht sicher was ich daraus schliessen. Vllt. eine halbjährige Verzinsung?
Da ich für die Berechnung der Laufzeit einen Barwert=Ko und einen Endwert = Kn benötige ist das Sekundärziel den Endwert von 41.600,- zu berechnen.
Daher würde ich den Endwert aus jeder Zahlung ausgenommen 41.600,- berechnen. Danach alle Endwerte miteinander zuzüglich der unverzinsten 41.600,- addieren. So erhalte ich gesamten Endwert = Kn1 aus allen verzinsten Zahlungen, mit Ausnahme von den 41.600,-, die einfach unverzinst zum Gesamtbetrag addiert wurden.
Da ich den gesamten Endwert = Kn2 = 431.680,- aller verzinsten Zahlungen inkl. der Verzinsten 41.600,- gegeben habe, nehme ich die Differenz aus Kn2-Kn1.
Das Ergebnis müssten dann die Zinsen von den 41.600,- sein, womit ich mir den Endwert aus den 41.600,- berechnen könnte.
Und hier ist mein Problem:
- Gehen wir von einer halbjährigen Verzinsung aus..
- Wenn ich die einzelnen Zahlungen verzinsen möchte, berechne ich den Zeitbetrag doch bis zur nächsten Zahlung oder?
- Da der Zahlungszeitpunkt der 41.600,- nicht bekannt ist, kann ich den Zeitbetrag für die Verzinsung des vorherigen Betrages nicht berechen (=161.600,-)
- Oder liege ich total falsch damit, dass selbst bei einer halbjährigen Verzinsung , die Zeitbeträge dennoch aus den Differenzen der Zahlungszeitpunkte entstehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Di 24.02.2015 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
der Gedanke, alle Beträge auf den 30.06. aufzinsen, ist genau der Ansatz, den man braucht. Allerdings spielen hier Annuitäten keine Rolle, da es um Anlagen von Geldern und nicht um Darlehen geht. Eine Verzinsung von Anlagen zum 30.06. ist nicht unüblich. Man muß bestimmen, wieviele Tage der jeweilige Betrag bis zum 30.06. angelegt ist, die Zinsen daraus berechnen, das vom Gesamtbetrag am 30.06. einschließlich der 41.600 abziehen und hat dann den darauf entfallenden Zinsbetrag, womit man dann die Tage berechnen kann.
Üblicherweise bzw. traditionell wird bei solchen Zinsrechnungen die 30/360-Methode angewandt, d.h. jeder Monat mit 30 und das Jahr mit 360 Tagen angesetzt. Da der Tag der Einzahlung (oder der letzte Tag) nicht mitverzinst wird, muß man das ebenfalls berücksichtigen. Mit MMA, MME für die Monate und TTA, TTE für die Tage muß man ansetzen:
$ Tage =(MME-MMA) [mm] \cdot [/mm] 30+(TTE-TTA)-1 $.
Für 74.720 ergibt sich dann mit Zinsen bei 99 Tagen:
$ [mm] Summe=74720\cdot \left(1+\bruch{4,5\cdot 99}{100 \cdot 360}\right) [/mm] $.
Für die anderen Beträge gilt die gleiche Vorgehensweise. Wenn man am Ende, wie Du es erläuterst, die auf 41.600 entfallenden Zinsen ermittelt hat, kann man mit der eben gezeigten Rechnung - nach Tagen aufgelöst - bestimmen, wann der Betrag angelegt wurde.
Gruß
Staffan
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| Aufgabe | Aufgabe 1 Bei einer U¨ berpru¨fung der Steuermoral von Unternehmer Meier sto¨ßt der Beamte
der Steuerfahndung auf folgende Zahlungseing¨ange eines Meierschen Sonderkontos:
74.720,- e am 20.03.
161.600,- e am 06.04.
41.600,- e am unleserlich
150.400,- e am 05.06.
Wann wurden die 41.600,- e gezahlt, wenn das Konto nach dem Zinszuschlag am 30.06. ein
Gesamtguthaben (einschliesslich Zinsen von 4,5% p.a.) von 431.680,- e aufwies? |
Okay, schon einmal vielen Dank für deine Hilfe !
Bin mit der Tageberechnung von dir in der Probe auch fast auf den gesamt-Endwert gekommen = 431627,62
Mit derselben Formel nur ohne einen Tag abzuziehen komme ich auf exakt denselben gesamt-Endwert = 431680,8 (kleine Abweichung hier)
Das ist aber nicht mein Hauptproblem. Soweit ist diese Aufgabe zwar gelöst aber ich hätte in demselben Zusammenhang noch eine kleine Frage dazu.
Und zwar war dies ja nun jetzt eine lineare Verzinsung:
Ist das immer der Fall, dass man die einzelnen, verschiedenen Barwerte in der linearen Verzinsung auf das Enddatum, also dem Zeitpunkt, an dem man die Zinsen auch reell zu dem Barwert addiert, aufzinst?
Und erst danach die einzelnen, verschiedenen Endwerte miteinander addiert um den gesamt-Endwert zu erhalten?
Mein Gedankengang zur dynamischen Verzinsung:
Ein Barwert1 wird eingezahlt und aufgezinst = Endwert1 bis der nächste Barwert2 eingezahlt wird.
(Der Zeitbetrag ergibt sich hier aus den Differenzen der Einzahlungsdaten der einzelnen Barwerte.)
Endwert1 wird zu Barwert2 addiert und aufgezinst = Endwert2 bis der nächste Barwert3 eingezahlt wird usw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Di 24.02.2015 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
ich hatte schon fast vermutet, daß der Aufgabensteller diese in der Praxis bestehende Usance (mit dem einen Tag) nicht berücksichtigt hat. Jedenfalls habe ich schon häufiger solche Aufgaben gesehen.
Zur linearen Verzinsung: diese ist in der Bankpraxis im unterjährigen Bereich absolut üblich. Dabei gibt es Zinsberechnungstermine - wie hier den 30.06. Man will auf jeden Fall vermeiden, daß ein Zinseszinseffekt während des Zinsberechnungszeitraums (hier 6 Monate) eintritt, wie er sich, wenn die ich dynamische Betrachtung richtig verstehe, dort zu jedem Zahlungszeitpunkt ergeben würde. Deshalb erschien mir der von mir vorgeschlagene Weg am einfachsten. Man kann natürlich auch so rechnen, daß man von dem ersten Betrag bis zum Einzahlungsbetrag des zweiten die Zinsen berechnet, dann die nächsten Zinsen von der Summe der Kapitalien (ohne die bisherigen Zinsen) usw. und am Ende die ersten Zinsen dazu addiert. Das Ergebnis sollte aber identisch sein.
Gruß
Staffan
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Vielen Danke für deine Hilfe Steffan :)
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Linear:
Option 1. Alle K0 Beträge auf Enddatum Verzinsen und addieren = KN gesamt
Option 2. K01 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K02 verzinsen = KN1
K01+K02 = K01#02
K0102 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K03 verzinsen = KN2
K01#02+K03 = K01#02#03
K01#02#03 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K04 verzinsen = KN3
usw.
-> am Ende KN Beträge addieren = KN gesamt
Dynamisch:
Option 1. Alle K0 Beträge auf Enddatum verzinsen und addieren??? = KN gesamt ???
Option2. K01 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K02 verzinsen = KN1
KN1+K02 = KN1#02
KN1#02 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K03 verzinsen = KN2
KN2+K03 = KN2#03
KN2#03 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K04 verzinsen = KN3
usw.
-> KN gesamt ergibt sich aus letzter Rechnung
Ist das soweit richtig? Und gibt es für die dynamische Verzinsung auch eine einfache Rechnung , s. Option 1 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Do 26.02.2015 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
> Linear:
> Option 1. Alle K0 Beträge auf Enddatum Verzinsen und
> addieren = KN gesamt
>
Dem stimme ich zu.
> Option 2. K01 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K02 verzinsen
> = KN1
> K01+K02 = K01#02
> K0102 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K03
> verzinsen = KN2
> K01#02+K03 = K01#02#03
> K01#02#03 Betrag bis zum Einzahlungsdatum
> K04 verzinsen = KN3
> usw.
> -> am Ende KN Beträge addieren = KN gesamt
>
Versteht man $ [mm] K_{N1}=K_{01}+Z_1 [/mm] $ (Z=Zinsen) und $ [mm] K_{N2}=K_{01}+K_{02}+Z_{12}$, [/mm] ergäbe sich bei der Addition aller [mm] K_N [/mm] eine Vermehrung der eingesetzten Beträge, die real nicht besteht. Deshalb muß man hier differenzieren zwischen den einzelnen Zinsbeträgen und dem Kapital.
>
> Dynamisch:
Was soll unter dem Begriff "dynamisch" verstanden werden? Als Unterschied zur linearen Verzinsung innerhalb eines Jahres kann nur eine solche gemeint sein, die das Jahr in verschiedene Zinsperioden einteilt und Zinsen jeweils bis zu deren Enden berechnet und dann dem Kapital zuschlägt, so daß bereits unterjährig ein Zinseszinseffekt eintritt. Solche Zinsperioden können monatlich, viertel- oder halbjährlich sein. Wenn während einer laufenden Periode neues Kapital angelegt, gilt auch hier die lineare Verzinsung bis zu Ablauf der Periode, da die Zinstermine fix und nicht von dem Einzahlungszeitpunkt abhängig sind.
> Option 1. Alle K0 Beträge auf Enddatum verzinsen und
> addieren??? = KN gesamt ???
Das unterscheidet sich nicht von der Darstellung der Option 1 oben.
>
> Option2. K01 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K02 verzinsen
> = KN1
> KN1+K02 = KN1#02
> KN1#02 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K03
> verzinsen = KN2
> KN2+K03 = KN2#03
> KN2#03 Betrag bis zum Einzahlungsdatum K04
> verzinsen = KN3
> usw.
> -> KN gesamt ergibt sich aus letzter Rechnung
>
>
Hier kann man allenfalls eine stetige Verzinsung zugrunde legen, bei der man eine kontinuierliche (z. B. sekündliche) Vermehrung des Kapitals annimmt. Die Formel zur Berechnung lautet mit i als Zinssatz, t als Zeit, [mm] K_0 [/mm] bzw. [mm] K_N [/mm] als Anfangs- und Endkapital $ [mm] K_N=K_0 \cdot e^{i\cdot t}$, [/mm] wobei e die Eulersche Zahl ist. Dann könnte man diesen Ansatz wählen; es ist aber auch möglich, die einzelnen Einzahlungen jeweils auf das Enddatum aufzuzinsen und dann zu addieren, was ich wahrscheinlich tun würde, weil es mir - rein subjektiv - übersichtlicher erscheint.
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> Ist das soweit richtig? Und gibt es für die dynamische
> Verzinsung auch eine einfache Rechnung , s. Option 1 ?
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Gruß
Staffan
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