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Hallo,
ich bin zum ersten Mal hier und habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Sei [mm] \cal{A} [/mm] = [mm] {U\subset \IR:entweder U= \emptyset oder \IR - U ist endlich}.
[/mm]
a) Beweis der Toplogie
b) Ist [mm] \cal{A} [/mm] hausdorffsch (Beweis oder Gegenbeispiel) ?
Wir hatten so eine ähnliche Aufgabe in einer Übung,
so dass ich darauf tippen würde, dass der Beweis etwas mit der Zariski-Topologie zu tun haben könnte, da U ein Komplement endlicher Mengen ist.
Die leere Menge ist auch enthalten.
Daher würde ich auch annehmen,dass diese Topologie nicht Hausdorffsch ist.
Ich bin mir aber leider nicht im Klaren darüber, wie ich den Beweis anstellen muss.
Kann ich davon ausgehen, dass U eine offene Menge ist ?
Muss ich nur noch zeigen, dass Schnitt und Vereinigung offen sind?
Über eine schnelle Antwort wäre ich erfreut,
Ciao,
Planloser
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Chlors |
Hi,
du studierst sicherlich auch in Köln oder?
Ich habe nämlich dieselbe Aufgabe und komme damit auch nicht wirklich weiter, da ich mir nicht genau vorstellen kann, was genau [mm] \IR [/mm] - U ist .
Weißt du eventl., wie man sich die Menge vorstellen muss?
U ist wohl eine offene Menge. [mm] T(\IR [/mm] , A) soll der topologische Raum sein, so habe ich das jedenfalls verstanden.
LG, Conny.
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Hallo!
[mm] $\IR-U$ [/mm] ist im allgemeinen nur eine andere Schreibweise für [mm] $\IR\setminus [/mm] U$.
Die Mengen in [mm] $\cal{A}$ [/mm] sind per Definition offen, wenn [mm] $\cal{A}$ [/mm] eine Topologie ist.
Gruß, banachella
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Hallo!
Für a) reicht es tatsächlich zu zeigen, dass beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte ebenfalls in [mm] $\cal{A}$ [/mm] liegen.
Für b) kannst du vermutlich tatsächlich über die Zariski-Topologie gehen, aber schneller ist es wahrscheinlich, wenn du es direkt machst. Nimm einfach zwei Punkte $x$ und $y$ aus [mm] $\IR$ [/mm] und zwei beliebige offene Umgebungen [mm] $U_x$ [/mm] und [mm] $U_y$. [/mm] Und vergiss nicht, dass [mm] $U_x\subset \IR\setminus U_y$!
[/mm]
Gruß, banachella
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