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Hallo!
Im Mathematikschulbuch der Oberstufe wird dargestellt, dass man ein 3-D Koordinatensystem wie folgt anlegt:
x2- und x3-Achse orthogonal zueneinander entlang der Kästchen, zwei Kästchen sind 1 Einheit.
Die x3- Achse soll nun im Winkel von 45 ° zwischen diesen bei Achsen (quasie im 3. Quadranten) liegen. Die Einheit auf der x1-Achse wäre dann genau [mm] $\frac12\,\frac1{\sqrt{2}}$, [/mm] so dass man die Kästchendiagonale nehmen könne.
Meine Frage ist nun - so praktisch obiger Vorschlag auch sei - sind die Vorschläge für die Einheiten perspektivisch korrekt? Oder anders gefragt: Gibt es eine Drehmatrix, die die Koordinatenachsen (ausgehend vom Zustand x2,x3-Ebene = Zeichenebene, x1-Achse sticht heraus) in einen Zustand verdreht, so dass die Projektion des gedrehten Koordinatensystems in gewünschter, obiger Perspektive zu liegen kommt?
Freu mich sehr über Antworten
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> Hallo!
> Im Mathematikschulbuch der Oberstufe wird dargestellt,
> dass man ein 3-D Koordinatensystem wie folgt anlegt:
>
> x2- und x3-Achse orthogonal zueneinander entlang der
> Kästchen, zwei Kästchen sind 1 Einheit.
> Die x3- Achse soll nun im Winkel von 45 ° zwischen diesen
> bei Achsen (quasie im 3. Quadranten) liegen. Die Einheit
> auf der x1-Achse wäre dann genau
> [mm]\frac12\,\frac1{\sqrt{2}}[/mm], so dass man die
> Kästchendiagonale nehmen könne.
>
> Meine Frage ist nun - so praktisch obiger Vorschlag auch
> sei - sind die Vorschläge für die Einheiten
> perspektivisch korrekt? Oder anders gefragt: Gibt es eine
> Drehmatrix, die die Koordinatenachsen (ausgehend vom
> Zustand x2,x3-Ebene = Zeichenebene, x1-Achse sticht heraus)
> in einen Zustand verdreht, so dass die Projektion des
> gedrehten Koordinatensystems in gewünschter, obiger
> Perspektive zu liegen kommt?
>
> Freu mich sehr über Antworten
Hallo,
nachdem du mit einer Mitteilung nochmals an deine
Frage von vor 2 Monaten erinnert hast, möchte ich
hier noch eine weitere Antwort geben, die möglicher-
weise den Kern dessen, was du damals gemeint hast,
besser trifft.
Solange es einfach um eine Parallelprojektion auf
eine beliebig gelegene Ebene geht, sind (wie schon
besprochen) beliebige Achsenverhältnisse möglich.
Es handelt sich dann bei der Projektion um ein
"Schrägbild".
Anders sieht es aus, wenn die Projektion eine
Normalprojektion sein soll, bei welcher die
Projektionsstrahlen orthogonal auf die Bildebene
auftreffen sollen. Man spricht dann von
![[]](/images/popup.gif) "orthogonaler Axonometrie".
Mit eigentlich "perspektivischer Abbildung"
(also Zentralprojektion mit Projektionszentrum
in endlicher Entfernung) hat dies auch nichts
zu tun.
LG , Al-Chwarizmi
Nachbemerkung:
Falls gefordert sein soll, dass im Bild zwei der
drei Achsen zueinander orthogonal sein sollen
(damit man entlang dieser beiden Achsen
wirklich nur horizontal und vertikal "Häuschen
abzählen" kann, wird bei einer orthogonal axono-
metrischen Abbildung die Einheitslänge auf der
dritten Achse automatisch gleich Null, d.h. man
hat dann eben gar nicht mehr ein "Schrägbild",
sondern einfach eine Normalprojektion auf
eine der Koordinatenebenen, und der Einheits-
würfel wird dann halt als Quadrat abgebildet.
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> Hallo!
> Im Mathematikschulbuch der Oberstufe wird dargestellt,
> dass man ein 3-D Koordinatensystem wie folgt anlegt:
>
> x2- und x3-Achse orthogonal zueeinander entlang der
> Kästchen, zwei Kästchen sind 1 Einheit.
> Die x3- Achse ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du wolltest schreiben: Die x1- Achse ...
> soll nun im Winkel von 45 ° zwischen diesen
> beiden Achsen (im 3. Quadranten) liegen. Die Einheit
> auf der x1-Achse wäre dann genau
> [mm]\frac12\,\frac1{\sqrt{2}}[/mm],
Gemeint war wahrscheinlich [mm] \sqrt{2} [/mm]
> so dass man die
> Kästchendiagonale nehmen könne.
>
> Meine Frage ist nun - so praktisch obiger Vorschlag auch
> sei - sind die Vorschläge für die Einheiten
> perspektivisch korrekt? Oder anders gefragt: Gibt es eine
> Drehmatrix, die die Koordinatenachsen (ausgehend vom
> Zustand x2,x3-Ebene = Zeichenebene, x1-Achse sticht heraus)
> in einen Zustand verdreht, so dass die Projektion des
> gedrehten Koordinatensystems in gewünschter, obiger
> Perspektive zu liegen kommt?
Es handelt sich bei dieser Abbildung nicht um eine
Drehung, sondern um eine Parallelprojektion oder
eine Form der sogenannten "Kavalierperspektive".
Sie ist einfach deswegen praktisch, weil es mit ihr
einfach ist, auf kariertem Papier Punkte mit ganzzahligen
Koordinaten im x-y-z-Koordinatensystem einzuzeichnen
und dabei nicht allzu verzerrte Bilder zu erhalten.
Eine Abbildungsmatrix für diese Abbildung könnte man
sehr leicht angeben, aber es handelt sich dann eben
nicht um eine Drehmatrix, sondern um eine einfachere
Form von Abbildungsmatrix.
Einen tieferen Grund gibt es allerdings nicht, ausge-
rechnet diese Wahl zu treffen.
LG , Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
danke für die rasche Antwort und für die Erkennung meines Fehlers [mm] "$x_3$-Achse". [/mm] Der Wert [mm] $\frac12\,\sqrt{2}$ [/mm] ist jedoch richtig, da die Einheiten auf der [mm] $x_1$-Achse [/mm] ja dichter zusammen liegen sollen.
Ganz geholfen finde ich mich mit der Antwort jedoch noch nicht. Deshalb noch mal ausführlicher:
- Startzustand x2,x3-Ebene = Zeichenebene, x1-Achse sticht senkrecht heraus, wir projezieren also in [mm] $-x_1$-Richtung [/mm] auf die Zeichenebene
- nun können wir das Koordinatensysten drehen, um die [mm] $x_1$-Achse [/mm] unter einem Winkel von 45° sehen zu können, dabei werden die [mm] $x_2$- [/mm] und die [mm] $x_3$-Achse [/mm] zwangweise mitverkippt.
- Frage: Können die [mm] $x_2$- [/mm] und die [mm] $x_3$-Achse [/mm] nach der gewünschten Verkippung/Drehung trotzdem noch in der Projektion auf der dem alten Koordinatensystem zu liegen kommen [mm] \textit{und} [/mm] die gleichen Einheitenlängen haben (falls möglich, wäre ein Beweis klasse, z.B. die Angabe einer Abbildungsmatrix der Projektion oder ein Produkt von Drehmatrizen, denn ich kanns mir einfach nicht vorstellen, ob das wirklich gehen kann).
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Hallo,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> danke für die rasche Antwort und für die Erkennung meines
> Fehlers "[mm]x_3[/mm]-Achse". Der Wert [mm]\frac12\,\sqrt{2}[/mm] ist jedoch
> richtig, da die Einheiten auf der [mm]x_1[/mm]-Achse ja dichter
> zusammen liegen sollen.
> Ganz geholfen finde ich mich mit der Antwort jedoch noch
> nicht. Deshalb noch mal ausführlicher:
>
> - Startzustand x2,x3-Ebene = Zeichenebene, x1-Achse sticht
> senkrecht heraus, wir projezieren also in [mm]-x_1[/mm]-Richtung auf
> die Zeichenebene
> - nun können wir das Koordinatensysten drehen, um die
> [mm]x_1[/mm]-Achse unter einem Winkel von 45° sehen zu können,
> dabei werden die [mm]x_2[/mm]- und die [mm]x_3[/mm]-Achse zwangweise
> mitverkippt.
Nein, das ist dein erster Denkfehler.
> - Frage: Können die [mm]x_2[/mm]- und die [mm]x_3[/mm]-Achse nach der
> gewünschten Verkippung/Drehung trotzdem noch in der
> Projektion auf der dem alten Koordinatensystem zu liegen
> kommen [mm]\textit{und}[/mm] die gleichen Einheitenlängen haben
> (falls möglich, wäre ein Beweis klasse, z.B. die Angabe
> einer Abbildungsmatrix der Projektion oder ein Produkt von
> Drehmatrizen, denn ich kanns mir einfach nicht vorstellen,
> ob das wirklich gehen kann).
Wozu soll das ganze gut sein? Du verwechselst mehrere Dinge miteinander:
a) es geht bei der angesprochenen Darstellung nicht um Perspektive, für eine solche wäre jedes Koordinatensystem untauglich, welches linear skaliert ist.
b) das eine ist das Koordinatensystem an sich. Das ist hier stets kartesisch und insbesondere stets das gleiche. Es wird also nichts transformiert. Das andere ist die grafische Darstellung eines solchen Koordinatensystems. Man könnte eine solche Darstellung perspektivisch machen (wenn man vorher den Punkt festlegt, von dem aus das ganze gesehen werden soll), das macht aber aus dem Grund keinen Sinn, weil dann Parallelen in der Darstellung bekanntlich im allgemeinen nicht mehr parallel sind. Die in der Schule gewählte Darstellung gehört zu den Schrägbildern von denen es einen Spezialfall gibt, der in manchen Bereichen durchaus üblich ist: die Isometrie. Dabei hat die räumliche Achse die gleiche Längenskalierung wie die beiden anderen. Im Ingenieur-Bereich wird dabei, soweit ich mich entsinne, ein Schrägbildwinkel von 42° gewählt (-> schau mal ganz genau auf den Geodreieck...) und das ganze wird in der Regel für Detailausschnitte verwendet. Ich kenne es aus meinem früheren Beruf (Zimmermann) aus Statiker-Plänen, wo eben Details auf diese Art und Weise im Maßstab 1:10 abgebildet waren. Das sieht völlig unrealistisch aus, hat aber den Vorteil, dass man die Maße auch mal auf der Baustelle per Meterstab noch hinreichend genau entnehmen kann.
Aber wie gesagt: die Suche nach irgendwelchen Abbildungsmatrizen ist hier, so wie ich deine Frage auffasse, sinnlos, weil es nichts abzubilden gibt.
Gruß, Diopahnt
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Hallo!
Naja, du sagst es ja selbst, es geht um die grafische Darstellung. Diese Projektion kann man durchaus mit der Matrix [mm] \pmat{1&0&\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0&1&\frac{\sqrt{2}}{2}} [/mm] beschreiben. Das ist eben [mm] \IR^3\mapsto\IR^2 [/mm] und alles andere als eine Drehmatrix, eben eine Projektion.
Man kann das noch was erweitern zu [mm] \pmat{1&0&b\cos\alpha \\ 0&1&b\sin\alpha} [/mm] . Hier ist [mm] \alpha [/mm] der Winkel zwischen [mm] x_1 [/mm] Achse und [mm] x_3 [/mm] Achse, und b der der Längenfaktor, also wie lang ist eine [mm] x_3 [/mm] Einheit relativ zu einer [mm] x_1 [/mm] Einheit.
Aber wie bereits gesagt, damit transformiert man nicht den eigentlichen Raum, sondern projiziert ihn aufs Papier.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Event_Horizon,
> Hallo!
>
> Naja, du sagst es ja selbst, es geht um die grafische
> Darstellung. Diese Projektion kann man durchaus mit der
> Matrix [mm]\pmat{1&0&\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0&1&\frac{\sqrt{2}}{2}}[/mm]
> beschreiben. Das ist eben [mm]\IR^3\mapsto\IR^2[/mm] und alles
> andere als eine Drehmatrix, eben eine Projektion.
>
> Man kann das noch was erweitern zu [mm]\pmat{1&0&b\cos\alpha \\ 0&1&b\sin\alpha}[/mm]
> . Hier ist [mm]\alpha[/mm] der Winkel zwischen [mm]x_1[/mm] Achse und [mm]x_3[/mm]
> Achse, und b der der Längenfaktor, also wie lang ist eine
> [mm]x_3[/mm] Einheit relativ zu einer [mm]x_1[/mm] Einheit.
Ja, du hast Recht. Da habe ich die Frage an dieser Stelle falsch gedeutet.
Gruß, Diophant
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Danke an Event_Horizon und Diophant für die hilfreichen Antworten. Zum einen habe ich nun das Problem verstanden, kann als Frage nach der Pojektion formulieren, zum anderen hat Diophant mir den Hinweis Schrägbild, nicht existierende Perspektive gegeben.
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