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Zeichnen metrischer Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:40 So 19.04.2015
Autor: Katti1712

Aufgabe
Gegeben sei der metrische Raum [mm] (\IR^2,d), [/mm] wobei

d(x,y) = [mm] \wurzel{(x_1-y_2)^2+(x_2-y_2)^2} [/mm] , [mm] x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \in\IR^2 [/mm]

der euklidische Abstand ist. Weiterhin seien folgende Teilmengen von [mm] \IR^2 [/mm] gegeben:

a) [mm] X_1= \{x:x_2=x_1^2\} [/mm]

b) [mm] X_2= \{x:x_2\le0\}\cup\{x:x_1=0\}\cup\{x:x_2=x_1^2+0.8\}\cup\{x:x_2\in\IZ\} [/mm]

c) [mm] X_3=\{(0,0)\}\cup\{x:x_1^2+x_2^2=1\} [/mm]

Für jedes [mm] i\in\{1,...,3\} [/mm] induziert d eine Metrik [mm] d_i [/mm] auf der Menge [mm] X_i\subsetX. [/mm] Alle drei Mengen [mm] X_1,...,X_3 [/mm] enthalten den Punkt (0,0). Zeichnen Sie die Mengen [mm] X_1,...,X_3 [/mm] in je ein geeignetes Koordinatensystem und zeichnen Sie dann in jedem der metrischen Räume [mm] (X_i,d_i) [/mm] die drei offenen Kugeln mit den Radien 0.5, 1, und 2 um den Punkt (0,0) ein.

Hallo ihr Lieben :)

Ich habe jetzt schon so viel im Internet gesucht wie man in einem metrischen Raum offene Kugeln zeichnet oder wie man generell in einem metrischen Raum zeichnet, aber leider habe ich nichts gefunden, was mir weiterhelfen kann. Ich hoffe ihr könnt mir helfen die Sache ein wenig zu erhellen :)
Vielen Dank im voraus

Katrin

        
Bezug
Zeichnen metrischer Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:56 So 19.04.2015
Autor: angela.h.b.


> Gegeben sei der metrische Raum [mm](\IR^2,d),[/mm] wobei
>  
> d(x,y) = [mm]\wurzel{(x_1-y_2)^2+(x_2-y_2)^2}[/mm] , [mm]x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \in\IR^2[/mm]

Hallo,

d(x,y)=[mm]\wurzel{(x_1-y_2)^2+(x_2-y_2)^2}[/mm] ist der "ganz normale" Abstand zwischen zwei Punkten.

Wenn wir im [mm] \IR^2 [/mm] sind, sind in der offenen Kugel um (0, 0) mit dem Radius 0.5 alle Punkte des [mm] \IR^2 [/mm] enthalten, deren Abstand vom Nullpunkt kleiner als 0.5 ist.
Die offene Kugel ist hier also eine Kreisscheibe ohne Rand.

>  
> der euklidische Abstand ist. Weiterhin seien folgende
> Teilmengen von [mm]\IR^2[/mm] gegeben:
>  
> a) [mm]X_1= \{x:x_2=x_1^2\}[/mm]

Du hast die Menge gezeichnet?
In der offenen Kugel um (0, 0) mit dem Radius 0.5 sind alle Punkte von [mm] X_1 [/mm] enthalten, deren Abstand vom Nullpunkt kleiner als 0.5 ist.

LG Angela



>  
> b) [mm]X_2= \{x:x_2\le0\}\cup\{x:x_1=0\}\cup\{x:x_2=x_1^2+0.8\}\cup\{x:x_2\in\IZ\}[/mm]
>  
> c) [mm]X_3=\{(0,0)\}\cup\{x:x_1^2+x_2^2=1\}[/mm]
>  
> Für jedes [mm]i\in\{1,...,3\}[/mm] induziert d eine Metrik [mm]d_i[/mm] auf
> der Menge [mm]X_i\subsetX.[/mm] Alle drei Mengen [mm]X_1,...,X_3[/mm]
> enthalten den Punkt (0,0). Zeichnen Sie die Mengen
> [mm]X_1,...,X_3[/mm] in je ein geeignetes Koordinatensystem und
> zeichnen Sie dann in jedem der metrischen Räume [mm](X_i,d_i)[/mm]
> die drei offenen Kugeln mit den Radien 0.5, 1, und 2 um den
> Punkt (0,0) ein.
>  Hallo ihr Lieben :)
>  
> Ich habe jetzt schon so viel im Internet gesucht wie man in
> einem metrischen Raum offene Kugeln zeichnet oder wie man
> generell in einem metrischen Raum zeichnet, aber leider
> habe ich nichts gefunden, was mir weiterhelfen kann. Ich
> hoffe ihr könnt mir helfen die Sache ein wenig zu erhellen
> :)
>  Vielen Dank im voraus
>
> Katrin


Bezug
                
Bezug
Zeichnen metrischer Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 So 19.04.2015
Autor: Katti1712

Hallo Angela,

erst mal vielen, vielen Dank dass du mir helfen möchtest!
Aber ich verstehe leider überhaupt nicht wie diese Mengen aussehen soll, also ich verstehe gar nicht, was ich mit diesem [mm] X_1-X_3 [/mm] machen soll. Ich habe die drei Koordinatensystem mit den Radien 0.5, 1 und 2. Betrachte ich jetzt zum Bespiel die Menge [mm] X_1, [/mm] dann kann ich in der euklidischen Metrik, dann kann ich [mm] x_2 [/mm] durch [mm] x_1^2 [/mm] ersetzen:

[mm] \wurzel{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} [/mm]
[mm] =\wurzel{(x_1-y_1)^2+(x_1^2-y_1^2)^2} [/mm]

Wie es weitergeht weiß ich leider nicht und ich weiß gar nicht, ob mir das überhaupt etwas bringt.

Lieben Gruß

Katrin

Bezug
                        
Bezug
Zeichnen metrischer Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 So 19.04.2015
Autor: meili

Hallo Katrin,

> Hallo Angela,
>  
> erst mal vielen, vielen Dank dass du mir helfen möchtest!
>  Aber ich verstehe leider überhaupt nicht wie diese Mengen
> aussehen soll, also ich verstehe gar nicht, was ich mit
> diesem [mm]X_1-X_3[/mm] machen soll. Ich habe die drei
> Koordinatensystem mit den Radien 0.5, 1 und 2. Betrachte
> ich jetzt zum Bespiel die Menge [mm]X_1,[/mm] dann kann ich in der
> euklidischen Metrik, dann kann ich [mm]x_2[/mm] durch [mm]x_1^2[/mm]
> ersetzen:
>  
> [mm]\wurzel{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}[/mm]
>  [mm]=\wurzel{(x_1-y_1)^2+(x_1^2-y_1^2)^2}[/mm]

Ist richtig für die Berechnung [mm] $d_1(x,y)$, [/mm] bringt aber wenig, um
die offenen Kugeln zu zeichnen.

>  
> Wie es weitergeht weiß ich leider nicht und ich weiß gar
> nicht, ob mir das überhaupt etwas bringt.

Zuerst solltest du dir überlegen wie die Mengen [mm] $X_1$, $X_2$ [/mm] und [mm] $X_3$ [/mm]
aussehen; jeweils eine Skizze davon machen.

Wenn eine Metrik d eine Metrik [mm] $d_i$ [/mm] auf einer Teilmenge des metrischen
Raumes von dem man ausgegangen ist (hier [mm] $\IR^2$), [/mm] induziert, so erhält
eine offene Kugel des [mm] $(X_i, d_i)$ [/mm] als Schnitt [mm] ($\cap$) [/mm] einer offene Kugel
des [mm] $(\IR^2, [/mm] d)$ mit [mm] $X_i$. [/mm]

>  
> Lieben Gruß
>  
> Katrin

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Zeichnen metrischer Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 So 19.04.2015
Autor: Katti1712

Hallo meili,

danke, dass auch du mir helfen möchtest :)

Wenn ich dich in deiner letzten Aussage richtig verstehe zeichne ich zuerst die Kugeln wie Angela es gesagt hatte von dem [mm] (\IR^2,d). [/mm] Wenn ich dann weiß, wie die Mengen aussehen muss ich nur noch die Schnittmenge bilden und bin fertig.
Ist das richtig?

Aber ich verstehe leider nicht, wie die Mengen aussehen. Ich habe überhaupt kein Bild vor Augen.

Lieben Gruß

Katrin

Bezug
                                        
Bezug
Zeichnen metrischer Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 So 19.04.2015
Autor: meili

Hallo Katrin,

> Hallo meili,
>  
> danke, dass auch du mir helfen möchtest :)
>  
> Wenn ich dich in deiner letzten Aussage richtig verstehe
> zeichne ich zuerst die Kugeln wie Angela es gesagt hatte
> von dem [mm](\IR^2,d).[/mm] Wenn ich dann weiß, wie die Mengen
> aussehen muss ich nur noch die Schnittmenge bilden und bin
> fertig.
>  Ist das richtig?

Ja.

>  
> Aber ich verstehe leider nicht, wie die Mengen aussehen.
> Ich habe überhaupt kein Bild vor Augen.

Zu [mm] $X_1$: [/mm] Sicher kennst du den Graphen der Funktion $f(x) = [mm] x^2, [/mm] f: [mm] \IR \to \IR$. [/mm]

[mm] $X_2$ [/mm] setzt sich aus der Vereinigung von 4 Mengen zusammen. Die erste
ist die untere Halbebene inklusive der x-Achse.
Die zweite ist die y-Achse.
Die dritte solltest du aus [mm] $X_1$ [/mm] kennen, nur um 0,8 nach oben verschoben.
Und die vierte sind Streifen.
(Wenn nur eine Bedingung für [mm] $x_2$ [/mm] angegeben ist, sind die [mm] $x_1$ [/mm]
beliebig; und umgekehrt.)

Bei [mm] $X_3$ [/mm] sieh dir mal eine Kreisgleichung an.

>  
> Lieben Gruß
>  
> Katrin

Gruß
meili

Bezug
                                                
Bezug
Zeichnen metrischer Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 So 19.04.2015
Autor: Katti1712

Das hat mir geholfen. Vielen Dank dafür!!! 100% sitzt das Ganze jedoch noch nicht.

Als Beispiel nochmal die Menge [mm] X_1. [/mm] Ich zeichne ein 2-dim. Koordinatensystem, in welchem die drei Kreise mit Radius 0.5, 1 und 2 liegen. Dann ergänze ich letztendlich diese Skizze noch um eine Parabel und das war es dann zu [mm] X_1? [/mm]

Nochmals liebe Grüße,
Katrin



Bezug
                                                        
Bezug
Zeichnen metrischer Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 So 19.04.2015
Autor: meili

Hallo Katrin,

> Das hat mir geholfen. Vielen Dank dafür!!! 100% sitzt das
> Ganze jedoch noch nicht.
>  
> Als Beispiel nochmal die Menge [mm]X_1.[/mm] Ich zeichne ein 2-dim.
> Koordinatensystem, in welchem die drei Kreise mit Radius
> 0.5, 1 und 2 liegen. Dann ergänze ich letztendlich diese
> Skizze noch um eine Parabel und das war es dann zu [mm]X_1?[/mm]

Ja, und der Teil der Parabel, der im offenen Kreis mit Radius 0,5 liegt,
ist die offene "Kugel" mit Radius 0,5 um (0,0) in [mm] $(X_1, d_1)$. [/mm]

u.s.w.

Interessant ist es die offenen Kugeln um (0,0) mit Radius 0,5 und 1 in
[mm] $(X_3, d_3)$ [/mm] zu vergleichen. Und schließlich mit Radius 2.

>
> Nochmals liebe Grüße,
>  Katrin
>  
>  

Gruß
meili

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