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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Mi 11.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Hallo miteinander,
Meine Frage:
Ich les gerade mein Buch durch und bin auf folgende Teilmenge des [mm] IR^2
[/mm]
gestoßen : {x [mm] \in IR^2 [/mm] : 2 < |x -e| [mm] \le [/mm] 3} mit e=(1,0). Um das besser zu verstehen wollte ich mir das aufzeichnen, jedoch scheiterte es an der Umsetzung.
Mit |x -e| ist doch der Abstand irgendeines Vektors im [mm] IR^2 [/mm] und dem Vektor e gemeint der die x Achse aufspannt? Vielleicht wisst ihr ja Rat.
Viele Grüße
jacob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm] \{x \in \IR^2:\quad 2 < |x - e| \le 3\}$
[/mm]
e ist ein Punkt im [mm] $\IR^2$. [/mm] Die Menge ist die Menge aller Punkte im [mm] $\IR^2$, [/mm] die vom Punkt e mindestens den Abstand 2 und höchstens den Abstand 3 haben.
Einfacher:
> [mm] \left\{x \in \IR^2:\quad \left|x - \vektor{0\\0}\right| \le 1\right\}$
[/mm]
[mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] ist ein Punkt im [mm] $\IR^2$. [/mm] Die Menge ist die Menge aller Punkte, die von (0,0) (d.h. dem Ursprung) höchstens den Abstand 1 haben. Das sind alle Punkte, die in der Einheitskreisscheibe liegen.
[mm] $\left|\vektor{1\\0}-\vektor{0\\0}\right|\leq [/mm] 1$
[mm] $\left|\vektor{0.4\\0.5}-\vektor{0\\0}\right|\leq [/mm] 1$
[mm] $\left|\vektor{0\\0}-\vektor{0\\0}\right|\leq [/mm] 1$
[mm] $\left|\vektor{0\\0.7}-\vektor{0\\0}\right|\leq [/mm] 1$
[mm] $\left|\vektor{\cos(x)\\ \sin(x)}-\vektor{0\\0}\right|\leq [/mm] 1$
etc.
also liegen die Punkte (1,0), (0.4,0.5), (0,0), (0,0.7), (cos(x),sin(x)) (und viele mehr =) alle in der Menge.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Do 12.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Das das dann die Kreisscheibe ergibt ist klar. Jedoch frag ich mich wie du die
Beträge aufgelöst hast um auf die Darstellung |x| [mm] \le [/mm] 1 zu kommen.
Angenommen ich hätte nun die Betragsungleichung |x| [mm] \le [/mm] 1 |x+e| nach welchen Regeln könnte ich diese verändern um besser erkennen zu können um welches geometrische Gebilde es sich handelt?
viele grüße
jacob
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Hallo jacob17,
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Das das dann die Kreisscheibe ergibt ist klar. Jedoch frag
> ich mich wie du die
> Beträge aufgelöst hast um auf die Darstellung |x| [mm]\le[/mm] 1
> zu kommen.
Na, das war ja nur ein Bsp.
Mache dir klar, was [mm]|x|[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] überhaupt bedeutet.
Üblicherweise ist mit [mm]|x|=||x||_2[/mm] die euklidische Norm gemeint.
Oder ist eine andere Norm erwähnt?
Es ist also (um bei dem Bsp.) zu bleiben
[mm]||x-\vektor{0\\
0}||_2=||\vektor{x_1\\
x_2}-\vektor{0\\
0}||_2=||\vektor{x_1\\
x_2}||=\sqrt{x_1^2+x_2^2}[/mm]
Also [mm]||x||_2\le 1\gdw \sqrt{x_1^2+x_2^2}\le 1\gdw x_1^2+x_2^2\le 1[/mm]
Und dass das die Einheitskreisscheibe mit Rand ist, ist wohl klar
> Angenommen ich hätte nun die Betragsungleichung |x| [mm]\le[/mm] 1 |x+e|
Was soll das genau bedeuten?
[mm]||x||_2\le ||x+e||_2[/mm] ?
> nach welchen Regeln könnte ich diese verändern um
> besser erkennen zu können um welches geometrische Gebilde
> es sich handelt?
Nun, setze wieder die entsprechende Norm und [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2}[/mm] ein
Dann hast du [mm]||\vektor{x_1\\
x_2}||_2\le ||\vektor{x_1+1\\
x_2}||_2[/mm] zu lösen ...
Um nochmal auf deine Aufgabe einzugehen:
es ist [mm]x-e=\vektor{x_1\\
x_2}-\vektor{1\\
0}=\vektor{x_1-1\\
x_2}[/mm]
Also [mm]|x-e|=||\vektor{x_1-1\\
x_2}||_2=\sqrt{(x_1-1)^2+x_2^2}[/mm]
Damit musst du dann beide Ungleichungen lösen
1) [mm]2<\sqrt{(x_1-1)^2+x_2^2}[/mm]
2) [mm]\sqrt{(x_1-1)^2+x_2^2}\le 3[/mm]
Das Schnittgebilde ist ein Kreisring ...
> viele grüße
> jacob
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Fr 13.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Ok, probiere jetzt mal |x| [mm] \le [/mm] |x+e| umzuformen. Eingesetzt in die euklidische Norm ergibt das ja [mm] (x_1)^2 +(x_2)^2 \le (x_1)^2 +(x_2)^2 +2x_1 [/mm] +1 was dann zu -0,5 [mm] \le x_1 [/mm] führt. Das heißt das ganze beschreibt einfach die abgeschlossene Menge die rechts von [mm] x_1 [/mm] = -0,5 liegt?
viele grüße
jacob
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Fr 13.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, probiere jetzt mal |x| [mm]\le[/mm] |x+e| umzuformen. Eingesetzt
> in die euklidische Norm ergibt das ja [mm](x_1)^2 +(x_2)^2 \le (x_1)^2 +(x_2)^2 +2x_1[/mm]
> +1 was dann zu -0,5 [mm]\le x_1[/mm] führt. Das heißt das ganze
> beschreibt einfach die abgeschlossene Menge die rechts von
> [mm]x_1[/mm] = -0,5 liegt?
Alles richtig
FRED
> viele grüße
> jacob
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