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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt
(a) [mm] cos^2 [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] + cos(2x))
(b) (cos x + sin [mm] x)^3 [/mm] + (cos x − sin [mm] x)^3 [/mm] = 3 cos x − 2 [mm] cos^3 [/mm] x
(c) sin(3x) = 3 sin(x) − 4 [mm] sin^3(x) [/mm] |
Und eine letzte Aufgabe, bei der ich ebenfalls nicht weiterkomme:
Soll ich hier eine vollständige Induktion durchführen also mit x+1 oder was ist gefragt?
Ich hab schon versucht, die Klammern aufzulösen, aber gebracht hat es nicht wirklich etwas. Weiter kam ich dann nicht und es war auch nicht das gleiche wie auf der anderen Seite. Vermutlich ist es relativ simpel, ich seh es nur nach den Stunden, die ich nun schon dran sitze, einfach nicht mehr (oder bin eh zu blöd dafür^^).
Wäre froh über jede Hilfe.:)
Grüße,
Sebastian
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Hallo Sebastian,
> Zeigen Sie, dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt
> (a) [mm]cos^2[/mm] x = [mm]\bruch{1}{2}(1[/mm] + cos(2x))
> (b) (cos x + sin [mm]x)^3[/mm] + (cos x − sin [mm]x)^3[/mm] = 3 cos x −
> 2 [mm]cos^3[/mm] x
> (c) sin(3x) = 3 sin(x) − 4 [mm]sin^3(x)[/mm]
> Und eine letzte Aufgabe, bei der ich ebenfalls nicht
> weiterkomme:
>
> Soll ich hier eine vollständige Induktion durchführen
> also mit x+1 oder was ist gefragt?
Das wird glaube ich nix. Zwischen $\ x $ und $\ x + 1 $ liegen unendlich viele reelle Zahlen.
Die Induktion lässt sich nur auf die Menge der nat. Zahlen (auch ganze Zahlen möglich) anwenden.
>
> Ich hab schon versucht, die Klammern aufzulösen, aber
> gebracht hat es nicht wirklich etwas. Weiter kam ich dann
> nicht und es war auch nicht das gleiche wie auf der anderen
> Seite. Vermutlich ist es relativ simpel, ich seh es nur
> nach den Stunden, die ich nun schon dran sitze, einfach
> nicht mehr (oder bin eh zu blöd dafür^^).
Hast du es denn schon mit den ![[]](/images/popup.gif) Additionstheoremen probiert?
>
> Wäre froh über jede Hilfe.:)
>
> Grüße,
> Sebastian
>
Viele Grüße,
ChopSuey
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> Hast du es denn schon mit den
> Additionstheoremen
> probiert?
>
> Viele Grüße,
> ChopSuey
Hallo ChopSuey,
ne, damit hab ich es noch nicht probiert. Sie leuchten mir aber auch nicht wirklich ein, vor allem auf diese Aufgaben bezogen. Wir haben folgende nämlich behandelt:
sin(x+y) = sinx cosy+cosx siny
cos(x+y)=cosx cosy-sinx siny
sin(x-y)=sinx cosy-cosx siny
cos(x-y)=cosx cosy+sinx siny
Die behandeln ja alle immer x+y oder x-y. Wie kann ich die jetzt auf die obigen Aufgaben anwenden?
Grüße,
Sebastian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Di 22.09.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Es ist halt die Frage was man verwenden darf.. Da kann man ja gleich sagen, die Aufgabe ist ein Theorem.
Hier mein Vorschlag zur ersten:
[mm] \cos^2(x)=\left(\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})\right)^2=\frac{1}{4}(e^{i2x}+2+e^{-i2x})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(e^{i2x}+e^{-i2x})+1)=\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Di 22.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Chopsuey,
> Hi Sebastian,
>
> > > Hast du es denn schon mit den
> > >
> >
> Additionstheoremen
> > > probiert?
> > >
> > > Viele Grüße,
> > > ChopSuey
> >
> > Hallo ChopSuey,
> >
> > ne, damit hab ich es noch nicht probiert. Sie leuchten mir
> > aber auch nicht wirklich ein, vor allem auf diese Aufgaben
> > bezogen. Wir haben folgende nämlich behandelt:
> > sin(x+y) = sinx cosy+cosx siny
> > cos(x+y)=cosx cosy-sinx siny
> > sin(x-y)=sinx cosy-cosx siny
> > cos(x-y)=cosx cosy+sinx siny
> >
> > Die behandeln ja alle immer x+y oder x-y. Wie kann ich die
> > jetzt auf die obigen Aufgaben anwenden?
>
>
> Du hast natürlich Recht. Mit den genannten
> Additionstheoremen kommt man hier leider nicht weit.
Doch, s.u. 
> Ich glaube, der Wiki-Link hat sehr viele andere ebenfalls
> aufgelistet, werf' bei Gelegenheit mal einen Blick drauf
>  Musste ich auch hin und wieder.
>
> Eines dieser ganzen Theoreme, das du sicherlich gut in
> Aufgabe a) einbringen kannst lautet:
>
> [mm]\ \cos (2x) = 2\cos^2(x) -1[/mm]
Na, wie kommt das denn zustande?
[mm] $$\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos(x)*\cos(x)-\sin(x)*\sin(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\,,$$
[/mm]
und wenn man nun den trig. Pythagoras [mm] $\sin^2+\cos^2 \equiv [/mm] 1$ anwendet, folgt
[mm] $$\cos(2x)=\cos^2(x)-(1-\cos^2(x))=2\cos^2(x)-1\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Mi 23.09.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Marcel,
danke für den Hinweis! Wieder was dazu gelernt
Gruß
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:57 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Silestius |
Danke für die ganze Hilfe hier! Hat mir wirklich weitergeholfen.:)
Hach, eine gelöste Aufgabe mehr tut doch immer wieder gut.;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Di 22.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ne, damit hab ich es noch nicht probiert. Sie leuchten mir
> aber auch nicht wirklich ein, vor allem auf diese Aufgaben
> bezogen. Wir haben folgende nämlich behandelt:
> sin(x+y) = sinx cosy+cosx siny
> cos(x+y)=cosx cosy-sinx siny
> sin(x-y)=sinx cosy-cosx siny
> cos(x-y)=cosx cosy+sinx siny
>
> Die behandeln ja alle immer x+y oder x-y. Wie kann ich die
> jetzt auf die obigen Aufgaben anwenden?
Setz doch mal $y := x$. Daraus erhaelst du z.B. [mm] $\cos(2 [/mm] x) = [mm] \cos^2 [/mm] x - [mm] \sin^2 [/mm] x$. Wenn du jetzt [mm] $\cos^2 [/mm] x + [mm] \sin^2 [/mm] x = 1$ benutzt, erhaelst du fast sofort (a).
LG Felix
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Hallo,
Zum Teil hilft bestimmt die Anwendung der Definitionen:
[mm] $$cos(z)=\frac{1}{2}\left( e^{iz}+e^{-iz}\right)$$
[/mm]
[mm] $$sin(z)=\frac{1}{2i}\left( e^{iz}-e^{-iz}\right)$$
[/mm]
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Di 22.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt
> (a) [mm]cos^2[/mm] x = [mm]\bruch{1}{2}(1[/mm] + cos(2x))
> (b) (cos x + sin [mm]x)^3[/mm] + (cos x − sin [mm]x)^3[/mm] = 3 cos x −
> 2 [mm]cos^3[/mm] x
> (c) sin(3x) = 3 sin(x) − 4 [mm]sin^3(x)[/mm]
> Und eine letzte Aufgabe, bei der ich ebenfalls nicht
> weiterkomme:
wenn man die Funktionen jeweils betrachtet, so tauchen dort nur diff'bare Funktionen auf. Um zu zeigen, dass z.B.
[mm] $$\cos^2(x)=\bruch{1}{2}(1 [/mm] + [mm] \cos(2x))$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, kannst Du bspw.
[mm] $$f(x):=\cos^2(x)-\bruch{1}{2}(1 [/mm] + [mm] \cos(2x))\;\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
setzen, und zeigen, dass $f=0$ gilt. Um dies zu beweisen:
Zeige:
a) $f'(x)=0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] (denn daraus folgt dann, dass $f(x)=c$ für alle $x [mm] \in \IR$, [/mm] mit einer Konstanten $c [mm] \in \IR$, [/mm] gilt), und
b) [mm] $\exists x_0 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)=0$ [/mm] (z.B. zeige: $f(0)=0$). (Denn mit a) folgt dann, dass [mm] $c=0\,$ [/mm] - wobei [mm] $c\,$ [/mm] das [mm] $c\,$ [/mm] aus Teil a) ist, ist.)
D.h.: Mithilfe der Differentialrechnung kannst Du hier durchaus auch an die Aufgaben herangehen! Natürlich brauchst Du dabei auch sowas wie die Kettenregel etc..
P.S.:
Es kann übrigens sein, dass dieser Weg bei den hier gegebenen Aufgaben nicht günstig ist, da man vll. trotzdem auf die Additionstheoreme zurückgreifen muss. Aber generell sollte man diesen Gedanken (auch bei "analogen" Aufgaben) im Hinterkopf haben...
Gruß,
Marcell
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:00 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Silestius |
Den Ansatz finde ich auch nicht schlecht. Auf diese Idee bin ich nicht gekommen (mein schlechtes Matheverständnis^^).
Hab's aber mal mit den Additionstheoremen versucht und es hat geklappt.;) Dennoch danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Silestius,
> Den Ansatz finde ich auch nicht schlecht. Auf diese Idee
> bin ich nicht gekommen (mein schlechtes
> Matheverständnis^^).
>
> Hab's aber mal mit den Additionstheoremen versucht und es
> hat geklappt.;) Dennoch danke!
wie gesagt: Ich bin mir mittlerweile eigtl. (auch, wenn ich es noch nicht gerechnet habe) fast sicher, dass man auch dann dennoch die Additionstheoreme benötigt (ein kleiner Vorteil kann sein, dass man vll. weniger Additionstheoreme benötigt!):
Denn wenn man z.B. [mm] $f(x)=\cos(2x)$ [/mm] ableitet, so gilt ja nach der Kettenregel [mm] $f'(x)=\cos'(2x)*(2x)'=-\sin(2x)*2=-2*\sin(2x)\,.$
[/mm]
Aber z.B. kann man auch den trig. Pythagoras auf diesem Wege beweisen:
Behauptung: [mm] $\sin^2+\cos^2 \equiv 1\,.$
[/mm]
Beweis:
Betrachte [mm] $f(x):=\sin^2(x)+\cos^2(x)-1\;\;\;\Big(\;=\big(\sin(x)\big)^2+\big(\cos(x)\big)^2-1\Big)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$). [/mm] Dann ist [mm] $f\,$ [/mm] (auf [mm] $\IR$) [/mm] differenzierbar und es gilt (Kettenregel!)
[mm] $$f'(x)=2*\sin(x)*\cos(x)+2*\cos(x)*(-\sin(x))-0=0\;\;\;(x \in \IR)\,.$$
[/mm]
Somit ist $f(x) [mm] \equiv const\,,$ [/mm] also [mm] $f\,$ [/mm] eine konstante Funktion. Wegen [mm] $f(0)=\sin^2(0)+\cos^2(0)-1=0^2+1^2-1=0$ [/mm] folgt [mm] $f=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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