Zeige Basis eine Matrix ex < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 28.05.2010 | | Autor: | buef |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in M_2 (\IR) [/mm] von der Form A= [mm] \lambda [/mm] E + N mit einer nilpotenten Matrix N [mm] \neq [/mm] 0. Zeigen Sie, dass eine Basis von [mm] \IR^2 [/mm] existiert, bezüglich der A auf die Form
[mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda }
[/mm]
gebracht werden kann! |
Also für mich ist das irgendwie viel zu klar. Also
[mm] A=\lambda [/mm] E + N = [mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda } [/mm]
und dieses ist ja eine Jordan Normalform und damit eine Basis zur Matrix A!
Ich versteh irgendwie die Aufgabenstellung nicht so genau und eventuell das Rechnen danach!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Fr 28.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\in M_2 (\IR)[/mm] von der Form A= [mm]\lambda[/mm] E + N mit einer
> nilpotenten Matrix N [mm]\neq[/mm] 0. Zeigen Sie, dass eine Basis
> von [mm]\IR^2[/mm] existiert, bezüglich der A auf die Form
>
> [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda }[/mm]
>
> gebracht werden kann!
> Also für mich ist das irgendwie viel zu klar. Also
>
> [mm]A=\lambda[/mm] E + N = [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda }[/mm]
Hierbei nimmst Du aber an, dass N die Form
$N= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 &0 }$
[/mm]
hat. Das wir aber nicht immer der Fall sein !
Gegeben: A= $ [mm] \lambda [/mm] $ E + N mit einer nilpotenten Matrix N $ [mm] \neq [/mm] $ 0
Für x [mm] \in \IR^2 [/mm] sei [mm] $\Phi(x):= [/mm] Ax$
Zeige: Es gibt eine Basis [mm] b_1,b_2 [/mm] des [mm] \IR^2 [/mm] bezüglich der [mm] \Phi [/mm] die Abbildungsmatrix
[mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda }
[/mm]
hat.
FRED
>
> und dieses ist ja eine Jordan Normalform und damit eine
> Basis zur Matrix A!
>
> Ich versteh irgendwie die Aufgabenstellung nicht so genau
> und eventuell das Rechnen danach!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Fr 28.05.2010 | | Autor: | buef |
ich würde jetzt das charakteristische Polynom bestimmen, Eigenräume bestimmen, sowie Eigenvektoren und dann die Jordan Normalform aufstellen. Was mich aber irretiert ist das lambda da drin...
Nehme ich dann einfach
[mm] \chi_A=det(A-xE) [/mm] = det [mm] \pmat{ \lambda - x & 1 \\ 0 & \lambda - x } [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] - [mm] x)^2
[/mm]
usw?
|
|
|
| |
|
> ich würde jetzt das charakteristische Polynom bestimmen,
> Eigenräume bestimmen, sowie Eigenvektoren und dann die
> Jordan Normalform aufstellen. Was mich aber irretiert ist
> das lambda da drin...
Hallo,
wenn Dich das [mm] \lambda [/mm] irritiert, dann taufe es doch um. Nenn' es halt a, oder was auch immer sonst Dich nicht belastet.
Ich beweise in solchen Fallen auch immer gern erstmal für ein konkretes [mm] \lambda, [/mm] etwa [mm] \lambda=5.
[/mm]
>
> Nehme ich dann einfach
>
> [mm]\chi_A(x)=det(A-xE)[/mm] = det [mm]\pmat{ \lambda - x & 1 \\ 0 & \lambda - x }[/mm]
> = [mm](\lambda[/mm] - [mm]x)^2[/mm]
>
> usw?
Ob Du das "einfach" nimmst, kommt darauf an, was Du im weiteren Verlauf noch für die Matrix A planst...
Das weiß ich nicht, und "usw." hilft mir da nicht weiter...
Du hast jetzt das charakteristische Polynom der Matrix B:=$ [mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda } [/mm] $ richtig hingeschreiben.
Ich kann aber nicht erkennen, woher Du bereits weißt, daß dies das charakeristische Polynom der Matrix [mm] A:=\lambda [/mm] E + N ist.
Ich habe den Verdacht, daß Du Freds Hinweis, daß nicht jede nilpotente Matrix die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 &0 } [/mm] ist, nicht beachtet hast.
Es ist beispielsweise auch die Matrix $ [mm] \pmat{ -7 & 7 \\ -7 &7 } [/mm] $ nilpotent, und die Matrix $ [mm] \pmat{ -2 & 7 \\ -7&12 } [/mm] $ ist von der Machart der Matrix A.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Sa 29.05.2010 | | Autor: | buef |
Hab das jetzt so aufgeschrieben
[mm] \chi_A=det( \lambda [/mm] E + N - [mm] xE)=det((\lambda [/mm] - x) E + [mm] N)=(\lambda-x)^2
[/mm]
Ich bestimme den Eigenraum von [mm] \lambda
[/mm]
[mm] ER_\lambda [/mm] : [mm] (A-\lambda [/mm] E )v = 0 [mm] \Rightarrow \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] v = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] v= [mm] \vektor{1 \\ 0 }
[/mm]
Dieser Eigenraum hat die Dimension 1. Demnach ist die geometrische Vielfachheit =1.
Daraus würde ja die Jordan-Matrix so aussehen
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, [/mm] was eine Basis zu A wäre. Die Matrix würde ich dan mit [mm] \lambda [/mm] multiplizieren und erhalten
[mm] A=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }
[/mm]
Aber N wäre hier 0. Demnach Widerspruch?
|
|
|
| |
|
> Hab das jetzt so aufgeschrieben
>
> [mm]\chi_A=det( \lambda[/mm] E + N - [mm]xE)=det((\lambda[/mm] - x) E + [mm]N)\red{=}(\lambda-x)^2[/mm]
Hallo,
das rotmarkierte Gleichheitszeichen ist aber doch nach wie vor unklar.
Oder übersehe ich etwas? Wie begründest Du diese Gleichheit?
Und wie kommst Du weiter unten schon wieder darauf, daß [mm] A-\lambda E=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }?
[/mm]
Es ist doch [mm] A-\lambda [/mm] E= N.
Hast Du denn das verstanden, was hier schon mehrfach geschrieben wurde: es ist N nicht unbedingt [mm] =\pmat{0&1\\0&0}.
[/mm]
>
> Ich bestimme den Eigenraum von [mm]\lambda[/mm]
> [mm]ER_\lambda[/mm] : [mm](A-\lambda[/mm] E )v = 0 [mm]\Rightarrow \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> v = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] v= [mm]\vektor{1 \\ 0 }[/mm]
>
> Dieser Eigenraum hat die Dimension 1. Demnach ist die
> geometrische Vielfachheit =1.
>
> Daraus würde ja die Jordan-Matrix so aussehen:
>
> [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },
[/mm]
???
Ganz gewiß nicht.
Wenn [mm] \lambda [/mm] zweifacher Eigenwert einer [mm] 2\times [/mm] 2-Matrix ist, dann hat die JNF [mm] (\lambda, \lambda) [/mm] auf der Diagonalen,
und wenn [mm] \lambda [/mm] die geometrische Vielfachheit 1 hat, dann ist die JNF dieser Matrix gerade die Matrix A.
Irgendwas ist gerade kraus bei Dir - ich weiß bloß nicht genau, an welcher Stelle man ansetzen muß, um es zurechtzurücken.
Gruß v. Angela
> was eine Basis zu A wäre. Die
> Matrix würde ich dan mit [mm]\lambda[/mm] multiplizieren und
> erhalten
>
> [mm]A=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }[/mm]
>
> Aber N wäre hier 0. Demnach Widerspruch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mo 31.05.2010 | | Autor: | buef |
Sorry fürs Crossposting.. Nächste mal gebe ich es an.
Hab allerdings keine Idee wie ich die Gleichheit begründen soll.
Vielleicht so
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^2= [/mm] 0
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }^2= [/mm] 0
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }^n \neq [/mm] 0
demnach kann N nur diese gestalt haben und damit gilt die Gleicheit?!?
|
|
|
| |
|
> Hab allerdings keine Idee wie ich die Gleichheit begründen
> soll.
>
> Vielleicht so
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^2=[/mm] 0
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }^2=[/mm] 0
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }^n \neq[/mm] 0
>
> demnach kann N nur diese gestalt haben und damit gilt die
> Gleicheit?!?
Hallo,
irgenwie scheinen wir Schwierigkeiten mit der Kommunikation zu haben:
bist Du der Meinung, daß nur [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] und pmat{ 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 1 & 0 } nilpotente [mm] 2\times [/mm] 2 -Matrizen sind?
Das stimmt nicht, und in einem meiner vorhergehenden Posts hatte ich Dir auch ein Gegenbeispiel gebracht.
Du kannst so vorgehen:
Sei [mm] N\not=0 [/mm] nilpotent.
Was bedeutet das?
Was bedeutet das für das Minimalpolynom von N?
Das charakteristische?
Wie sieht die JNF von N aus?
Was weiß man daher über N? ( "N ist ähnlich zu ..., dh. es existiert ...")
Was weiß man dann über [mm] \lambdaE [/mm] +N?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich bitte Dich, die Forenregeln in Zukunft in vollem Umfange einzuhalten, hier: kein Crosspost ohne Angabe des entsprechenden Links.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
