Zeige Gruppe ist abelsch < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Di 03.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | | Es sei G eine Gruppe mit [mm] a^{2} [/mm] = 1 für alle a [mm] \in [/mm] G. Man zeige, dass G abelsch ist. |
Seien [mm] a_{1}, a_{2} \in [/mm] G.
zz. [mm] a_{1}^{2} [/mm] + [mm] a_{2}^{2} [/mm] = [mm] a_{2}^{2} [/mm] + [mm] a_{1}^{2}
[/mm]
Laut Voraussetzung gilt: [mm] a_{1}^{2} [/mm] =1, [mm] a_{2}^{2} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow a_{1}^{2} [/mm] + [mm] a_{2}^{2} [/mm] = 1 + 1 = [mm] a_{2}^{2} [/mm] + [mm] a_{1}^{2}
[/mm]
Ist's tatsächlich so einfach?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Di 03.11.2009 | | Autor: | piet.t |
> Es sei G eine Gruppe mit [mm]a^{2}[/mm] = 1 für alle a [mm]\in[/mm] G. Man
> zeige, dass G abelsch ist.
> Seien [mm]a_{1}, a_{2} \in[/mm] G.
>
> zz. [mm]a_{1}^{2}[/mm] + [mm]a_{2}^{2}[/mm] = [mm]a_{2}^{2}[/mm] + [mm]a_{1}^{2}[/mm]
>
> Laut Voraussetzung gilt: [mm]a_{1}^{2}[/mm] =1, [mm]a_{2}^{2}[/mm] = 1
>
> [mm]\Rightarrow a_{1}^{2}[/mm] + [mm]a_{2}^{2}[/mm] = 1 + 1 = [mm]a_{2}^{2}[/mm] +
> [mm]a_{1}^{2}[/mm]
>
> Ist's tatsächlich so einfach?
Nein, leider nicht....
In einer Gruppe betrachtet immer nur eine Verknüpfung, mal verwendet man dafür das Zeichen "+" (man sagt, die Gruppe ist "additiv geschrieben"), mal verwendet man [mm] "\cdot" [/mm] (multiplikativ geschrieben), aber es bleibt bei einer Sorte.
Nachdem die Angabe sagt, dass [mm] a^2=1 [/mm] gelten soll ist die Gruppe wohl multiplikativ geshrieben und du musst zeigen, dass $ab=ba [mm] \quad \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G$.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 03.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Achso, okay...
also zz.: ab = ba , a,b [mm] \in [/mm] G
Da a, b [mm] \in [/mm] G, ist nach den Gruppenaxiomen auch (ab) [mm] \in [/mm] G
Nach Vor. gilt: [mm] (ab)^{2} [/mm] = [mm] a^{2}b^{2} [/mm] = 1*1 = 1 = 1*1 = [mm] b^{2}a^{2} [/mm] = [mm] (ba)^{2}
[/mm]
Da [mm] (ab)^{2} [/mm] = [mm] (ba)^{2} [/mm] gilt ab = ba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 03.11.2009 | | Autor: | piet.t |
> Achso, okay...
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> also zz.: ab = ba , a,b [mm]\in[/mm] G
>
> Da a, b [mm]\in[/mm] G, ist nach den Gruppenaxiomen auch (ab) [mm]\in[/mm] G
>
> Nach Vor. gilt: [mm](ab)^{2}[/mm] = [mm]a^{2}b^{2}[/mm] = 1*1 = 1 = 1*1 =
> [mm]b^{2}a^{2}[/mm] = [mm](ba)^{2}[/mm]
Damit haben wir also schon mal, dass 1=1 ist.
>
> Da [mm](ab)^{2}[/mm] = [mm](ba)^{2}[/mm] gilt ab = ba
...und diese Schlussfolgerung glaube ich dir nicht. Warum soll das denn gelten? in [mm] \IR [/mm] ist doch auch $-2 [mm] \not= [/mm] 2$, aber die Quadrate sind gleich....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Di 03.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
New try:
ab = 1*ab = [mm] b^{2}*ab [/mm] = bbab = b*ba*b = Da für [mm] (ab)^{2} [/mm] Kommutativität bewiesen = bb*ba = 1*ba = ba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mi 04.11.2009 | | Autor: | piet.t |
> New try:
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> ab = 1*ab = [mm]b^{2}*ab[/mm] = bbab = b*ba*b = Da für [mm](ab)^{2}[/mm]
> Kommutativität bewiesen = bb*ba = 1*ba = ba
Naja, was Du bereits bewiesen hast ist, dass [mm] $(ab)^2 [/mm] = [mm] (ba)^2$ [/mm] - aber in deinem ganzen Ausdruck finde ich an keiner Stelle ein [mm] $(ab)^2$
[/mm]
Wie geht's denn dann?
Wir wissen ja, dass [mm] a^2 [/mm] = 1, dass [mm] b^2 [/mm] = 1, dass [mm] (ab)^2 [/mm] = 1 (denn alle Quadrate in G sind gleich 1).
Nun starte mit ab = ...
Nun musst Du so lange "passende" Einsen (also [mm] a^2 [/mm] usw.) einfügen, umklammern und wieder zu Einsen zusammenfassen bis du schließlich zu ...=ba kommst.
Bis man das endgültig raus hat kann man durchaus eine ganze Weile dran rumknobeln (ich hab auch ein paar Anläufe gebraucht).
Wichtig: Schreib alle Zwischenschritte auf, mache Dir in jedem Schritt klar, welche Gruppen-Rechenregel Du gerade verwendest, setze Klammern wenn es hilft Dir und anderen Deine Gedankengänge klar zu machen.
Gruß
piet
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