Zeige Konvergenz Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Di 11.11.2008 | | Autor: | nerg |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_n)n\in\IN\sub [/mm] die Folge mit den Gliedern
[mm] a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^2}{n^3+k}
[/mm]
Zeigen sie, dass diese Folge konvergiert und den Grenzwert [mm] \lim_{n \to \infty}a_n=\bruch{1}{3} [/mm] besitzt |
Ich habe überprüft, wie die ersten Folgeglieder aussehen:
[mm]
a_0=\summe_{k=1}^{0}=\bruch{1}{1}
a_1=\summe_{k=1}^{1}=\bruch{1}{2}
a_2=\summe_{k=1}^{2}=\bruch{1}{9}+\bruch{4}{10}=0,51
a_3=\summe_{k=1}^{3}=\bruch{1}{10}+\bruch{4}{11}+\bruch{9}{12}=0,47
a_4=\summe_{k=1}^{4}=\bruch{1}{65}+\bruch{4}{66}+\bruch{9}{67}+\bruch{16}{68}=0,45
a_{100}=\summe_{k=1}^{100}=0,33832 (lt. Mathcad)
[/mm]
Der angegebene Grenzwert scheint also zu stimmen.
Kann mir jemand von euch einen hübschen Ansatz geben, den ich hoffentlich auch verstehe?
Offensichtlich gilt für jedes Folgeglied innerhalb der Summe: [mm]n^3+k>k^2[/mm]
Wenn n gegen Unendlich geht:
[mm] \lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty}\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2}{n^3+k}=\lim_{n \to \infty}\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{k}{1}+\bruch{k^2}{n^3})
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 11.11.2008 | | Autor: | Amsel81 |
Ich versuche die selbe Aufgabe zu lösen....Hat es was mit Partialsummen zu tun? Mein Problem ist, dass ich nicht so richtig weiß, wie ich hier die Konvergenz beweisen soll. Wenn [mm] |a_n -a|<\varepsilon [/mm] sein soll, was ist denn da a und kann ich mein [mm] \varepsilon [/mm] beliebig >0 wählen?
Sorry, wenn ich mich zu blöde anstelle, aber irgendwie...
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Mi 12.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vergroessere die Summe indem du die Nenner veraenderst (verkleinerst) so dass du ihn aus der Summe rausziehen kannst.
dann verkleiner die summe, indem du den nenner vergroesserst, wieder rausziehen/ dann zeigen, dass die verkleinert und die vergroesserte summe gegen 1/3 konvergieren.
die summe ueber [mm] k^2 [/mm] muss man dabei wissen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Amsel81 |
Danke erstmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Do 13.11.2008 | | Autor: | nerg |
Ok,
[mm] a_5=\summe_{k=1}^{5}=\bruch{1}{126}+\bruch{4}{127}+\bruch{9}{128}+\bruch{16}{129}+\bruch{25}{130}
[/mm]
Die Summenformel für den Nenner lautet:
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}=1+4+9+...+n^2=\bruch{1}{3}n^3+\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{6}n=\summe_{k=1}^{n}k^2
[/mm]
Die kleinere Folge
[mm] b_n:=\bruch{1}{n^3+n}\summe_{k=1}^{n}k^2
[/mm]
und die größere Folge
[mm] c_n:=\bruch{1}{n^3}\summe_{k=1}^{n}k^2
[/mm]
für alle drei gilt:
[mm] b_n\le a_n\le c_n \gdw \bruch{1}{n^3+n} \le \bruch{1}{n^3} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n^3} \ge \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n^3+k}
[/mm]
So. Man weiß, wenn [mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] konvergieren, konvergiert auch [mm] a_n. [/mm] Muß ich jetzt den Limes anwenden? undzwar wo? [mm] \summe_{k=1}^{n}k^2 [/mm] ist divergent!
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Ja, klar, [mm] \summe k^2 [/mm] ist divergent. Aber Du hast ja noch einen Faktor davor.
Die Formel, die dir vielleicht noch fehlt, ist die, von der schon leduart fand, dass man sie hier noch wissen müsse.
Sie lautet:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}=\bruch{2n^3+3n^2+n}{6}
[/mm]
Jetzt müsstest Du's lösen können, denke ich.
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