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Forum "Zahlentheorie" - Zeige: Polynom für jede ganze
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Zeige: Polynom für jede ganze: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Di 21.10.2008
Autor: uniklu

Aufgabe 1
Man zeige, dass [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 2n für jede Zahl n durch 6 teilbar ist.

Aufgabe 2
Man bestimme alle natürlichen Zahlen n, sodass [mm] n^2 [/mm] + 1 durch n + 1 teilbar ist.

Ich habe wieder Probleme bei einem Beweis aus der Zahlentheorie:

ad 1)
Was mir dazu spontan einfällt ist, dass 6 durch 2 und 3 geteilt wird sprich: 2 | 6 [mm] \wedge [/mm] 3 | 6

Es müsste also 2 | [mm] (n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 2n) [mm] \wedge [/mm] 3 | [mm] (n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 2n) gezeigt werden

Meine Frage ist nun, wie es weitergeht.

ad 2)
Das selbe Problem habe ich bei der zweiten Aufgabe. Auch hier die Frage: Wie geht man vor?

lg



Querpost: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=110401

        
Bezug
Zeige: Polynom für jede ganze: zu Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Di 21.10.2008
Autor: Loddar

Hallo uniklu!


Es gilt doch:
[mm] $$n^3+3n^2+2n [/mm] \ = \ n*(n+1)*(n+2)$$

Und eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.


Gruß
Loddar


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Zeige: Polynom für jede ganze: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Di 21.10.2008
Autor: uniklu

(n * (n + 2) * (n + 1)) == 0 (mod 2)
und
(n * (n + 2) * (n + 1)) == 0 (mod 3)

d.h. ich gucke mir für n >= 0 aber n < 2 und n >= 0 aber n < 3 das ganze an.
wobei n=1 und n=2 die bedinung erfüllen

stimmt das?


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Zeige: Polynom für jede ganze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Di 21.10.2008
Autor: angela.h.b.


> d.h. ich gucke mir für n >= 0 aber n < 2 und n >= 0 aber n
> < 3 das ganze an.
>  wobei n=1 und n=2 die bedinung erfüllen
>  
> stimmt das?

Hallo,

k.A. Ich verstehe nämlich von A-Z   nicht, was Du meinst.

Gruß v. Angela


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Zeige: Polynom für jede ganze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Di 21.10.2008
Autor: uniklu

Nun ich habe (n * (n + 2) * (n + 1)) == 0 (mod 2) für 2 teilt n * (n + 2) * (n + 1).

Also hab ich angenommen, dass n die Werte 0 und 1 annehmen kann.
Nun, für n = 4 würde die Bedinung auch zutreffend - das 6 den ganzen Ausdruck teilt. Damit ist wohl mein Ansatz falsch.


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Zeige: Polynom für jede ganze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Di 21.10.2008
Autor: angela.h.b.


> (n * (n + 2) * (n + 1)) == 0 (mod 2)
>  und
>  (n * (n + 2) * (n + 1)) == 0 (mod 3)
>  
> d.h. ich gucke mir

Hallo,

das, was Du oben schreibst, das stimmt ja, aber ich glaube, Du hast nicht verstanden, warum das so ist.

Wir hatten ja ...=n(n+1)(n+3)

Die ist für jedes n durch 6 teilbar, das ist ja der Witz.

Daß Teilbarkeit durch 6 bedeutet, daß die Zahl gleichzeitig durch 3 und durch 2 zu teilen ist, hast Du ja schon gesagt.

Nun überlege Dir mal, warum mindestens einer der Faktoren n,n+1, n+2 durch 3 teilbar ist.

Überlege Dir auch, warum mindestens einer der Faktoren n, n+1, n+2 durch 2 teilbar ist.


Und bevor Du überlegst, überzeige Dich davon, daß es so ist. Berechne n, n+1, n+2  mal für ein paar n.

Gruß v. Angela

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Zeige: Polynom für jede ganze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Di 21.10.2008
Autor: uniklu

Hallo!

Danke für die Geduld,

:) ich habe also noch mal überlegt UND DANN validiert.
Ich muss zugeben, das mit den Faktoren ist mir nicht ins Auge geschossen - wieder was gelernt.

Einer der Faktoren ist immer durch 2 bzw. 3 teilbar.

Da dann auch das Produkt der Faktoren durch 2 bzw. 3 teilbar sind ist das ganze durch 2 bzw. 3 teilbar.

Wie würde eine formale Begründung aussehen - also dass das Polynom für alle n durch 6 teilbar ist?

lg


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Zeige: Polynom für jede ganze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Di 21.10.2008
Autor: angela.h.b.


>
> Einer der Faktoren ist immer durch 2 bzw. 3 teilbar.
>  
> Da dann auch das Produkt der Faktoren durch 2 bzw. 3
> teilbar sind ist das ganze durch 2 bzw. 3 teilbar.
>
> Wie würde eine formale Begründung aussehen - also dass das
> Polynom für alle n durch 6 teilbar ist?

Hallo,

wenn Du gezeigt hast, daß es durch 2 und durch drei teilbar ist, steht die Teilbarkeit durch 6 ja völlig außer Frage.

Du mußt Dir eine schlüssige Begründung dafür einfallen lassen, daß einer der Faktoren n, n+1 oder n+2 durch 3 teilbar ist und einer der faktoren n, n+1, n+2 durch 2.

Diese Begründung solltest Du eigentlich selbst herausfinden können.

Du kannst ja z.B. Fallunterscheidungen machen:

1: Fall n=0(mod 3)
2: Fall n=1(mod 3)
3.Fall n=2(mod2)

Gruß v. Angela

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Zeige: Polynom für jede ganze: auch Aufg. 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Di 21.10.2008
Autor: angela.h.b.


> Man zeige, dass [mm]n^3[/mm] + [mm]3n^2[/mm] + 2n für jede Zahl n durch 6
> teilbar ist.

Hallo,

mit 'ner (schn)öden Induktion kommst Du auch zum Ziel.

Gruß v. Angela

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Zeige: Polynom für jede ganze: zu Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Di 21.10.2008
Autor: uniklu

Querpost:
Das Polynom [mm] n^2 [/mm] + 1 = [mm] (n+1)^2 [/mm] - 2n
also ist der ausdruck durch n+1 teilbar wenn 2n durch n+1 teilbar ist.

n+1 | 2n

Das einzige Beispiel ist n = 1.

Gibt es hier Verbesserungsmöglichkeiten bei der Argumentation?

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Zeige: Polynom für jede ganze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Di 21.10.2008
Autor: angela.h.b.


> Querpost:
>  Das Polynom [mm]n^2[/mm] + 1 = [mm](n+1)^2[/mm] - 2n
>  also ist der ausdruck durch n+1 teilbar wenn 2n durch n+1
> teilbar ist.
>  
> n+1 | 2n
>  
> Das einzige Beispiel ist n = 1.
>  
> Gibt es hier Verbesserungsmöglichkeiten bei der
> Argumentation?

Was würdest Du sagen, wenn ich fragen würde: warum ist n=1 das einzige beispiel?

Gruß v. Angela


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Zeige: Polynom für jede ganze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 Di 21.10.2008
Autor: uniklu

Sehr gute Frage,

tut mir leid, das kann ich nur dadurch begründen, dass die Polynomdivision nicht auf 0Rest ausgeht.



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