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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Zeige: Term ist positiv
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Zeige: Term ist positiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Mi 03.08.2016
Autor: pejo

Aufgabe
Zeige, aus a+d [mm] \ge [/mm] b+c und ad>bc folgt 4ad > [mm] (b+c)^{2} [/mm]  
für a,b,c,d >0

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hallo, also ich habe daran gedacht die Ungleichung über das geometrische und arithmetische Mittel dafür zu gebrauchen aber sonst komme ich nicht weiter.

[mm] (ad)^\bruch{1}{2} \le \bruch{a+d}{2} [/mm]

Dann mit [mm] (ad)^\bruch{1}{2} [/mm] beide Seiten muliplizieren

Bekomme dann ad [mm] \le \bruch{(a+d)^{2}}{4} [/mm]

Somit hätte ich 4ad [mm] \le (a+d)^{2} [/mm]

Kann aus a+d [mm] \ge [/mm] b+c  anwenden, dass [mm] (a+d)^{2} \ge (b+c)^{2} [/mm]

und somit hätte ich  [mm] (a+d)^{2} \ge [/mm] 4ad und  [mm] (a+d)^{2} \ge (b+c)^{2} [/mm]

aber wie zeige ich jetzt die Beziehung zwischen 4ad und [mm] (b+c)^{2} [/mm]  

Danke


        
Bezug
Zeige: Term ist positiv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Mi 03.08.2016
Autor: hippias

Die Aussage mit der strikten Ungleichheit ist falsch: z.B. $a=d=1$, [mm] $b=\frac{3}{2}$ [/mm] und [mm] $c=\frac{1}{2}$. [/mm]

Leider fällt mir gerade nichts zum Beweis der Ungleichung mit [mm] $\geq$ [/mm] ein.

Bezug
        
Bezug
Zeige: Term ist positiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Mi 03.08.2016
Autor: fred97

Die Aussage ist falsch !

Mit a=12, b=d=1 und c=6 haben wir

  a+d=13 [mm] \ge [/mm] 7 =b+c, ad=12 >6=bc

aber

   4ad=48 und [mm] (b+c)^2=49. [/mm]

machen wirs allgemeiner: sei a>0, [mm] c=\bruch{a}{2} [/mm]  und b=c=1. Dann gelten

     a+d $ [mm] \ge [/mm] $ b+c und ad>bc.

Betrachten wir die Funktion $f(a):=4ad - [mm] (b+c)^{2} [/mm] $,

also

    [mm] f(a)=4a-(1+\bruch{a}{2} )^2, [/mm]

so hat f die Nullstellen

   [mm] a_1=6+4* \wurzel{2} [/mm]  und  [mm] a_2=6-4* \wurzel{2}. [/mm]

Für a [mm] \in \{a_1,a_2\} [/mm] ist f(a)=0, also 4ad [mm] =(b+c)^{2} [/mm]

Für a [mm] \in (a_1,a_2) [/mm] ist f(a)>0 , also 4ad > [mm] (b+c)^{2} [/mm]

Für [mm] aa_2 [/mm] ist f(a)<0, also 4ad < [mm] (b+c)^{2} [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Zeige: Term ist positiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Mi 03.08.2016
Autor: pejo

Danke vielmals!

Könnte man es dann für a+d > b+c zeigen? Mir ist das [mm] \ge [/mm] gleich komisch vorgekommen.

mit a+d > b+c hätte ich zum Schluss meines Ansatzes

[mm] (a+d)^{2} \ge [/mm] 4ad und [mm] (a+d)^{2} [/mm] > [mm] (b+c)^{2} [/mm]

Kann man dann daraus folgern dass 4ad [mm] \ge (b+c)^{2} [/mm] gilt und dann noch die Feinheit herausrechnen dass es dann tatsächlich >  ist?

Bezug
                        
Bezug
Zeige: Term ist positiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Mi 03.08.2016
Autor: fred97


> Danke vielmals!
>
> Könnte man es dann für a+d > b+c zeigen?

Liest Du, was man Dir schreibt ?? Oben hatte ich:

Mit a=12, b=d=1 und c=6 haben wir

  a+d=13 $ [mm] \ge [/mm] $ 7 =b+c, ad=12 >6=bc

aber

   4ad=48 und $ [mm] (b+c)^2=49. [/mm] $

FRED


>  Mir ist das [mm]\ge[/mm]
> gleich komisch vorgekommen.
>  
> mit a+d > b+c hätte ich zum Schluss meines Ansatzes
>  
> [mm](a+d)^{2} \ge[/mm] 4ad und [mm](a+d)^{2}[/mm] > [mm](b+c)^{2}[/mm]
>  
> Kann man dann daraus folgern dass 4ad [mm]\ge (b+c)^{2}[/mm] gilt
> und dann noch die Feinheit herausrechnen dass es dann
> tatsächlich >  ist?


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