Zeige, dass f differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definiere f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] durch
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{falls } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist, dass aber f' nicht stetig ist. |
Hallo,
das geht mit zwei Definitionen.
1: [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
2: [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
Beide Definitionen sind äquivalent zueinander.
Ich muss doch hier die Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0 betrachten.
Wenn ich es aber in eine der beiden Definitionen einsetze, komme ich nicht drumherum, [mm] f(x_0) [/mm] zu bestimmen , mit [mm] x_0= [/mm] 0, also f(0), wie soll das mit dem sin(1/x) klappen? Muss ich mich von links/rechts an die 0 näheren, und dann beurteilen, wie sich der sin verhält ?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Di 19.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Definiere f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{falls } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist, dass aber f' nicht
> stetig ist.
>
>
>
> Hallo,
>
Huhu,
> das geht mit zwei Definitionen.
>
> 1: [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> 2: [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
>
> Beide Definitionen sind äquivalent zueinander.
>
> Ich muss doch hier die Stelle [mm]x_0[/mm] = 0 betrachten.
Jap :)
>
> Wenn ich es aber in eine der beiden Definitionen einsetze,
> komme ich nicht drumherum, [mm]f(x_0)[/mm] zu bestimmen , mit [mm]x_0=[/mm]
> 0, also f(0), wie soll das mit dem sin(1/x) klappen? Muss
Laut Definition ist doch $f(0)=0$.
> ich mich von links/rechts an die 0 näheren, und dann
> beurteilen, wie sich der sin verhält ?
>
> Vielen Dank im Voraus
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Di 19.01.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Ahhh, das habe ich echt vergessen, obwohl ich es sogar eingetippt habe, das ging schnell, vielen Dank :D
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Hallo,
ich bin jetzt soweit:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{falls } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] = 0
[mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
[mm] f(x_0) [/mm] = f(0) = 0
[mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{h^2sin(\bruch{1}{h})}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h \rightarrow 0} [/mm] h * [mm] sin(\bruch{1}{h})
[/mm]
Aber [mm] sin(\bruch{1}{h}) [/mm] ist für h ->0 divergent.
Ist das Ergebnis jetzt 0 ? Weil ich hab hier ein Produkt einer kovergenten Folge mit einer divergenten.
Wo ist mein Fehler ?
Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 20.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich bin jetzt soweit:
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{falls } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
>
> [mm]x_0[/mm] = 0
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
>
> [mm]f(x_0)[/mm] = f(0) = 0
>
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0} \bruch{h^2sin(\bruch{1}{h})}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0}[/mm] h * [mm]sin(\bruch{1}{h})[/mm]
>
> Aber [mm]sin(\bruch{1}{h})[/mm] ist für h ->0 divergent.
>
> Ist das Ergebnis jetzt 0 ? Weil ich hab hier ein Produkt
> einer kovergenten Folge mit einer divergenten.
> Wo ist mein Fehler ?
Du hast keinen Fehler gemacht ! sin(1/h) ist beschränkt: |sin(1/h)| [mm] \le [/mm] 1 für h [mm] \ne [/mm] 0
Damit haben wir:
$|h * [mm] sin(\bruch{1}{h})| \le [/mm] |h|$ und somit:
$h * [mm] sin(\bruch{1}{h}) \to [/mm] 0$ für h [mm] \to [/mm] 0
FRED
> Vielen Dank im Voraus.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
okay, vielen Dank für die Antwort.
Jetzt versuche ich den zweiten Teil.
Ich soll zeigen, dass f' nicht stetig ist. Um Nichtstetigkeit zu zeigen, benutze ich das Folgenkriterium.
Also: \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = f(x_0)
Wir haben
$ f(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{falls } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases} $
$ f'(x)=\begin{cases} 2sin(\bruch{1}{x}})x-cos(\bruch{1}{x}}), & \mbox{falls } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases} $
Jetzt habe ich mir gedaacht, wir suchen uns eine Folge, zum Beispiel x_n = \bruch{1}{n \pi} Denn ein Vielfaches von pi ist bei dem Sinus immer 0.
Das bedeutet dann f(x_n) = 2sin(\bruch{1}{x_n})x_n-cos(\bruch{1}{x_n})
= 2sin(n\pi)n\pi - cos(n\pi)
= 0 - 1
= - 1
Bin ich auf dem richtigen Weg ?
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Hiho,
> Bin ich auf dem richtigen Weg ?
ja, allerdings ist deine angegebene Folge nicht konvergent, denn [mm] $\cos(nx)$ [/mm] springt zwischen -1 und 1 hin und her.
Ein Gegenbeispiel ist deine Folge aber trotzdem.
Gruß,
Gono
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Hallo,
ja, stimmt, cos ist hier alternierend. Aber ich brauche eine konvergente Folge, stimmts? Wie würde eine Folge aussehen, die nach dem Einsetzen in sin und cos konvergieren würde? Also nicht nur sin konvergiert, sondern auch cos.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mi 20.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ja, stimmt, cos ist hier alternierend. Aber ich brauche
> eine konvergente Folge, stimmts? Wie würde eine Folge
> aussehen, die nach dem Einsetzen in sin und cos
> konvergieren würde? Also nicht nur sin konvergiert,
> sondern auch cos.
Wäre $f'$ stetig, so würde gelten $ [mm] f'(x_n) \to [/mm] f'(0)=0$ für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Das ist aber nicht der Fall, denn [mm] (f(x_n)) [/mm] ist divergent.
Fazit : $f'$ ist nicht stetig (in 0)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mi 20.01.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank für die Antworten.
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