Zeige, g(x) ist monoton wachs. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Sa 22.06.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | [mm] Sei\; \, f:\left [ 0,\infty \right )\: \rightarrow \mathbb{R}\,
[/mm]
stetig, und sei f(0)=0. Ferner sei f differenzierter und f`sei monoton wachsend.
Beweisen Sie, dass [mm] g:\left ( 0,\infty \right )\; \rightarrow \; \mathbb{R},\; g(x)=\frac{f(x)}{x}\: [/mm]
monoton wachsend ist. |
Hallo Forum,
Da ich hier im Forum schon tolle Hilfen zur Selbsthilfe bekommen habe, wende ich mich mit diesem kleinen Problem an euch:
ich muß zeigen, daß g(x) monoton wachsend ist.
Mein erster Gedanke ist hier, die Ableitung von g(x), also g´(x) zu erstellen und dann zu zeigen, daß alle Elemente von g'(x) >=0 sind, was zeigen würde, daß g(x) monoton wächst.
g´(x) darf ich ja erstellen, da es selber aus einer differenzierbaren Funktion besteht.
Ich habe g(x) abgeleitet und erhalte:
[mm] {g}'(x)=\frac{{f}'(x)*x-f(x)}{x^{2}}
[/mm]
Irgendwie komme ich jetzt nicht so ganz weiter. da f´(x) ja nun mal monoton steigt, müßte doch auch f(x) monoton steigen, oder? Dann wäre ich einen großen Schritt weiter, da f(0)=0 ist und wenn dann f(x) monoton steigt, dann kann f(x) nur größer 0 sein.
Bin ich da auf dem Holzweg?
Grüße,
Micha
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Hallo,
> ich muß zeigen, daß g(x) monoton wachsend ist.
> Mein erster Gedanke ist hier, die Ableitung von g(x), also
> g´(x) zu erstellen und dann zu zeigen, daß alle Elemente
> von g'(x) >=0 sind, was zeigen würde, daß g(x) monoton
> wächst.
Das scheint der beste Weg zu sein.
> g´(x) darf ich ja erstellen, da es selber aus einer
> differenzierbaren Funktion besteht.
o.k
> Ich habe g(x) abgeleitet und erhalte:
>
> [mm]{g}'(x)=\frac{{f}'(x)*x-f(x)}{x^{2}}[/mm]
o.k
>
> Irgendwie komme ich jetzt nicht so ganz weiter. da f´(x)
> ja nun mal monoton steigt, müßte doch auch f(x) monoton
> steigen, oder?
Das ist ein Trugschluss; siehe Normalparabel
Zeige direkt, dass g´>0 ist. Verwende dazu den Mittelwertsatz der Diff.-rechnung.
Gruß
korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
>
> > ich muß zeigen, daß g(x) monoton wachsend ist.
> > Mein erster Gedanke ist hier, die Ableitung von g(x), also
> > g´(x) zu erstellen und dann zu zeigen, daß alle Elemente
> > von g'(x) >=0 sind, was zeigen würde, daß g(x) monoton
> > wächst.
>
> Das scheint der beste Weg zu sein.
> > g´(x) darf ich ja erstellen, da es selber aus einer
> > differenzierbaren Funktion besteht.
> o.k
> > Ich habe g(x) abgeleitet und erhalte:
> >
> > [mm]{g}'(x)=\frac{{f}'(x)*x-f(x)}{x^{2}}[/mm]
> o.k
> >
> > Irgendwie komme ich jetzt nicht so ganz weiter. da f´(x)
> > ja nun mal monoton steigt, müßte doch auch f(x) monoton
> > steigen, oder?
> Das ist ein Trugschluss; siehe Normalparabel
>
> Zeige direkt, dass g´>0 ist.
Du meinst sicher [mm] $g\,'\red{\;\ge\;}0\,.$ [/mm] Denn [mm] $f\,'$ [/mm] ist ja nicht als streng wachsend
vorausgesetzt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
kleiner Hinweis zu korbinians Hinweis:
> [mm]Sei\; \, f:\left [ 0,\infty \right )\: \rightarrow \mathbb{R}\,[/mm]
>
> stetig, und sei f(0)=0. Ferner sei f differenzierter
differenzierbar!
> und f'sei monoton wachsend.
>
> Beweisen Sie, dass [mm]g:\left ( 0,\infty \right )\; \rightarrow \; \mathbb{R},\; g(x)=\frac{f(x)}{x}\:[/mm]
> monoton wachsend ist.
> Hallo Forum,
> Da ich hier im Forum schon tolle Hilfen zur Selbsthilfe
> bekommen habe, wende ich mich mit diesem kleinen Problem an
> euch:
>
> ich muß zeigen, daß g(x) monoton wachsend ist.
> Mein erster Gedanke ist hier, die Ableitung von g(x), also
> g´(x) zu erstellen und dann zu zeigen, daß alle Elemente
> von g'(x) >=0 sind, was zeigen würde, daß g(x) monoton
> wächst.
>
> g´(x) darf ich ja erstellen, da es selber aus einer
> differenzierbaren Funktion besteht.
>
> Ich habe g(x) abgeleitet und erhalte:
>
> [mm]{g}'(x)=\frac{{f}'(x)*x-f(x)}{x^{2}}[/mm]
Weil [mm] $x^2 [/mm] > 0$ ($x > 0$) klar ist, musst Du nur noch [mm] $f\,'(x)*x-f(x) \ge [/mm] 0$ ($x > 0$) begründen.
Beachte:
[mm] $$\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$
[/mm]
wegen [mm] $f(0)=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Sa 22.06.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ja, ich meine natürlich differenzierbar. Da war die automatische Rechtschreibkontrolle etwas voreilig 
Erst ein mal vielen Dank für die Antworten. Die grobe Richtung scheint schon mal zu stimmen. Auch klar, daß ich nur noch begründen muß, daß gilt: $ [mm] f\,'(x)\cdot{}x-f(x) \ge [/mm] 0 $
Marcel, ich hab jetzt leider nicht verstanden, wie mir dabei $ [mm] \frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] $
helfen kann.
Tja, an den Mittelwertsatz hatte ich auch schon gedacht, war mir aber nicht sicher, ob es nicht doch "einfacher" geht.
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Sa 22.06.2013 | | Autor: | mbra771 |
Sorry, ich wollte eigentlich die letzte Mitteilung als Frage einsetzen.
Micha
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Hallo,
ich glaube nicht, dass es einfacher geht; wobei das ja Geschmackssache ist. Aber es sind doch nur 2-3 Zeilen. Was gefällt dir daran nicht? Zu schweres Geschütz? Es ist aber doch auch ein erstaunlicher Satz.
Gruß
korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Ja befinde ich ebenfalls so. Mit dem Mittelwertsatz bist du in nur wenigen Zeilen fertig ;)
Oder ist dir unklar wie du ihn anweden sollst?
Lg Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 22.06.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo korbinian und Marcel
tja, vielleicht dachte ich erst, daß der Mittelwertsatz zu großes Geschütz ist. Ist wirklich ein erstaunlicher Satz.
Habe es hin bekommen und vielen Dank für die Hilfe!!!
Grüße,
Micha
PS: Hallo Marcel noch mal vielen Dank für deine Hilfe. Ich wollte gerade Danke schreiben, da sehe ich, daß du auch schon die Lösung geschrieben hast.
Klasse Forum hier!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry, ich wollte eigentlich die letzte Mitteilung als
> Frage einsetzen.
das ist doch nun ein Einzeiler; Du wirst Dir gleich die Hand gegen den Kopf
hauen (aberr bitte nicht den Kopf gegen die Wand hauen):
Für $x > [mm] 0\,$ [/mm] fest betrachten wir [mm] $f_{|[0,x]}\,.$ [/mm] Nach dem MWS existiert zu $x > [mm] 0\,$
[/mm]
ein [mm] $\xi=\xi_x \in ]0,\,x[$ [/mm] mit
[mm] $$\frac{f_{|[0,x]}(x)-f_{|[0,x]}(0)}{x-0}=f_{|[0,x]}\,'(\xi)\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$(\star)\;\;\;\;\;\;\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f\,'(\xi)\,,$$
[/mm]
Nun wolltest Du doch [mm] $x*f\,'(x) [/mm] -f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ rausbekommen:
Schau' nochmal in [mm] $(\star)\,,$ [/mm] beachte [mm] $\xi \in ]0,\,x[ \;\;\;\iff\;\;\; [/mm] 0 < [mm] \xi [/mm] < x [mm] \;\;\;\Longrightarrow\;\;\; \xi [/mm] < x$ und, dass [mm] $f\,'$ [/mm] nach
Voraussetzung monoton wachsend war:
Was kann man also bei
[mm] $$f\,'(\xi) \;\;\;\red{\textbf{?}}\;\;\; f\,'(x)$$
[/mm]
für $ [mm] \red{\textbf{?}} \in \{\,\le,\;\ge,\;=\,\}$ [/mm] einsetzen, und was bringt das in Verbindung mit [mm] $(\star)$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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