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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \vec{v_1} \vektor{1 \\ a \\ a^2} \vec{v_2} \vektor{1 \\ b \\ b^2} \vec{v_3} \vektor{1 \\ c \\ c^2} [/mm] |
Ich soll zeigen, dass diese 3 Vektoren eine Basis im [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
Soweit ich weiß, ist es dazu notwendig, zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig voneinander sind.
Also
[mm] \lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2}+\lambda_3\vec{v_3}=0
[/mm]
Soweit richtig?
Wenn ja dann würde ich ein LGS aufstellen in etwa so:
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
[mm] a\lambda_1 [/mm] + [mm] b\lambda_2 [/mm] + [mm] c\lambda_3 [/mm] = 0
[mm] a^2\lambda_1 [/mm] + [mm] b^2\lambda_2 [/mm] + [mm] c^2\lambda_3 [/mm] = 0
Welche Möglichkeiten habe ich denn hier aufzulösen? Oder ist das der falsche Ansatz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Di 26.05.2009 | | Autor: | Arcesius |
Bitte diesen Beitrag löschen.
(Gibt es wirklich keine Löschfunktion???)
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Hallo ganzir!
Ich hoffe, dass ich dir helfen kann
> Soweit ich weiß, ist es dazu notwendig, zu zeigen, dass die
> Vektoren linear unabhängig voneinander sind.
>
> Also
>
> [mm]\lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2}+\lambda_3\vec{v_3}=0[/mm]
>
> Soweit richtig?
So würde ich das auch machen.
> Wenn ja dann würde ich ein LGS aufstellen in etwa so:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = 0
> [mm]a\lambda_1[/mm] + [mm]b\lambda_2[/mm] + [mm]c\lambda_3[/mm] = 0
> [mm]a^2\lambda_1[/mm] + [mm]b^2\lambda_2[/mm] + [mm]c^2\lambda_3[/mm] = 0
Das würde ich auch so aufstellen.
> Welche Möglichkeiten habe ich denn hier aufzulösen?
Ich würde es klassisch mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen, habe es jetzt aber selbst nicht nachgerechnet.
> ist das der falsche Ansatz?
Ich hätte noch diese Idee, weiß aber nicht, ob sie auch funktioniert:
Wenn zwei Vektoren orthogonal zueinander sind, so sind sie doch auch linear unabhängig, oder?
Und orthogonal zueinander sind sie, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist, oder?
Aber nach der Idee wären schon die ersten beiden Vektoren nicht zueinander orthogonal (es sei denn, a oder b wären 0).
Also da ich es nicht sicher weiß, lass ich die Frage hier mal nur als teilweise beantwortet stehen.
Vielleicht weiß jemandes erfahreneres besseren Rat (auch bzgl. meiner Idee mit dem Skalarprodukt).
Wenn ich dir helfen konnte freu ich mich natürlich umso mehr 
LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Di 26.05.2009 | | Autor: | XPatrickX |
>
> Ich hätte noch diese Idee, weiß aber nicht, ob sie auch
> funktioniert:
> Wenn zwei Vektoren orthogonal zueinander sind, so sind sie
> doch auch linear unabhängig, oder?
> Und orthogonal zueinander sind sie, wenn ihr Skalarprodukt
> gleich 0 ist, oder?
> Aber nach der Idee wären schon die ersten beiden Vektoren
> nicht zueinander orthogonal (es sei denn, a oder b wären
> 0).
>
es gilt zwar [mm] $\langle v_1 [/mm] , [mm] v_2 \rangle [/mm] =0$ [mm] \Rightarrow v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind linear unabhängig (falls [mm] v_i \not= [/mm] 0) aber die Umkehrung gilt nicht!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Di 26.05.2009 | | Autor: | Pacapear |
> es gilt zwar [mm]\langle v_1 , v_2 \rangle =0[/mm] [mm]\Rightarrow v_1[/mm]
> und [mm]v_2[/mm] sind linear unabhängig (falls [mm]v_i \not=[/mm] 0) aber die
> Umkehrung gilt nicht!!
Oh, dass wusste ich nicht.
Kann ich nicht sagen: [mm] v_1 [/mm] und [mm]v_2[/mm] sind linear unabhängig [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\langle v_1 , v_2 \rangle =0[/mm]
Liegt das daran, dass es quasi verschiedene Orthogonalitäten gibt (z.B. A-orthogonal)?
Aber ich bräuchte in der Aufgabe von Ganzir ja eh nur die Richtung, die du gesagt hast, oder nicht?
[mm] \langle\vektor{1 \\ a \\ a^2},\vektor{1 \\ b \\ b^2} \rangle=1*1+a*a+a^2*b^2=1+a^2+a^2b^2\not=0
[/mm]
Wegen den Quadraten kann das doch niemals 0 werden, also sind die nicht linear unabhängig, oder?
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Hallo,
die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] stehen nicht orthogonal aufeinander (bzgl. des Standardskalarproduktes) aber trotzdem sind sie linear unabhängig.
Daher verstehe ich nicht, warum du bei der Aufgabe die Orthogonalität widerlegen willst und damit auf lineare Unabhängigkeit schließen kannst.
Gruß Patrick
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Hallo,
natürlich ist der gute alte Gauß hier eine gute und richtige Möglichkeit. Allerdings wirst du dort um mehrere Fallunterscheidungen nicht drumrumkommen.
Eine andere Möglichkeit wäre die drei Vektoren in eine Matrix zu schreiben und die Determinante zu berechnen. Ist diese =0 so sind die Vektoren linear abhängig.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Eine andere Möglichkeit wäre die drei Vektoren in eine Matrix zu schreiben und die Determinante zu berechnen. Ist diese =0 so sind die Vektoren linear abhängig. |
Kannst du mir erklären wie das funktioniert wenn in der Matrix variablen enthalten sind?
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2}
[/mm]
Was soll ich denn jetzt tun, ich müsste ja nun in einer untere Dreiecksmatrix umformen. Heißt das ich nehme die erste Zeile jetzt mal [mm] a^2 [/mm] und ziehe sie dann von der dritten hab um in der ersten Position der dritten Spalte eine 0 zu erhalten? da führt doch zu riesigen termen auf allen anderen Positionen oder mache ich was falsch?
Ich zeige dir mal was ich meine:
1. Schritt: 2.Zeile - (1. Zeile mal a)
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & b-a & c-a \\ a^2 & b^2 & c^2}
[/mm]
2. Schritt: 3.Zeile - (1. Zeile mal [mm] a^2)
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & b-a & c-a \\ 0 & b^2-a^2 & c^2-a^2}
[/mm]
3. Schritt 3.Zeile - (2.Zeile mal (b+a))
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & b-a & c-a \\ 0 & 0 & -a^2 -cb +ab +ac}
[/mm]
Meine Determinante sollte also sein: [mm] 1\cdot (b-a)\cdot(-a^{2}-cb+ab+ac)
[/mm]
Wenn das nun so richtig ist, woher weiß ich denn dann ob die nun Null ist oder nicht?
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Hallo ganzir!
Ich würde hier die Regel von Sarrus anwenden:
![[]](/images/popup.gif) Wiki
Damit ist eine 3x3-Determinante schnell berechnet.
Allerdings wüsste ich dann nicht, wie man mit dem entstandenen Term weiter umgehen soll, evtl. Fallunterscheidung?
Vielleicht weiß XPatrickX nochmal besseren Rat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Di 26.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
In der letzten Zeile deiner Matrix fehlt + [mm] c^2-a^2
[/mm]
also steht [mm] da:c^2-a^2+(a+b)*(c-a)
[/mm]
jetzt hat das GS nur ne nicht triviale Loesung, falls
dieser Ausdruck 0 ist.
also klammer (c-a) aus. dann kann c-a=0 (falls c=a wissen wir sowieso lin abh.
dann setz den Rest 0. daraus folgt ne Bed. die du dann in die 2. Gl einsetzt.
Am ende kommt raus, wenn die Dinger nicht gleich sind, gibt es nur die triviale Loesung.
Gruss leduart
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