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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | Eine [mm] $\tau$-Struktur $\mathcal{A}$ [/mm] heißt starr, wenn sie nur den trivialen Automorphismus besitzt, d.h. wenn für alle Automorphismen [mm] $\pi [/mm] : [mm] \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ [/mm] gilt, dass [mm] $\pi(a) [/mm] = a$ für alle $a [mm] \in [/mm] A$.
Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Strukturen starr sind.
[mm] $(\IN, [/mm] <)$
[mm] $(\IQ, [/mm] +, *)$
... |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
grundsätzlich ist die Aufgabenstellung klar und für einfache Beispiele komme ich damit auch zurecht. Z.B. sehe ich ein, dass $ [mm] (\IN, [/mm] <) $ starr ist und denke das ich das auch formal korrekt aufschreiben kann. Auch ist klar, wie ich zeige, dass z.B. [mm] $(\IZ, [/mm] +)$ nicht starr ist.
Aber wie gehe ich grundsätzlich vor, wenn ich zeigen will, dass die Identitätsabbildung der einzige Automorphismus ist?
Schonmal vielen Dank für alle Hinweise.
Grüße,
Avinu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Mo 24.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Aber wie gehe ich grundsätzlich vor, wenn ich zeigen
> will, dass die Identitätsabbildung der einzige
> Automorphismus ist?
Normalerweise nimmt man sich irgendeinen Automorphismus und zeigt mit dessen Eigenschaften, dass er bereits die Identitaet ist.
Bei [mm] $(\IQ, [/mm] +, [mm] \cdot)$ [/mm] kannst du z.B. erstmal [mm] $\varphi(z) [/mm] = z$ fuer alle $z [mm] \in \IZ$ [/mm] zeigen, und dann [mm] $\varphi(1/z) [/mm] = 1/z$ fuer $z [mm] \in \IZ \setminus \{ 0 \}$, [/mm] und damit schliesslich [mm] $\varphi(q) [/mm] = q$ fuer alle $q [mm] \in \IQ$.
[/mm]
LG Felix
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