Zeilenäquivalenz < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie, dass die 2 folgenden Matrizen
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 3} [/mm] , [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 5}
[/mm]
für beliebige a,b,c [mm] \in \IR [/mm] NICHT zeilenäquivalent sind. |
huhu,
das erste Mal dass ich zeilenäquivalenz beweisen bzw widerlegen muss.^^
also folgendes muss ich zeigen, näm,lich dass jede zeile in der einen matrix in der anderen ebenfalls sein kann durch:
1. zeilen kann man beliebig tauschen
2. zeilen zu zeilen addieren
3. zeilen multiplizieren
ist soweit richtig oder?
wäre beim beweis dass es nicht äquivalent ist besser, wenn man versucht durch indirekten beweis ( man nehme an, sie wären zeilenäquivalent) einen Widerspruch herbeizuführen?
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Hallo Evelyn,
hier kannst Du ganz einfach vorgehen.
> Zeigen sie, dass die 2 folgenden Matrizen
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
a & -1 & 0 \\
b & c & 3}[/mm] , [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 \\
-2 & 0 & -1 \\
1 & 3 & 5}[/mm]
>
> für beliebige a,b,c [mm]\in \IR[/mm] NICHT zeilenäquivalent sind.
>
> das erste Mal dass ich zeilenäquivalenz beweisen bzw
> widerlegen muss.^^
> also folgendes muss ich zeigen, näm,lich dass jede zeile
> in der einen matrix in der anderen ebenfalls sein kann
> durch:
>
> 1. zeilen kann man beliebig tauschen
> 2. zeilen zu zeilen addieren
> 3. zeilen multiplizieren
>
> ist soweit richtig oder?
Ja, das stimmt soweit.
> wäre beim beweis dass es nicht äquivalent ist besser,
> wenn man versucht durch indirekten beweis ( man nehme an,
> sie wären zeilenäquivalent) einen Widerspruch
> herbeizuführen?
Genau. Hier genügt es, die Determinanten zu berechnen.
Die der linken Matrix ist [mm] -6\not=0, [/mm] der Rang der Matrix ist also 3.
Die rechte Matrix hat die Determinante 0, ihr Rang ist also <3.
Daher können die beiden Matrizen nicht zeilenäquivalent sein.
Grüße
reverend
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huhu reverend,
ich hab mir mal im Internet das mit den Determinanten angeguckt und frag mich grade, wie du auf -6 z.b. kommst oder 0 bei der anderen. Nach der endlich langen Formel wo man 3 produkte addiert und 3 produkte subtrahiert hab ich für die linke determinante 2 und für rechts 0 raus.
p.s. was genau ist der Rang einer Matrix?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> huhu reverend,
>
> ich hab mir mal im Internet das mit den Determinanten
> angeguckt und frag mich grade, wie du auf -6 z.b. kommst
> oder 0 bei der anderen. Nach der endlich langen Formel wo
> man 3 produkte addiert und 3 produkte subtrahiert hab ich
> für die linke determinante 2
Da hast Du Dich verrechnet.
> und für rechts 0 raus.
> p.s. was genau ist der Rang einer Matrix?
Das ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren
( Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren= Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren)
FRED
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meinen Rechenfehler hab ich gefunden.
aber wie bestimmt man den Rang genau? -6, ja, das ist ungleich 0, aber wie schließt man davon auf Rang 3 bzw von Determinante 0 auf einen Rang kleiner 3?
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Hallo nochmal,
> meinen Rechenfehler hab ich gefunden.
>
> aber wie bestimmt man den Rang genau? -6, ja, das ist
> ungleich 0, aber wie schließt man davon auf Rang 3 bzw von
> Determinante 0 auf einen Rang kleiner 3?
Ganz einfach. Bei [mm]n\times{n}[/mm]-Matrizen gilt: ist die Determinante [mm] \not=0, [/mm] so ist der Rang n. Ist die Determinante=0, so ist der Rang <n.
Grüße
reverend
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ahhhhh super :)
ich verstehs, danke dir ;)
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