Zeilenmultiplikation bei LR/LU < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Fr 07.11.2014 | | Autor: | rudl |
Hi!
Die LR- Zerlegung erlaubt über die Permutationsmatrix das vertauschen von Zeilen.
Die Kombination der Zeilen wird dagegen in L eingetragen.
Gibt es aber auch eine Möglichkeit eine ganze Zeile mit einem Skalar zu multiplizieren?
Damit könnte ich mir Brüche ersparen..
Die Permutationsmatrix muss IMO aus einsern bestehen, und die Diagonale von L darf IMO auch nur aus 1-en bestehen.
Geht das überhaupt?
Ich hab' auch darüber nachgedacht die ganze Matrix A mit einem Skalar zu multiplizieren und das am Ende im R wieder zu dividieren.
Warum der ganze Aufwand:
Bei Brüchen verrechne ich mich prinzipiell, und in der Prüfung gilt nur richtig oder falsch..
Und neugier iss auch dabei. ;)
Besten Dank!
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Fr 07.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo rudl,
> Die LR- Zerlegung erlaubt über die Permutationsmatrix das
> vertauschen von Zeilen.
Es ist nicht nur erlaubt, sondern wird im Standardalgorithmus
der LR-Zerlegung (partielle Pivotisierung) genutzt.
> Die Kombination der Zeilen wird dagegen in L eingetragen.
Ich glaube, du meinst das Richtige. Wir haben für [mm] b\in\IR^n
[/mm]
[mm] $A*x=b\$
[/mm]
[mm] $\overset{A:=LR}{\Rightarrow}L*R*x=b$.
[/mm]
Dann lösen wir [mm] $L*y=b\$ [/mm] durch Vorwärtseinsetzung und anschließend
[mm] $R*x=y\$ [/mm] durch Rückwärtseinsetzung. Zur Verbesserung der Stabilität
tauschen wir das betragsmäßig größte Element der aktuellen Spalte
in die Diagonalposition. Das machen wir um sehr kleine oder sehr
große und vor Allem Null-Pivots zu vermeiden. Mit anderen Worten:
Wir erhalten [mm] $P*A=L*R\$ [/mm] und zu lösen ist nun [mm] $L*R*x=P*b\$.
[/mm]
> Gibt es aber auch eine Möglichkeit eine ganze Zeile mit
> einem Skalar zu multiplizieren?
> Damit könnte ich mir Brüche ersparen..
Ich nehme an, dass deine Behauptung nicht auf partielle Pivot-
isierung basiert. Im Allgemeinen stimmt das nicht. Was ist mit
der skalaren Null?
> Die Permutationsmatrix muss IMO aus einsern bestehen,
Was ist mit Nullen?
> und die Diagonale von L darf IMO auch nur aus 1-en bestehen.
Die Diagonalelemente von [mm] $L\$ [/mm] sind dann immer Eins.
> Ich hab' auch darüber nachgedacht die ganze Matrix A mit
> einem Skalar zu multiplizieren
Wieder: Auch mit der skalaren Null?
> und das am Ende im R wieder zu dividieren.
[mm] $R\$ [/mm] ist eine obere Dreiecksmatrix. Meinst du im [mm] \IR? [/mm] Mit [mm] c\not=0 [/mm] folgt
[mm] $A*x=b\$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow c*A*x=c*b\$.
[/mm]
> Warum der ganze Aufwand: Bei Brüchen verrechne ich mich prinzipiell,
Tipp: Einfach zur Kontrolle jede Rechnung drei mal durchführen.
> und in der Prüfung gilt nur richtig oder falsch..
Man kann sich immer helfen. Hier zum Beispiel mit der Probe, d.h.
es muss dann [mm] $A=L*R\$ [/mm] gelten.
> Und neugier iss auch dabei. ;)
Essen? 
Probiere das nächste Mal deine Fragen genauer zu stellen. Dann
wirst du auch im Allgemeinen eine genauere Antwort erhalten.
Außerdem wirst du vielleicht dabei dein Problem selbst lösen.
Gruß
DieAcht
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