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Zentr. Grenzwertsatz, Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Sa 04.02.2017
Autor: ChopSuey

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Die Zufallsvariable Y beschreibe die Summe $ \sum_{k=1}^{100}X_k $ wobei $X_1,...,X_100 \sim \operatorname{EXP}(1)$ exponential verteilte Zufallsvariablen seien.

b) Approximieren Sie den Wert der Wahrscheinlichkeit $ P(\sum_{k=1}^{100}X_k > 220) $

Hallo,

bei obiger Aufgabe bräuchte ich vermutlich etwas Hilfe. Ich setze im Folgenden voraus, dass die Zufallsvariablen $X_i$ unabhängig sind. Das wäre theoretisch noch zu zeigen. Aber im Wesentlichen geht es mir um die Approximation.

Es ist $ Y = \sum X_i $. Weiter ist $ \mu = \sigma^2 = 1$ für alle $ X_i$. Sei $ Y'$ die standardisierte Zufallsvariable, also

$ Y' = \frac{Y-100}{\sqrt{100}} = \frac{Y-100}{10} $

Dann gilt ja nach dem Zentralen Grenzwertsatz, dass

$\lim_{n \to \infty} P(a \le Y' \le b) = \int_a^b \varphi(x)dx = \Phi(x) $ mit $ \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$

Nun gilt ja allgemein, dass

$ P ( X_i +...+ X_n \le x) \approx \Phi\left(\frac{x-\mu n}{\sqrt{n\sigma^2}\right)$ bzw

$ P (X_i +...+ X_n > x) \approx 1 - \Phi\left(\frac{x-\mu n}{\sqrt{n\sigma^2}\right)$

Nur erhalte ich für $ n = 100, \mu = \sigma^2 = 1 $ das Ergebnis

$ P (X_i +...+ X_{100} > x) \approx 1 - \Phi(12) $

Stimmt das denn bishier? Welches Integral wäre hier zu Lösen? Über die Tabelle der Werte für $ \Phi$ kann ich es ja nicht machen.

Freue mich, wenn mir jemand helfen könnte.

LG,
ChopSuey

        
Bezug
Zentr. Grenzwertsatz, Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Sa 04.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die Zufallsvariable Y beschreibe die Summe
> [mm]\sum_{k=1}^{100}X_k[/mm] wobei [mm]X_1,...,X_100 \sim \operatorname{EXP}(1)[/mm] exponential verteilte Zufallsvariablen seien.

Bei mehr als einer Zahl als Index diese bitte in geschweifte Klammern setzen. Also X_{100} liefert dir [mm] $X_{100}$ [/mm] während X_100 dir $X_100$ liefert


> Es ist [mm]Y = \sum X_i [/mm]. Weiter ist [mm]\mu = \sigma^2 = 1[/mm]

Notationstechnisch aufpassen! Ein Summenzeichen ohne Indizes ist immer doof und unsauber.

> Sei [mm]Y'[/mm] die standardisierte Zufallsvariable, also
>  
> [mm]Y' = \frac{Y-100}{\sqrt{100}} = \frac{Y-100}{10}[/mm]
>  
> Dann gilt ja nach dem Zentralen Grenzwertsatz, dass
>  
> [mm]\lim_{n \to \infty} P(a \le Y' \le b) = \int_a^b \varphi(x)dx = \Phi(x)[/mm] mit [mm]\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}[/mm]

Du meinst das richtige, aber deine Notation ist wieder falsch.
Natürlich gilt [mm]\lim_{n \to \infty} P(a \le Y' \le b) = P(a \le Y' \le b)[/mm] weil dein $Y'$ ja gar nicht von $n$ abhängt in deiner Notation, weil du es ja bereits für $n=100$ betrachtest!
Sauber wäre also: $P(a [mm] \le [/mm] Y' [mm] \le [/mm] b) [mm] \approx \int_a^b \varphi(x)dx$ [/mm]
Die nächste Gleichung ist auch unsauber, du schreibst nämlich: $ [mm] \int_a^b \varphi(x)dx [/mm] = [mm] \Phi(x)$ [/mm]
Auch hier: Die linke Seite hängt gar nicht von x ab, die rechte aber schon, da kann also was nicht stimmen.
Was du meinst:  $ [mm] \int_a^b \varphi(x)dx [/mm] = [mm] \Phi(b) [/mm] - [mm] \Phi(a)$ [/mm]

> Nun gilt ja allgemein, dass
>  
> [mm]P ( X_i +...+ X_n \le x) \approx \Phi\left(\frac{x-\mu n}{\sqrt{n\sigma^2}\right)[/mm]
> bzw
>  
> [mm]P (X_i +...+ X_n > x) \approx 1 - \Phi\left(\frac{x-\mu n}{\sqrt{n\sigma^2}\right)[/mm]

Das stimmt wieder, mach dir klar, warum.
  

> Nur erhalte ich für [mm]n = 100, \mu = \sigma^2 = 1[/mm] das
> Ergebnis
>  
> [mm]P (X_i +...+ X_{100} > x) \approx 1 - \Phi(12)[/mm]
>  
> Stimmt das denn bishier?

[ok]

> Welches Integral wäre hier zu Lösen?

Gar kein Integral.

> Über die Tabelle der Werte für [mm]\Phi[/mm] kann ich es ja nicht machen.

Warum nicht?
Denk mal scharf nach :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Zentr. Grenzwertsatz, Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Sa 04.02.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Gono!

vielen Dank für deine Hilfe.

> Hiho,
>  
> > Die Zufallsvariable Y beschreibe die Summe
> > [mm]\sum_{k=1}^{100}X_k[/mm] wobei [mm]X_1,...,X_100 \sim \operatorname{EXP}(1)[/mm]
> exponential verteilte Zufallsvariablen seien.
>  Bei mehr als einer Zahl als Index diese bitte in
> geschweifte Klammern setzen. Also [mm][code]X_{100}[/code][/mm]
> liefert dir [mm]X_{100}[/mm] während X_100 dir [mm]X_100[/mm]
> liefert

Ups! Das weiß ich, aber scheint mir irgendwie durchgerutscht zu sein. Hab das auch in der Vorschau nicht bemerkt.

>  
>
> > Es ist [mm]Y = \sum X_i [/mm]. Weiter ist [mm]\mu = \sigma^2 = 1[/mm]
>  
> Notationstechnisch aufpassen! Ein Summenzeichen ohne
> Indizes ist immer doof und unsauber.

Ich schreib' das immer nur so, wenn aus dem Kontext sofort klar ist, was gemeint ist. Aber natürlich hast du Recht.

>  
> > Sei [mm]Y'[/mm] die standardisierte Zufallsvariable, also
>  >  
> > [mm]Y' = \frac{Y-100}{\sqrt{100}} = \frac{Y-100}{10}[/mm]
>  >  
> > Dann gilt ja nach dem Zentralen Grenzwertsatz, dass
>  >  
> > [mm]\lim_{n \to \infty} P(a \le Y' \le b) = \int_a^b \varphi(x)dx = \Phi(x)[/mm]
> mit [mm]\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}[/mm]
>  
> Du meinst das richtige, aber deine Notation ist wieder
> falsch.
>  Natürlich gilt [mm]\lim_{n \to \infty} P(a \le Y' \le b) = P(a \le Y' \le b)[/mm]
> weil dein [mm]Y'[/mm] ja gar nicht von [mm]n[/mm] abhängt in deiner
> Notation, weil du es ja bereits für [mm]n=100[/mm] betrachtest!
>  Sauber wäre also: [mm]P(a \le Y' \le b) \approx \int_a^b \varphi(x)dx[/mm]

Stimmt! Ich hab' beim Einsetzen der Werte für $ n $ nicht aufgepasst, dass der Grenzwertprozess ja nicht mehr stattfindet.

>  
> Die nächste Gleichung ist auch unsauber, du schreibst
> nämlich: [mm]\int_a^b \varphi(x)dx = \Phi(x)[/mm]
>  Auch hier: Die
> linke Seite hängt gar nicht von x ab, die rechte aber
> schon, da kann also was nicht stimmen.
>  Was du meinst:  [mm]\int_a^b \varphi(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a)[/mm]

Stimmt! Vielen Dank, da hab ich ebenfalls nicht aufgepasst.

>  
> > Nun gilt ja allgemein, dass
>  >  
> > [mm]P ( X_i +...+ X_n \le x) \approx \Phi\left(\frac{x-\mu n}{\sqrt{n\sigma^2}\right)[/mm]
> > bzw
>  >  
> > [mm]P (X_i +...+ X_n > x) \approx 1 - \Phi\left(\frac{x-\mu n}{\sqrt{n\sigma^2}\right)[/mm]
>  
> Das stimmt wieder, mach dir klar, warum.

Ich habe hier folgendes genutzt: Allgemein gilt ja für eine Verteilungsfunktion, dass $ P(X > a) = 1 - F(a) $. Ist $ Y = [mm] \sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm] und $ Y'= [mm] \frac{Y-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ [/mm] die standardisierte Zufallsvariable, ergibt sich

$ P( a < Y') = P( a <  [mm] \frac{Y-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}) [/mm] = [mm] P(a\sqrt{n}\sigma+n\mu
Für $ [mm] x:=a\sqrt{n}\sigma+n\mu \gdw \frac{x-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}=a [/mm]  $ ergibt sich somit

$ P(x<Y) [mm] \approx [/mm] 1 - [mm] \Phi\left(\frac{x-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right) [/mm] $

würde das so stimmen? Ich musste ein wenig hin- und herschieben und war nicht sicher, ob die Sibstutition am Ende so gedacht ist.

>    
> > Nur erhalte ich für [mm]n = 100, \mu = \sigma^2 = 1[/mm] das
> > Ergebnis
>  >  
> > [mm]P (X_i +...+ X_{100} > x) \approx 1 - \Phi(12)[/mm]
>  >  
> > Stimmt das denn bishier?
>  [ok]
>  
> > Welches Integral wäre hier zu Lösen?
> Gar kein Integral.

Also über die Tabelle?

>  
> > Über die Tabelle der Werte für [mm]\Phi[/mm] kann ich es ja nicht
> machen.
>  Warum nicht?
>  Denk mal scharf nach :-)

Nun $ [mm] \Phi(12) [/mm] $ ist halt merkwürdig - ich meine bei $ [mm] \Phi(4)$ [/mm] ist man ja bereits "sehr nah" an der 1.
Heißt das, dass meine Approximation den Wert

[mm]P (X_i +...+ X_{100} > x) = P(X_i +...+ X_{100}> 220) \approx 1 - \Phi(12) \approx 0[/mm]

hat?

>  
> Gruß,
>  Gono

Vielen Dank für deine kompetente Hilfe, Gono!
Ich weiß das sehr zu schätzen.

LG,
ChopSuey

Bezug
                        
Bezug
Zentr. Grenzwertsatz, Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Sa 04.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich habe hier folgendes genutzt:

ich wollte das gar nicht so genau wissen, nur dass du es dir noch mal klar machst :-)

> Also über die Tabelle?

Ja.

> Nun [mm]\Phi(12)[/mm] ist halt merkwürdig - ich meine bei [mm]\Phi(4)[/mm] ist man ja bereits "sehr nah" an der 1.
> Heißt das, dass meine Approximation den Wert
>
> [mm]P (X_i +...+ X_{100} > x) = P(X_i +...+ X_{100}> 220) \approx 1 - \Phi(12) \approx 0[/mm]
>  
> hat?

Korrekt.
Für $x>4.09$ ist [mm] $\Phi(x) \approx [/mm] 1$ und damit $1 - [mm] \Phi(x) \approx [/mm] 0$.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Zentr. Grenzwertsatz, Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:41 So 05.02.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Gono,

danke für deine Hilfe! Du hast mir sehr geholfen.

LG,
ChopSuey

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