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| Aufgabe | Sei $R$ ein Ring und $X [mm] \subseteq [/mm] R$ eine Teilmenge von $R$.
a.) Zeigen Sie, dass der Zentralisator [mm] $C_R(X) [/mm] := [mm] \{r \in R \, | \, \forall x \in X : rx = xr\}$ [/mm] ein Teilring von $R$ ist.
b.) Betrachten Sie den Matrizenring $R = [mm] \IR^{4 \times 4}$ [/mm] und die Matrizen $A = [mm] \pmat{ 0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0 }$, [/mm] $B = [mm] \pmat{ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0 }$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass der Ring [mm] $C_R(\{A,B\}) \subseteq \IR^{4 \times 4}$ [/mm] isomorph zum Schiefkörper [mm] $\mathbb{H}$ [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
habe einige Fragen zu meiner Lösung und bei der zweiten Teilaufgabe zur Notation der Aufgabenstellung.
a.)
[mm] $C_R(X) \not= \emptyset$, [/mm] denn sei $r = [mm] 1_R$, [/mm] so folgt [mm]rx = 1_R \cdot x = x = x \cdot 1_R = xr[/mm], also [mm] 1_R \in C_R(X)$
[/mm]
Seien nun [mm] $r_1, r_2 \in C_R(X)$, [/mm] so folgt: [mm] $r_1 [/mm] + [mm] r_2 \in C_R(X)$, [/mm] denn man könnte den Ansatz so formulieren $r_1x + r_2x = [mm] (r_1 [/mm] + [mm] r_2)x$ [/mm] und [mm] $xr_1 [/mm] + [mm] xr_2 [/mm] = [mm] x(r_1+r_2)$, [/mm] was die benötigten Eigenschaften aufgrund geltender Distributivgesetze belegt.
Des Weiteren folgt [mm] $r_1 \cdot r_2 \in C_R(X)$ [/mm] aus der Assoziativität der Multiplikation, denn bspw. [mm] (xr_1)r_2 [/mm] = [mm] x(r_1r_2) [/mm] und analog [mm] r_1(r_2x) [/mm] = [mm] (r_1r_2)x [/mm] folgen daraus.
Bei der Multiplikation bin ich mir bei der Argumentation nicht 100%ig sicher, also bitte ich euch drüber zu schauen.
b.) Mein Problem ist nur die Notation [mm] $C_R(\{A,B\})$, [/mm] heißt das [mm] $C_R(\{A,B\}) [/mm] = [mm] \{r \in \IR^{4 \times 4} \, | \, rA = Ar \land rB = Br\}$ [/mm] ? Das ich also kommutierende Elemente für beide Matrizen suche, das wären im Grunde ja nur Vielfache der Einheitsmatrix, aber ich glaube, dass ich das falsch verstehe.
Dürfte man bei der Isomorphie argumentieren, dass dieser Zentralisator in meiner Interpretation über [mm] $\IR$ [/mm] eine Dimension von 4 hätte und daher nach dem Struktursatz für Vektorräume isomorph zu dem über [mm] $\IR$ [/mm] ebenfalls vierdimensionalen Vektorraum der Quaternionen wäre?
Danke im Voraus für eure Antworten.
Grüße
Joe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]R[/mm] ein Ring und [mm]X \subseteq R[/mm] eine Teilmenge von [mm]R[/mm].
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> a.) Zeigen Sie, dass der Zentralisator [mm]C_R(X) := \{r \in R \, | \, \forall x \in X : rx = xr\}[/mm]
> ein Teilring von [mm]R[/mm] ist.
>
> b.) Betrachten Sie den Matrizenring [mm]R = \IR^{4 \times 4}[/mm]
> und die Matrizen [mm]A = \pmat{ 0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0 }[/mm],
> [mm]B = \pmat{ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0 }[/mm].
> Zeigen
> Sie, dass der Ring [mm]C_R(\{A,B\}) \subseteq \IR^{4 \times 4}[/mm]
> isomorph zum Schiefkörper [mm]\mathbb{H}[/mm] ist.
> Hallo zusammen,
>
> habe einige Fragen zu meiner Lösung und bei der zweiten
> Teilaufgabe zur Notation der Aufgabenstellung.
>
> a.)
> [mm]C_R(X) \not= \emptyset[/mm], denn sei [mm]r = 1_R[/mm], so folgt [mm]rx = 1_R \cdot x = x = x \cdot 1_R = xr[/mm],
> also [mm]1_R \in C_R(X)$[/mm]
>
> Seien nun [mm]r_1, r_2 \in C_R(X)[/mm], so folgt: [mm]r_1 + r_2 \in C_R(X)[/mm],
> denn man könnte den Ansatz so formulieren [mm]r_1x + r_2x = (r_1 + r_2)x[/mm]
> und [mm]xr_1 + xr_2 = x(r_1+r_2)[/mm], was die benötigten
> Eigenschaften aufgrund geltender Distributivgesetze
> belegt.
Schreibs doch einfach hin !
[mm] (r_1+r_2)x=r_1x+r_2x=xr_1+xr_2=x(r_1+r_2)
[/mm]
> Des Weiteren folgt [mm]r_1 \cdot r_2 \in C_R(X)[/mm] aus der
> Assoziativität der Multiplikation, denn bspw. [mm](xr_1)r_2[/mm] =
> [mm]x(r_1r_2)[/mm] und analog [mm]r_1(r_2x)[/mm] = [mm](r_1r_2)x[/mm] folgen daraus.
Auch hier:
[mm] x(r_1r_2)=(xr_1)r_2=(r_1x)r_2=r_1(xr_2)=r_1(r_2x)=(r_1r_2)x
[/mm]
>
> Bei der Multiplikation bin ich mir bei der Argumentation
> nicht 100%ig sicher, also bitte ich euch drüber zu
> schauen.
>
> b.) Mein Problem ist nur die Notation [mm]C_R(\{A,B\})[/mm], heißt
> das [mm]C_R(\{A,B\}) = \{r \in \IR^{4 \times 4} \, | \, rA = Ar \land rB = Br\}[/mm]
> ? Das ich also kommutierende Elemente für beide Matrizen
> suche,
Ja
> das wären im Grunde ja nur Vielfache der
> Einheitsmatrix,
Nein das stimmt nicht !
FRED
>aber ich glaube, dass ich das falsch
> verstehe.
>
> Dürfte man bei der Isomorphie argumentieren, dass dieser
> Zentralisator in meiner Interpretation über [mm]\IR[/mm] eine
> Dimension von 4 hätte und daher nach dem Struktursatz für
> Vektorräume isomorph zu dem über [mm]\IR[/mm] ebenfalls
> vierdimensionalen Vektorraum der Quaternionen wäre?
>
> Danke im Voraus für eure Antworten.
>
> Grüße
> Joe
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Hallo Fred,
> Schreibs doch einfach hin !
>
> [mm](r_1+r_2)x=r_1x+r_2x=xr_1+xr_2=x(r_1+r_2)[/mm]
>
>
> > Des Weiteren folgt [mm]r_1 \cdot r_2 \in C_R(X)[/mm] aus der
> > Assoziativität der Multiplikation, denn bspw. [mm](xr_1)r_2[/mm] =
> > [mm]x(r_1r_2)[/mm] und analog [mm]r_1(r_2x)[/mm] = [mm](r_1r_2)x[/mm] folgen daraus.
>
> Auch hier:
>
> [mm]x(r_1r_2)=(xr_1)r_2=(r_1x)r_2=r_1(xr_2)=r_1(r_2x)=(r_1r_2)x[/mm]
>
Sry, war gestern schon ein wenig erschöpft und habe deswegen alles schnell formuliert, danke für die detaillierte Rechnung.
b.)
Stimmt das mit den Vielfachen der Einheitsmatrix war Blödsinn, hier meine neue Antwort:
[mm] $\left<\pmat{ 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 }, \pmat{0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0}, \pmat{0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0}, \pmat{0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0}\right>$. [/mm] Also sprich das Erzeugnis dieser Matrizen kommutiert mit $A$ und $B$, jedenfalls nach meiner Rechnung, die ich jedoch aufgrund ihrer Länge jetzt nicht in LaTeX konvertiere. Jedenfalls habe ich eine allgemeine $4 [mm] \times [/mm] 4$ Matrix genommen und dann jeweils nachgeschaut wann die Produkte kommutieren und daraus eine Matrix geschaffen und dann mit dieser Matrix bei $B$ weitergearbeitet, bis ich die Abhängigkeit auf $4$ Variablen reduziert habe.
Nun sieht man, dass diese Matrizen trvialerweise linear unabhängig sind und daher eine Basis bilden. Also gilt [mm] \dim_\IR(C_R(\{A,B\})) [/mm] = 4 = [mm] \dim_\IR(\mathbb{H})$. [/mm] Somit ist nach dem Struktursatz für Vektorräume [mm] $C_R(\{A,B\}) \cong \mathbb{H}$
[/mm]
Ist dieser Ansatz korrekt oder fehlt etwas?
Grüße
Joe
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moin,
du hast hier eine Isomorphie von Vektorräumen gezeigt und begründet. Das ist an sich sehr schön, allerdings lese ich die Aufgabe so, dass die beiden als Ringe isomorph sein sollen. Du musst also einen Ringisomorphismus angeben, das Dimensionsargument reicht noch nicht.
Deine Arbeit war aber nicht ganz umsonst bis hierher: Gib eine Basis von [mm] $\mathbb{H}$ [/mm] als [mm] $\IR-$Vektorraum [/mm] an und suche dir einen Isomorphismus (Basis auf Basis). Nun musst du einen finden, der auch die Multiplikation erhält.
Dafür bedenke nochmal, welche Beziehung zwischen den Basiselementen von [mm] $\mathbb{H}$ [/mm] (meist als $1,i,j,k$ bezeichnet) herrschen und gucke welche der 4 Matrizen du auf $i$, welche auf $j$, etc. abbilden solltest.
Zur a) noch kurz:
Wieso bist du schon fertig damit zu zeigen, dass das ein Ring ist?
Du hast gezeigt, dass die Menge nicht leer ist und dass sie unter Summen und Multiplikation abgeschlossen ist. Das klingt aber eher nach den Bedingungen für einen Unterraum/Untermodul.
Für einen Unterring musst du noch zeigen, dass die $0$ enthalten ist (und die 1, aber das hast du ja) und dass die Menge unter (additiver) Inversenbildung abgeschlossen ist.
Auch ist das $X$ eine Menge, also sollte irgendwo in deinem Beweis zumindest ein "Sei $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig" stehen, da du ja nur das eine Element $x$ betrachtest.
lg
Schadow
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> moin,
>
Hallo schadowmaster,
>
> du hast hier eine Isomorphie von Vektorräumen gezeigt und
> begründet. Das ist an sich sehr schön, allerdings lese
> ich die Aufgabe so, dass die beiden als Ringe isomorph sein
> sollen. Du musst also einen Ringisomorphismus angeben, das
> Dimensionsargument reicht noch nicht.
Stimmt du hast recht, ich habe bis jetzt nur einen Isomorphismus "gefunden", welcher additiv und homogen ist. Da ich aber keine Multiplikation der "Vektoren" definiert habe und diese mir bis dato nicht bekannt ist, muss ich natürlich auch da noch was zeigen.
> Deine Arbeit war aber nicht ganz umsonst bis hierher: Gib
> eine Basis von [mm]\mathbb{H}[/mm] als [mm]\IR-[/mm]Vektorraum an und suche
> dir einen Isomorphismus (Basis auf Basis). Nun musst du
> einen finden, der auch die Multiplikation erhält.
> Dafür bedenke nochmal, welche Beziehung zwischen den
> Basiselementen von [mm]\mathbb{H}[/mm] (meist als [mm]1,i,j,k[/mm]
> bezeichnet) herrschen und gucke welche der 4 Matrizen du
> auf [mm]i[/mm], welche auf [mm]j[/mm], etc. abbilden solltest.
>
Ich habe jetzt die antizyklischen Multiplikationsregeln (ijk = -1, ij = k, ji = -k) ausgenutzt und folgende Abbildung [mm] $\varphi: \IR^{4 \times 4} \rightarrow \IR$ [/mm] (im Grunde von Basis $B$ zu $B'$) definiert:
[mm] $\varphi\left(\pmat{ 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 }\right) [/mm] = 1$, [mm] $\varphi\left( \pmat{0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0}\right) [/mm] = i$, [mm] $\varphi\left( \pmat{0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0}\right) [/mm] = j$, [mm] $\varphi\left( \pmat{0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0}\right) [/mm] = k$
Aufgrund dieser Abbildung vererben sich die multiplikativen Eigenschaften der [mm] $\IR$-Basiselemente [/mm] auf die Matrizen und man daher insgesamt von einem Ringisomorphismus sprechen kann.
>
> Zur a) noch kurz:
> Wieso bist du schon fertig damit zu zeigen, dass das ein
> Ring ist?
> Du hast gezeigt, dass die Menge nicht leer ist und dass
> sie unter Summen und Multiplikation abgeschlossen ist. Das
> klingt aber eher nach den Bedingungen für einen
> Unterraum/Untermodul.
> Für einen Unterring musst du noch zeigen, dass die [mm]0[/mm]
> enthalten ist (und die 1, aber das hast du ja) und dass die
> Menge unter (additiver) Inversenbildung abgeschlossen ist.
>
> Auch ist das [mm]X[/mm] eine Menge, also sollte irgendwo in deinem
> Beweis zumindest ein "Sei [mm]x \in X[/mm] beliebig" stehen, da du
> ja nur das eine Element [mm]x[/mm] betrachtest.
>
Da hast du natürlich auch recht, habe mein Skript verlegt und mich versucht an die Axiome zu erinnern und mich dann nur an die Unterraumaxiome erinnert, ansonsten muss ein Unterring nach unserer Definition eine additive Untergruppe und abgeschlossen bzgl. der Multiplikation sein. Des Weiteren muss er das Nullelement beinhalten, muss aber kein Ring mit Eins sein.
Jetzt sollte es im Großen und Ganzen stimmen :)
Grüße
Joe
>
> lg
>
> Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 24.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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