Zentralprojektion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mi 07.09.2005 | | Autor: | joker |
Hallo Leute,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich versuche eine Zentralprojektion eines Vektors auf eine Ebene auszurechnen. Folgende Angaben habe ich:
Der Vektor der projeziertwerden soll:
[mm]
\vec v = \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Die aufgespannte Ebene (nennen wir sie im späteren E):
[mm]
\vec a = \vektor{-3 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
[mm]
\vec b = \vektor{1 \\ -1 \\ -4}
[/mm]
Und für die Zentralprojektion notwendige Projektionszentrum:
[mm]
\vec c = \vektor{-1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Ich habe jetzt also folgendes gemacht:
Ich habe eine Gerade (G) aufgestellt mit [mm]G:= \vec c = x(\vec v - \vec c)[/mm]
Diese Gerade dann mit der Ebene E gleichgesetzt [mm] G = E [/mm]
Dabei kommt dann folgendes raus:
[mm]
\alpha \vektor{-3 \\ 2 \\ -1} + \beta \vektor{1 \\ -2 \\ -4} = \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} * x \vektor{2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Habe keine Ahnung ob dies richtig ist, oder ob ich einfach nur Rechenfehler mache...
Ist mein Ansatz überhaupt richtig? Gibt andere Wege?
Sorry für die Kurzfristigkeit, aber da ich morgen Klausur schreibe und diese Aufgabe durch mein Lernraster gefallen ist, naja...
Habe leider keine Lösung der Aufgabe zur Hand.
Grüße, Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mi 07.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Christian,
ich versuch's mal auf die Schnelle.
> Hallo Leute,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich versuche eine Zentralprojektion eines Vektors auf eine
> Ebene auszurechnen. Folgende Angaben habe ich:
>
> Der Vektor der projeziertwerden soll:
> [mm]
\vec v = \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Projiziert werden soll (in meiner Sprache) der Endpunkt.
>
> Die aufgespannte Ebene (nennen wir sie im späteren E):
> [mm]
\vec a = \vektor{-3 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
>
> [mm]
\vec b = \vektor{1 \\ -1 \\ -4}
[/mm]
>
Die geht also durch den Ursprung!
> Und für die Zentralprojektion notwendige
> Projektionszentrum:
>
> [mm]
\vec c = \vektor{-1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
In meiner Sprache ist das Proj.-Zentrum ein Punkt, also (-1|2|1).
>
> Ich habe jetzt also folgendes gemacht:
>
> Ich habe eine Gerade (G) aufgestellt mit [mm]G:= \vec c = x(\vec v - \vec c)[/mm]
Es muß wohl heißen: [mm]G:= \vec c + x(\vec v - \vec c)[/mm], weil das die Gerade durch die Endpunkte von v und c ist.
>
> Diese Gerade dann mit der Ebene E gleichgesetzt [mm]G = E[/mm]
>
> Dabei kommt dann folgendes raus:
>
> [mm]
\alpha \vektor{-3 \\ 2 \\ -1} + \beta \vektor{1 \\ -2 \\ -4} = \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} * x \vektor{2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Aber die Ebene wird doch von den Vektoren a und b aufgespannt, wo kommen diese Vektoren her? Und auf der rechten Seite muß es wieder + heißen!
>
> Habe keine Ahnung ob dies richtig ist, oder ob ich einfach
> nur Rechenfehler mache...
>
> Ist mein Ansatz überhaupt richtig? Gibt andere Wege?
Der Ansatz ist wohl richtig, du kriegst dann ja 3 Gln. mit 3 Unbekannten. Versuch's mal!
>
> Sorry für die Kurzfristigkeit, aber da ich morgen Klausur
> schreibe und diese Aufgabe durch mein Lernraster gefallen
> ist, naja...
>
> Habe leider keine Lösung der Aufgabe zur Hand.
>
> Grüße, Christian
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mi 07.09.2005 | | Autor: | joker |
Hallo
Danke für die schnelle Antwort. Nur leider bekomme ich es trotz langen Versuchens nicht hin.
Ich habe gerade gesehen, dass ein Vektor bei meiner Ebenen-Angabe falsch ist. Richtig sind die hier erwähnten (Sorry 
Meine Gleichung lautet jetzt:
[mm]
Ebene := \alpha \vektor{-3 \\ 2 \\ -1} + \beta \vektor {1 \\ -1 \\ -4 }
[/mm]
[mm]
Gerade := \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} +x \vektor {2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Wenn ich Gerade und Ebene gleichsetzte kommt folgendes Schema für z.B. einen Gauss heraus:
[mm]
\pmat{ -3 & 1 & -2 | -1 \\ 2 & -1 & 0 | 2 \\ -1 & -4 & -2 | 1 }
[/mm]
Wenn ich dies dann ausrechne bekomme ich interessante Bruchzahlen heraus von denen ich nicht vermute, dass sie richtig sind:
[mm]
x= \bruch{33}{28},
\beta = \bruch{-19}{7}
[/mm]
Alpha habe ich dann gar nicht erst ausgerechnet...
Mache ich irgendwas falsch, oder habe ich nur 'interessante' Zahlen?
Grüße, Christian
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Hallo joker,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe gerade gesehen, dass ein Vektor bei meiner
> Ebenen-Angabe falsch ist. Richtig sind die hier erwähnten
> (Sorry
>
> Meine Gleichung lautet jetzt:
>
> [mm]
Ebene := \alpha \vektor{-3 \\ 2 \\ -1} + \beta \vektor {1 \\ -1 \\ -4 }
[/mm]
>
> [mm]
Gerade := \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} +x \vektor {2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
>
> Wenn ich Gerade und Ebene gleichsetzte kommt folgendes
> Schema für z.B. einen Gauss heraus:
>
> [mm]
\pmat{ -3 & 1 & -2 | -1 \\ 2 & -1 & 0 | 2 \\ -1 & -4 & -2 | 1 }
[/mm]
>
> Wenn ich dies dann ausrechne bekomme ich interessante
> Bruchzahlen heraus von denen ich nicht vermute, dass sie
> richtig sind:
>
> [mm]
x= \bruch{33}{28},
\beta = \bruch{-19}{7}
[/mm]
>
> Alpha habe ich dann gar nicht erst ausgerechnet...
>
> Mache ich irgendwas falsch, oder habe ich nur
> 'interessante' Zahlen?
das Ergebnis stimmt, wie Du vermutet hast, nicht.
Rechne das doch bitte nochmal nach.
Gruß
MathePower
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