Zentrische Streckung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 So 10.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | | Definieren sie den Begriff "zentrische Streckung" und beweisen sie, dass zentrische Streckungen bijektiv sind. |
Hallo,
Ich lerne auf meine Klausur und würde mich freuen, wenn jemand überprüfen kann, ob das soweit ok ist.
Ist es richtig wenn ich behaupte:
Eine zentrische Streckung ist/hat:
- hat einen einzigen Fixpunkt Z (wenn k [mm] \not=1)
[/mm]
- hat unendlich viele Fixgeraden, jede Gerade durch Z ist Fixgerade
- winkeltreu, f. bel. Punkte A, B, C gilt: Winkel ABC = Winkel ABC
- längenproportionale Abbildung --> Jeder Pfeil wird in einen Pfeil mit gleicher Richtung abgebildet dabei im Fall k>0 gleiche Orientierung und im Fall k<0 entgegengesetzte Orientierung. --> Und jeder Pfeil wird in einen Pfeil k-facher Länge abgebildet.
- längenverhältnistreu.
- parallelentreu, f. bel. Geraden g, h gilt: g [mm] \parallel [/mm] h --> g [mm] \parallel [/mm] h
- teilverhältnistreu.
- eine gleichsinnige Abbildung
Wie beweise ich aber, dass zentrische Streckungen bijektiv sind?
Ich weiß, dass zu zeigen ist f ist bijektiv, also jedem Bild wird genau ein Urbild zugeordnet. Aber wie genau müsste das aussehen? Vielleicht kann mir jemand helfen.
Vielen Dank im Voraus,
Fanomos
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> Definieren sie den Begriff "zentrische Streckung" und
> beweisen sie, dass zentrische Streckungen bijektiv sind.
> Hallo,
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> Ich lerne auf meine Klausur und würde mich freuen, wenn
> jemand überprüfen kann, ob das soweit ok ist.
>
> Ist es richtig wenn ich behaupte:
>
> Eine zentrische Streckung ist/hat:
> - hat einen einzigen Fixpunkt Z (wenn k [mm]\not=1)[/mm]
> - hat unendlich viele Fixgeraden, jede Gerade durch Z ist
> Fixgerade
> - winkeltreu, f. bel. Punkte A, B, C gilt: Winkel ABC =
> Winkel ABC
> - längenproportionale Abbildung --> Jeder Pfeil wird in
> einen Pfeil mit gleicher Richtung abgebildet dabei im Fall
> k>0 gleiche Orientierung und im Fall k<0 entgegengesetzte
> Orientierung. --> Und jeder Pfeil wird in einen Pfeil
> k-facher Länge abgebildet.
> - längenverhältnistreu.
> - parallelentreu, f. bel. Geraden g, h gilt: g [mm]\parallel[/mm] h
> --> g [mm]\parallel[/mm] h
> - teilverhältnistreu.
> - eine gleichsinnige Abbildung
Ja, ich denke dies ist alles richtig.
>
> Wie beweise ich aber, dass zentrische Streckungen bijektiv
> sind?
> Ich weiß, dass zu zeigen ist f ist bijektiv, also jedem
> Bild wird genau ein Urbild zugeordnet. Aber wie genau
> müsste das aussehen? Vielleicht kann mir jemand helfen.
Du hast ganz vergessen, die erste Teilaufgabe zu lösen: "Definieren Sie den Begriff zentrische Streckung". Erst wenn Du diese Teilaufgabe gelöst hast, kannst Du Bijektivität einer so definierten Abbildung zeigen. Zum Beispiel könnte man für die Abbildung von $P$ auf $P'$ unter einer zentrischen Streckung die Beziehung [mm] $\vec{OP'}=\vec{OZ}+\lambda \vec{ZP}$ [/mm] verwenden. Deren Inverse ist dann die zentrische Streckung mit demselben Zentrum und Streckfaktor [mm] $1/\lambda$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Erst einmal vielen Dank für Deine Antwort.
Meinst du das hier:
Eine zentrische Streckung ist eine Abbildung mit einem Streckzentrum Z und Streckfaktor k, wenn es einen Punkt Z und eine Zahl [mm] k\in [/mm] R \ {0} gibt, so dass gilt:
[mm] \overrightarrow{ZP'} [/mm] = k* [mm] \overrightarrow{ZP}.
[/mm]
Klar ist auch dass somit Z, P, P' auf einer Geraden liegen also kollinear sind.
Wie muss ich aber weitermachen um zu beweisen, dass zentrische Streckungen bijektiv sind?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Mo 11.08.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Wie muss ich aber weitermachen um zu beweisen, dass
> zentrische Streckungen bijektiv sind?
Es ist schon gesagt: Du gibst einfach die Umkehrabbildung explizit an.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 12.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
hallo und vielen dank erstmal.
also wenn ich beweisen will, dass eine zentrische Streckung eine bijektive Abbildung ist dann gebe ich also an:
Eine zentrische Streckung ist eine Abbildung mit einem Streckzentrum Z und Streckfaktor k, wenn es einen Punkt Z und eine Zahl [mm] k\in [/mm] R \ {0} gibt, so dass für jeden Punkt P und sein Bildpunkt P' gilt:
[mm]\overrightarrow{ZP'} = k \* \overrightarrow{ZP}[/mm]
Jetzt fehlt also noch die Umkehrabbildung die explizit anzugeben ist.
Ich versuchs mal. Ich meine es heißt ja ZS(Z, k). Die Umkehrabbildung dazu ist doch ZS(Z, 1/k).
Ist das jetzt das was ich brauche um zu beweisen, dass eine zentrische Streckung injektiv und surjektiv somit bijektiv ist?
Oder ist es:
[mm]\overrightarrow{ZP} = \bruch {1}{k} \* \overrightarrow{ZP'}[/mm]?
Vielen Dank für Eure Mühe.
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> hallo und vielen dank erstmal.
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> also wenn ich beweisen will, dass eine zentrische Streckung
> eine bijektive Abbildung ist dann gebe ich also an:
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> Eine zentrische Streckung ist eine Abbildung mit einem
> Streckzentrum Z und Streckfaktor k, wenn es einen Punkt Z
> und eine Zahl [mm]k\in[/mm] R \ {0} gibt, so dass für jeden Punkt P
> und sein Bildpunkt P' gilt:
>
> [mm]\overrightarrow{ZP'} = k \* \overrightarrow{ZP}[/mm]
>
> Jetzt fehlt also noch die Umkehrabbildung die explizit
> anzugeben ist.
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> Ich versuchs mal. Ich meine es heißt ja ZS(Z, k). Die
> Umkehrabbildung dazu ist doch ZS(Z, 1/k).
>
> Ist das jetzt das was ich brauche um zu beweisen, dass eine
> zentrische Streckung injektiv und surjektiv somit bijektiv
> ist?
Eine Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn sie sowohl eine linksseitige als auch eine rechtsseitige Inverse hat. Ich denke also dass es genügt zu zeigen, dass [mm] $\mathrm{ZS}(Z,1/k)\circ \mathrm{ZS}(Z,k)$ [/mm] die identische Abbildung ist.
Linksseitige Inverse: für jedes $P$ gilt [mm] $\mathrm{ZS}(Z,1/k)\circ \mathrm{ZS}(Z,k)(P)=P$. [/mm] Beweis: Ist [mm] $P'=\mathrm{ZS}(Z,k)(P)$ [/mm] und [mm] $P''=\mathrm{ZS}(Z,1/k)(P')$, [/mm] dann ist also [mm] $\vec{ZP''}=\frac{1}{k}\cdot \vec{ZP'}=\frac{1}{k}\cdot k\cdot \vec{ZP}=\vec{ZP}$, [/mm] also [mm] $\vec{ZP''}=\vec{ZP}$ [/mm] und daher $P''=P$, was zu zeigen war.
Wenn man pedantisch sein will, beweist man auch noch die Existenz der rechtseitigen Inversen, dass also für alle $P$ gilt: [mm] $\mathrm{ZS}(Z,k)\circ \mathrm{ZS}(Z,1/k)(P)=P$. [/mm] Aber dies folgt eigentlich schon durch Substitution [mm] $k\leftarrow 1/k$ aus dem Beweis der existenz der linksseitigen Inversen.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo Somebody,
ich danke dir für deine Erklärungen. Ich konnte das soweit nachvollziehen was Du sagst. Den Beweis zu den linksseitigen Inversen hab ich verstanden. Der Beweis zu den rechtsseitigen Inversen ist auch klar. Somit ist für mich die Bijektivität einer zentrischen Streckung geklärt.
Nochmals vielen Dank,
Fanomos
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