Zentrum - Symmetrische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Fr 07.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Zentrum von [mm] S_4. [/mm] |
Hallo Leute,
Meine erste Überlegung ist, dass das ganze für die Identität trivial ist, sprich es interessieren mich nur die Zykel der Form:
(abcd),(ab)(cd),(ab),(abc) mit a,b,c,d [mm] \in [/mm] {1,2,3,4}
Ich muss doch somit alle Paarungen durchgehen oder?
1. [mm] (abcd)(ab)(cd)=(ca)\not=(ab)(cd)(abcd)=(bd)
[/mm]
2. [mm] (abcd)(ab)=(acd)\not=(ab)(abcd)=(bcd)
[/mm]
3. [mm] (abcd)(abc)=(acbd)\not=(abc)(abcd)=(acdb)
[/mm]
4. $(ab)(cd)(ab)=(cd)=(ab)(ab)(cd)$
5. [mm] (ab)(cd)(abc)=(cbd)\not=(abc)(ab)(cd)=(cda)
[/mm]
6. [mm] (ab)(abc)=(bc)\not=(abc)(ab)=(ac)
[/mm]
Das heißt doch dann, dass das Zentrum aus allen Kombinationen besteht, in denen die Identität vorkommt bzw. aus den Zykeln (12)(34) oder (13)(24) und (14)(23), sprich aus elementfremden Zykel. was ja aus der 4. folgt, da (ab)(cd)(ab)=(ab)(ab)(cd)=id(cd)=(cd) sprich, ich kann (ab)(cd) vertauschen da elementefremd.
Kann man das so als Lösung annehmen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Fr 07.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
was du machst ist im Grunde nicht falsch, aber irgendwie nicht schön  .
Beachte, dass das Zentrum einer Gruppe selbst wieder Untergruppe und auch ein Normalteiler ist. Also solltest du, um das Zentrum anzugeben auch die konkrete Gruppe benennen.
Überlege dir also zunächst welche Untergruppen [mm] S_4 [/mm] hat, welche davon Normalteiler sind und dann was das Zentrum ist.
Deine Vorgehen kannst du da im Grunde beibehalten nur halt schöner mit Gruppen arbeiten.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 07.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, ja ist auch etwas aufwand, habe mir schon gedacht, dass das einfacher gehen könnte. Nur weiß ich gar nicht, wie man eine Untergruppe zu Zykeln bestimmt, hatte schonmal die Aufgabe das für [mm] S_5 [/mm] zu machen und bin gescheitert.
Ich würde einfach hingehen und alles mal ausprobieren, eine Untergruppe wäre z.B. meiner Meinung nach:
[mm] U_1={id,(ab)} [/mm] wobei a,b [mm] \in [/mm] {1,2,3,4} wären.
[mm] U_1 [/mm] enthält also e, ist abgeschlossen und (ab) ist zu sich selbst invers. Jetzt müsste ich das ganze ja noch weiter treiben mit längeren Zykeln, aber woher weiß ich, wie viele Elemente eine Untergruppe hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 07.09.2012 | | Autor: | teo |
Naja, um das mal wirklich zu kapieren empfielt es sich, sich alle Elemente von [mm] S_4 [/mm] mal aufzuschreiben.
Dann überlege dir mit dem Satz von Lagrange welche Ordnungen die Untergruppen haben können. Beachte dabei, dass es nicht zu jedem Teiler der Gruppenordnung auch tatsächlich eine Untergruppe gibt! Warum?
Denke dabei an [mm] A_4. [/mm] Das reduziert die weiteren Überlegungen dann schon.
Welche Ordnung hat denn ein Zykel? Einfach seine Länge.
Also einfach hinsetzen und mal alle Elemente aufschreiben...
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Fr 07.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Nach dem Satz von LaGrange müssten die Anzahl der Untergruppen 1,2,3,4,6,8,12 oder 24 sein.
Alle Zykel:
(ab)
(12),(13),(14),(23),(24),(34)
(abc)
(123),(132),(234),(243),(124),(134),(143),(142)
(ab)(cd)
(12)(34),(13)(24),(14)(23)
(abcd)
(1234),(1324),(1423),(1243),(1342),(1432)
und id
Sind genau 4!=24 Elemente.
Die Elemente der Form (ab) sind schon 6 an der Zahl und bilden eine Untergruppe, sprich die Anzahl der Untergruppen ist 6,8,12 oder 24.
Die Identität ist ja auch eine Untergruppe, das heiß, ich habe schon 7 und 8 mit der [mm] S_4 [/mm] selbst, sprich den trivialen Untergruppen, kommt nur noch 8,12 oder 24 in Frage.
Eine weitere Untergruppe ist U={id,(123),(132)}
Sprich wir sind bei 9 Untergruppen, somit gibt es nur noch die Möglichkeit, dass es 12 oder 24 Untergruppen gibt.
Jetzt die Frage, fällt 24 heraus und wenn ja, warum?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Fr 07.09.2012 | | Autor: | teo |
> Nach dem Satz von LaGrange müssten die Anzahl der
> Untergruppen 1,2,3,4,6,8,12 oder 24 sein.
>
> Alle Zykel:
>
> (ab)
>
> (12),(13),(14),(23),(24),(34)
>
> (abc)
>
> (123),(132),(234),(243),(124),(134),(143),(142)
>
> (ab)(cd)
>
> (12)(34),(13)(24),(14)(23)
>
> (abcd)
>
> (1234),(1324),(1423),(1243),(1342),(1432)
>
> und id
>
> Sind genau 4!=24 Elemente.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Elemente der Form (ab) sind schon 6 an der Zahl und
> bilden eine Untergruppe, sprich die Anzahl der Untergruppen
> ist 6,8,12 oder 24.
Das ist Unsinn! Es gibt in [mm] S_4 [/mm] weder eine Untergruppe der Ordnung 6 noch der Ordnung 8!
Ich würde vorschlagen, du schreibst dir die Untergruppen jetzt mal konkret auf! Und überprüfst auch, dass das Untergruppen sind! Wenn ich dir das jetzt herschreib bringt das wenig.
> Die Identität ist ja auch eine Untergruppe, das heiß,
> ich habe schon 7 und 8 mit der [mm]S_4[/mm] selbst, sprich den
> trivialen Untergruppen, kommt nur noch 8,12 oder 24 in
> Frage.
nein s.o.
> Eine weitere Untergruppe ist U={id,(123),(132)}
Ja genau so machst dus jetzt für die anderen Untergruppen auch!
> Sprich wir sind bei 9 Untergruppen, somit gibt es nur noch
> die Möglichkeit, dass es 12 oder 24 Untergruppen gibt.
Es gibt nicht 12 oder 24 Untergruppen. Ich hoffe du meinst, dass die Gruppen Ordnung 12 oder 24 haben.
Also nochmal: Schreib dir mal alle Untergruppen konkret auf! Wenn du nicht weiterkommst lohnt auch eine eigene Internetrecherche!
> Jetzt die Frage, fällt 24 heraus und wenn ja, warum?
Wieso sollte 24 rausfallen? Aus was? Sicher ist [mm] S_4 [/mm] eine Untergruppe von [mm] S_4. [/mm] Da [mm] S_4 [/mm] aber nicht abelsch ist, ist [mm] S_4 [/mm] nicht das Zentrum...
> Danke schonmal!
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 07.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Moment, ja die Untergruppen haben die Ordnung, keine Ahnung, wie ich auf den Blödsinn komme. Bin jetzt momentan etwas überlastet, werde mich morgen nochmal dransetzen und im Zweifel nochmal schreiben, danke soweit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 So 09.09.2012 | | Autor: | AntonK |
So, also, hat wohl doch etwas länger gedauert.
Habe diesen Artikel gefunden:
http://www.mathepedia.de/S4.aspx
In der Graphik stehen ja die Untergruppe, doch verstehe ich diese nicht ganz, wo ist z.B. {id,(12)} enthalten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 09.09.2012 | | Autor: | teo |
> So, also, hat wohl doch etwas länger gedauert.
>
> Habe diesen Artikel gefunden:
>
> http://www.mathepedia.de/S4.aspx
>
> In der Graphik stehen ja die Untergruppe, doch verstehe ich
> diese nicht ganz, wo ist z.B. {id,(12)} enthalten?
Die ist isomorph zu [mm] C_2 [/mm] unten links...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 09.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich sehe da keine (12)...
Oder steht (13) als Repräsentant für alle Untergruppen, die nur aus Zykel der Länge bestehen?
Ich verstehe nicht, wie das Ding zu lesen ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 So 09.09.2012 | | Autor: | teo |
Da steht, dass es 9 Untergruppen von [mm] S_4 [/mm] gibt, die Ordnung zwei haben! Welche sind das? Die Graphik gibt dir nur an was es alles für verschiedene Untergruppen gibt. Es steht alles da! Auch wie viele Untergruppen es jeweils gibt...
> Ich sehe da keine (12)...
Oben in der Tabelle...
> Oder steht (13) als Repräsentant für alle Untergruppen,
> die nur aus Zykel der Länge bestehen?
Nein!! Da steht <(13)> nicht (13). (13) ist sicher keine Untergruppe!
Außerdem bestehen die Untergruppen der Ordnung zwei nicht nur aus Zykeln der Länge 2. Die Ordnung eines Produkts mehrer Zykel ist das kgv der Ordnungen der einzelnen Permutationen.. Also welches sind jetzt die 9 Untergruppen der Ordnung 2?
> Ich verstehe nicht, wie das Ding zu lesen ist.
Hoffe das hat sich jetzt geklärt.
Deine Ursprungsfrage ist damit aber noch lang nicht geklärt...
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 09.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Die 9 Untergruppen der Ordnung 2 sind:
Alle 6 Permutationen der Form (ab)
Und alle 3 Permutationen der Form (ab)(cd)
Ich glaube jetzt verstehe ich das, du meinst den Punkt zyklische Gruppen in dem Artikel, also muss es 16 Untergruppen geben oder? Wobei die trivialen nicht mitgezählt werden, nehme ich an.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 09.09.2012 | | Autor: | teo |
Ich mein den ganzen Artikel!!
Es gibt 16 zyklische Untergruppen. Nur so als Tipp. Die zyklischen Untergruppen bringen dir für die Beantwortung der Ausgangsfrage nix!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 So 09.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich will doch Untergruppen und Normalteiler bestimmen, da das Zentrum ebenfalls ein Normalteiler ist. Wieso bringen mir zyklische Untergruppe nichts? Aus zyklisch folgt doch abelsch und das ist doch interessant für unser Zentrum.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 So 09.09.2012 | | Autor: | teo |
Ja, ich wollte dir damit ja gerade sagen, dass die Zyklischen Gruppen keine Normalteiler sind. Das hast du ganz oben ja auch schon gezeigt. Das könntest du jetzt einfach übernehmen....
Welche Untergruppen gibt es noch? Welche davon sind abelsch, kommen also als Normalteiler in Frage?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 09.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Wo habe ich das denn gezeigt?
Wir hätten noch die Alternierende Gruppe [mm] A_4, [/mm] die den Kern von [mm] S_4 [/mm] bildet, sprich alle Elemente aus [mm] S_4, [/mm] die das Signum auf +1 abbildet. Also alle Elemente, der Form (abc) dort ist das Signum nämlich +1.
Die Symmetrische Gruppe [mm] S_3 [/mm] ist auch enthalten, aber nicht abelsch.
Ebenso sind die Diedergruppen im allgemeinen nicht abelsch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 So 09.09.2012 | | Autor: | teo |
> Wo habe ich das denn gezeigt?
In deinem ersten Post...
> Wir hätten noch die Alternierende Gruppe [mm]A_4,[/mm] die den Kern
> von [mm]S_4[/mm] bildet, sprich alle Elemente aus [mm]S_4,[/mm] die das
> Signum auf +1 abbildet. Also alle Elemente, der Form (abc)
> dort ist das Signum nämlich +1.
>
> Die Symmetrische Gruppe [mm]S_3[/mm] ist auch enthalten, aber nicht
> abelsch.
>
> Ebenso sind die Diedergruppen im allgemeinen nicht abelsch.
Ja... Das zentrum ist noch immer nicht dabei. versuch doch mal die aufgabe vernünftig zu lösen bevor du die nächste frage stellst...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 So 09.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Im ersten Post habe ich nur die Permutationen rumprobiert.
Ich verstehe nicht, worauf du hinaus willst, das Zentrum ist eine Untergruppe und ein Normalteiler, keine Untergruppe von Permutationen ist abelsch, außer wenn es in der Untergruppe nur Zykel gibt, die elementefremd sind oder die Gruppe nur 2 Elemente enthält. Wobei ich bei elementefremd höchstwahrscheinlich ein Problem mit der Abgeschlossenheit bekomme. Ich weiß wirklich nicht, was ich noch machen soll.
Ich denke ich sollte einfach weitermachen, ohne einen Anhaltspunkt, hat es wenig Sinn weiterzumachen, habe die Aufgabe oben ja ebenfalls gelöst, wenn ich hier die Auswüchse sehe, war das wohl doch einfacher, wenn auch nicht eleganter, es hat für mich keinen Sinn mich an einer Aufgabe ewig aufzuhalten, dennoch danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 11.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Mich hat das ganze dann irgendwie doch nicht losgelassen und habe deinen Ansatz nochmal mit [mm] S_3 [/mm] versucht.
Untergruppen:
[mm] U_1=(id,(12))
[/mm]
[mm] U_2=(id,(23))
[/mm]
[mm] U_3=(id,(13))
[/mm]
[mm] U_4=(id,(123),(132))
[/mm]
Normalteiler:
Gibt es keine, außer der Identität.
Das heißt, das Zentrum besteht nur aus der Identität.
[mm] Z(S_3)=(id)
[/mm]
Hattest du dir das so vorgestellt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
> Mich hat das ganze dann irgendwie doch nicht losgelassen
> und habe deinen Ansatz nochmal mit [mm]S_3[/mm] versucht.
>
> Untergruppen:
>
> [mm]U_1=(id,(12))[/mm]
> [mm]U_2=(id,(23))[/mm]
> [mm]U_3=(id,(13))[/mm]
> [mm]U_4=(id,(123),(132))[/mm]
Es gibt noch viel mehr Untergruppen, das geht doch aus der Graphik, die du oben angesprochen hast hervor!
> Normalteiler:
> Gibt es keine, außer der Identität.
Falsch! [mm] A_4 [/mm] ist ein Normalteiler, wegen [mm] [S_4:A_4]=2. [/mm] Außerdem ist [mm] V_4 [/mm] Normalteiler in [mm] S_4. [/mm] Auch das hast du bereits in deinem ersten Post schon gezeigt (wahrscheinlich nicht bewusst).
> Das heißt, das Zentrum besteht nur aus der Identität.
>
> [mm]Z(S_3)=(id)[/mm]
Falsch
> Hattest du dir das so vorgestellt?
Das Zentrum ist [mm] V_4
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Di 11.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Wie kann den [mm] V_4 [/mm] ein Normalteiler sein? Das sind doch keine Permutationen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
Es gibt nicht "die" [mm] V_4.
[/mm]
[mm] V_4 [/mm] = [mm] \{id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} [/mm] warum? -> alle Elemente haben Ordnung 2. Die Gruppe hat Ordnung 4. Die Gruppe ist abelsch, aber nicht zyklisch. Wenn du dir die Elemente nun mal anschaust, dann wirst du sehen, dass das genau die Elemente sind, die du als Zentrum in deinem ersten Post identifiziert hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
Ich wollte also nur, dass du die [mm] S_4 [/mm] verstehst und erkennst, dass deine Rechnungen im ersten Post auf die [mm] V_4 [/mm] herauslaufen!
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Di 11.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Das sehe ich absolut ein, ist halt nur eine Heidenarbeit, die Untergruppen zu suchen, aber ich verstehe, worauf du hinaus wollst, vielen Dank für die Arbeit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 11.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Das heißt der einzige Normalteiler zu [mm] S_3 [/mm] ist [mm] A_4? [/mm] Bin gerade etwas durcheinander, was sich in deinem Post noch auf die [mm] S_3 [/mm] bezieht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
Du hast fälschlicherweise [mm] S_3 [/mm] geschrieben, weshalb ich mich auch verschrieben habe. Habs aber ausgebessert!
Also in [mm] S_4 [/mm] sind [mm] A_4 [/mm] und [mm] V_4 [/mm] Normalteiler. [mm] A_4 [/mm] hat Index 2. [mm] V_4 [/mm] kann man einfach nachrechnen. Das hast du aber ja bereits zu Beginn gemacht!
Das [mm] A_4 [/mm] nicht das Zentrum ist kann man ebenfalls einfach nachrechnen. Auch das hast du bereits gemacht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Di 11.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich glaube wir haben da etwas einander vorbei geredet, ich wollte das ganze nochmal exemplarsich für [mm] S_3 [/mm] machen und nicht [mm] S_4, [/mm] weil das übersichtlicher ist, stimmt dann meine Aussage von oben? Mit den Untergruppen und keine Normalteiler? Wobei ja eigentlich [mm] A_3 [/mm] ein Normalteiler sein müsste oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
[mm] A_n [/mm] ist immer!! Normalteiler von [mm] S_n. [/mm] Also ist auch [mm] A_3 [/mm] Normalteiler von [mm] S_3!
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 11.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Steht auch in meinem Skript, fällt mir auf.
[mm] Z(S_3)=(id)
[/mm]
Stimmt das nun oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
Ja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Di 11.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Das war eine schwere Geburt, vielen Dank und schönen Abend noch!
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