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| Aufgabe | | Es sei E der Zerfällungskörper des Polynoms [mm] x^{2}-2\in\IQ[x]. [/mm] Man bestimme [mm] [E:\IQ] [/mm] und eine Basis! |
Hallo,
hat vielleicht jemand ne Idee, wie das geht? Wir hatten Zerfällungskörper in der Vorlesung nur definiert und herausgefunden, dass diese bis auf Isomorphie eindeutig sind, aber keine Ahnung wie man da eine Dimension bzw. Basis herausfindet. Kann mir vielleicht jemand ne kleine Anleitung geben? Ich vermute, man braucht die Nullstellen. Die kann man aber ablesen, oder?
Viele Grüße und danke!
Daniel
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Hallo Daniel,
auch wenn ich kein Algebraiker bin und fuer diese Frage Leute wie felixf praedestiniert sind, wage ich einen Versuch. Es sollte doch [mm] E=\IQ(\sqrt{2}) [/mm] sein, also der kleinste Koerper,
der [mm] \IQ [/mm] und das Element [mm] \sqrt{2} [/mm] enthält, wobei über [mm] \sqrt{2}=:y [/mm] nur bekannt ist, dass es
nicht in [mm] \IQ [/mm] liegt und aber der Gl. [mm] y^2-2=0 [/mm] genuegt.
Dann sollte doch als Vektorraum über [mm] \IQ \:\:\: \IQ(\sqrt{2}) =\IQ\oplus \IQ\cdot\sqrt{2}
[/mm]
sein und somit zweidimensionaler [mm] \IQ-Vektorraum, [/mm] und dies ist also die Dimension der
Erweiterung, oder ?
Viele Grüße,
Mathias
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Hallochen noch mal,
ich habe mich in der Aufgabe etwas verschrieben (Ich meinte [mm] x^{4}-2!), [/mm] das ändert doch aber an der Situation nichts, oder? Der Körper E wäre dann [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}), [/mm] richtig? Die Dimesion ergibt sich dann als Dimension des Minimalpolynoms [mm] x^{4}-2, [/mm] also dim=4. Die Basis ist dann entsprechend
[mm] \{1,\wurzel[4]{2},\wurzel[4]{2}^{2},\wurzel[4]{2}^{3}\}.
[/mm]
Kann das jemand bestätigen?
VG Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Di 31.01.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
du suchst doch den zerfällungskörper des polynoms. insbesondere soll das polynom darin in linearfaktoren zerfallen, also müssen alle nullstellen des polynoms in $E$ enthalten sein. ist das hier der fall?
zumindest ist der von dir angegebene körüer ein zwischenkörper von [mm] $E/\mathbb{Q}$, [/mm] aber $E$ muss noch etwas größer sein!
grüße
andreas
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