Zerfällungskörper < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Do 30.03.2006 | | Autor: | goldie20 |
| Aufgabe | | Man bestimme den Zerfällungskörper von [mm] p:=x^4+2 [/mm] |
Könnte sich jemand bitte mal ansehen, ob ich die Aufgabe richtig gemacht habe.
Also das Polynom ist nach Eisenstein für p=2 irreduzibel.
Es ist [mm] \delta:= \wurzel[4]{2}exp(i\pi/4) [/mm] eine Nullstelle von p in [mm] \IC.
[/mm]
Da p irreduzibel ist, ist p Minimalpolynom von [mm] \delta.
[/mm]
Also hat [mm] \IQ[\delta]: \IQ [/mm] den Grad 4
Zerfällungskörper: [mm] \IQ[- \wurzel[4]{2}, exp(i\pi/4)]
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
> Man bestimme den Zerfällungskörper von [mm]p:=x^4+2[/mm]
> Könnte sich jemand bitte mal ansehen, ob ich die Aufgabe
> richtig gemacht habe.
>
> Also das Polynom ist nach Eisenstein für p=2 irreduzibel.
>
> Es ist [mm]\delta:= \wurzel[4]{2}exp(i\pi/4)[/mm] eine Nullstelle
> von p in [mm]\IC.[/mm]
> Da p irreduzibel ist, ist p Minimalpolynom von [mm]\delta.[/mm]
> Also hat [mm]\IQ[\delta]: \IQ[/mm] den Grad 4
>
> Zerfällungskörper: [mm]\IQ[- \wurzel[4]{2}, exp(i\pi/4)][/mm]
Richtig :) Allerdings kannst du das Vorzeichen der Wurzel weg lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Do 30.03.2006 | | Autor: | goldie20 |
Wieso kann man es weglassen?
Wie wäre es denn bei diesem Polynom [mm] q:=x^3+2
[/mm]
Der Zerfällungslkörper wäre [mm] \IQ[-\wurzel[3]{2},exp(i\pi3)] [/mm]
[mm] (i\pi/3) [/mm] oder [mm] (i\pi3)
[/mm]
Kann man da das Minus bei [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] auch weglassen?
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Hallo,
> Wieso kann man es weglassen?
>
> Wie wäre es denn bei diesem Polynom [mm]q:=x^3+2[/mm]
>
> Der Zerfällungslkörper wäre [mm]\IQ[-\wurzel[3]{2},exp(i\pi3)][/mm]
>
> [mm](i\pi/3)[/mm] oder [mm](i\pi3)[/mm]
>
> Kann man da das Minus bei [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auch weglassen?
ja, du hast es hier mit Körpern zu tun. Da gibt's zu jedem Element auch das entsprechende Inverse. Also, wenn du zu einem Körper ein Element adjungierst, dann liegt das additiv Inverse mit drin!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Do 30.03.2006 | | Autor: | goldie20 |
Achso. Danke.
Fehlt hier aber hier ein Bruchstrich?
Der Zerfällungslkörper wäre [mm] \IQ[-\wurzel[3]{2},exp(i\pi3)] [/mm]
[mm] (i\pi/3) [/mm] oder [mm] (i\pi3) [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
[mm] x^3+2 [/mm] =0 <=> [mm] x^3 [/mm] = -2
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel[3]{2} * e^{ \bruch{\pi i}{3}} [/mm]
usw.
also mit Bruchstrich!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 03.04.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo,
wenn ich mit der exp-Schreibweise den Zerfällungskörper ausdrücken müsste, müsste der Zerfällungskörper von [mm] x^4+2 [/mm] nicht [mm] \IQ[\wurzel[4]{-2}, exp(2i\pi/4)] [/mm] lauten??
[mm] \IQ[\wurzel[4]{2},exp(i\pi/4)] [/mm] müsste doch falsch sein, oder??
und beim Polynom [mm] x^3+2 [/mm] wäre doch dann der Zerfällungskörper:
[mm] \IQ[\wurzel[3]{-2},exp(2i\pi/3)]
[/mm]
Und der Zerfällungskörper von [mm] x^4+1 [/mm] wäre dann [mm] \IQ[\wurzel[4]{-1},exp(2i\pi/4)], [/mm] oder?
Gruß, cloe
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Hallo cloe,
ja natürlich. Das war bestimmt nur ein Versehen! Sonst wäre es ja gar nicht das Minimalpolynom, da [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] nun mal keine Nullstelle von [mm] x^{4}+2 [/mm] ist. Im Falle von [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] bräuchte man auch gar keine komplexe Körpererweiterung...!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 03.04.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo,
danke für die Bestätigung.
Sind die folgenden Zerfällungskörper vielleicht auch noch richtig von mir bestimmt?
Polynom [mm] x^3+2 \in \IQ [/mm]
Zerfällungskörper: [mm] \IQ[\wurzel[3]{-2},exp(2i\pi/3)]
[/mm]
Und der Zerfällungskörper von [mm] x^4+1 \in \IQ [/mm] wäre dann
[mm] \IQ[\wurzel[4]{-1},exp(2i\pi/4)],oder?
[/mm]
Kommt generell in den Zähler bei e folgendes hin: [mm] 2i\pi
[/mm]
Vielen Dank für deine Hilfe.
cloe
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| Aufgabe 1 | Polynom $ [mm] x^3+2 \in \IQ [/mm] $
Zerfällungskörper: $ [mm] \IQ[\wurzel[3]{-2},exp(2i\pi/3)] [/mm] $
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| Aufgabe 2 | | Die Nullstellen von $ [mm] x^{4}+1 [/mm] $ in $ [mm] \IC [/mm] $ sind $ [mm] \bruch{\pm 1 \pm i}{\wurzel{2}}. [/mm] $ Den Zerfällungskörper erhält man durch Adjunktion der Nullstellen. Offenbar erhält man dann aber den Zerfällungskörper $ [mm] \IQ(i,\wurzel{2}). [/mm] $ |
Hier auch noch einmal eine Frage zu 1 Aufgabe:
Bei der Bestimmung des Zerfällungskörpers muss bei [mm] exp(2i\pi/3) [/mm] im Zähler grundsätzlich diese 2 stehen [mm] (2i\pi) [/mm] oder nicht?
Mich verwirrt diese exp Schreibweise doch irgendwie!
Kann mir das jemand vielleicht erklären?
Also, warum ist der Zerfällungskörper von $ [mm] x^4+2 \in \IQ[x] [/mm] $:
[mm] \IQ[\wurzel[4]{-2},exp(i\pi/4)] [/mm] , also plötzlich ohne 2 im Zähler???
Zu Aufgabe 2:
wie kommt ihr auf [mm] \IQ(i,\wurzel{2}) [/mm] als Zerfällungskörper?
Die NST von [mm] x^{4}+1 [/mm] sind doch $
[mm] \wurzel[4]{-1},
[/mm]
[mm] -\wurzel[4]{-1}, [/mm]
[mm] (i\wurzel[4]{-1}), [/mm]
[mm] (-\i\wurzel[4]{-1}), [/mm] oder? $ Statt beta bitte i lesen!!!
Wie kommt man also auf [mm] \wurzel{2}?
[/mm]
Gruß, green-bubble
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Di 04.04.2006 | | Autor: | cycilia |
> Bei der Bestimmung des Zerfällungskörpers muss bei
> [mm]exp(2i\pi/3)[/mm] im Zähler grundsätzlich diese 2 stehen [mm](2i\pi)[/mm]
> oder nicht?
Ja, aber je nach dem Nenner kann sich die 2 natürlich wegkürzen.
> Mich verwirrt diese exp Schreibweise doch irgendwie!
> Kann mir das jemand vielleicht erklären?
Das resultiert aus den n-ten Einheitswurzeln. Diese sind die Nullstellen von einem Polynom [mm] x^n-1. [/mm] Gib mal n-te Einheitswurzel bei wikipedia ein, dann sollte das klar sein.
>
> Also, warum ist der Zerfällungskörper von [mm]x^4+2 \in \IQ[x] [/mm]:
>
> [mm]\IQ[\wurzel[4]{-2},exp(i\pi/4)][/mm] , also plötzlich ohne 2 im
> Zähler???
Also hier lautet es wiklich [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] nicht -2, ich erkläre es direkt nach dem Mittagessen genauer!
> Zu Aufgabe 2:
>
> wie kommt ihr auf [mm]\IQ(i,\wurzel{2})[/mm] als Zerfällungskörper?
> Die NST von [mm]x^{4}+1[/mm] sind doch $
> [mm]\wurzel[4]{-1},[/mm]
> [mm]-\wurzel[4]{-1},[/mm]
> [mm](i\wurzel[4]{-1}),[/mm]
> [mm](-\i\wurzel[4]{-1}),[/mm] oder? $ Statt beta bitte i lesen!!!
>
> Wie kommt man also auf [mm]\wurzel{2}?[/mm]
Das resultiert daraus, dass [mm] e^{\pi i} [/mm] = cos [mm] (\pi) [/mm] + i [mm] sin(\pi) [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Di 04.04.2006 | | Autor: | cycilia |
> Polynom [mm]x^3+2 \in \IQ[/mm]
> Zerfällungskörper:
> [mm]\IQ[\wurzel[3]{-2},exp(2i\pi/3)][/mm]
>
>
> Die Nullstellen von [mm]x^{4}+1[/mm] in [mm]\IC[/mm] sind [mm]\bruch{\pm 1 \pm i}{\wurzel{2}}.[/mm]
> Den Zerfällungskörper erhält man durch Adjunktion der
> Nullstellen. Offenbar erhält man dann aber den
> Zerfällungskörper [mm]\IQ(i,\wurzel{2}).[/mm]
> Hier auch noch einmal eine Frage zu 1 Aufgabe:
>
> Bei der Bestimmung des Zerfällungskörpers muss bei
> [mm]exp(2i\pi/3)[/mm] im Zähler grundsätzlich diese 2 stehen [mm](2i\pi)[/mm]
> oder nicht?
Ja,es sei denn die -1 wurde unter der Wurzel rausgerechnet.
>
> Mich verwirrt diese exp Schreibweise doch irgendwie!
> Kann mir das jemand vielleicht erklären?
>
> Also, warum ist der Zerfällungskörper von [mm]x^4+2 \in \IQ[x] [/mm]:
>
> [mm]\IQ[\wurzel[4]{-2},exp(i\pi/4)][/mm] , also plötzlich ohne 2 im
> Zähler???
Hmm,... so wie es da steht, muss die 2 in den Nenner, ansonsten mal versuchen, die -1 unter der Wurzel wegzuholen mit e ausdrücken und schauen, was raus kommt.
>
>
> Zu Aufgabe 2:
>
> wie kommt ihr auf [mm]\IQ(i,\wurzel{2})[/mm] als Zerfällungskörper?
> Die NST von [mm]x^{4}+1[/mm] sind doch $
> [mm]\wurzel[4]{-1},[/mm]
> [mm]-\wurzel[4]{-1},[/mm]
> [mm](i\wurzel[4]{-1}),[/mm]
> [mm](-\i\wurzel[4]{-1}),[/mm] oder? $ Statt beta bitte i lesen!!!
>
> Wie kommt man also auf [mm]\wurzel{2}?[/mm]
> Gruß, green-bubble
So ganz krieg ich das jetzt auch nicht mehr hin.... aber:
[mm]\wurzel[4]{-1} = e^{ \bruch{\pi i}{4}}[/mm]
[mm] e^{ \bruch{\pi i}{4}}= [/mm] cos [mm] (\bruch{\pi}{4}) [/mm] + i sin ( [mm] \bruch{\pi}{4})
[/mm]
= 0,5 * [mm] \wurzel{2} [/mm] + i 0,5 [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Hier lieben [mm] \wurzel{2} [/mm] und i nicht in [mm] \IQ [/mm] also hast du die Erweiterung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 04.04.2006 | | Autor: | cycilia |
> Hallo,
>
> danke für die Bestätigung.
>
> Sind die folgenden Zerfällungskörper vielleicht auch noch
> richtig von mir bestimmt?
>
> Polynom [mm]x^3+2 \in \IQ[/mm]
> Zerfällungskörper: [mm]\IQ[\wurzel[3]{-2},exp(2i\pi/3)][/mm]
ja, im Grunde schon. In unserer Vorlesung sollte man allerdings nichts negatives unter der Wurzel stehen lassen. Wenn du noch ausrechnest, was [mm] \wurzel[3]{-1} [/mm] ist, dann erhälst du einen anderen Zerfällungskörper
[mm] \wurzel[3]{-1} = e^ \bruch{\pi i}{3} [/mm]
also [mm] e^ \bruch{\pi i}{3} * e^ \bruch{2\pi i}{3} = e^{\pi i}[/mm]
dementsprechend ist der Zerfällungskörper dann
[mm]\IQ[\wurzel[3]{2},exp(i\pi)][/mm]
>
> Und der Zerfällungskörper von [mm]x^4+1 \in \IQ[/mm] wäre dann
> [mm]\IQ[\wurzel[4]{-1},exp(2i\pi/4)],oder?[/mm]
Ja. Kann man wie eben umrechnen.
>
> Kommt generell in den Zähler bei e folgendes hin: [mm]2i\pi[/mm]
Ja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Di 04.04.2006 | | Autor: | cycilia |
die Funktion [mm] x^4+1 [/mm] wurde im Algebra Forum vor ganz kurzem auch diskutiert. Dort stehen weitere Erklärungen.
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