Zerfällungskörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mo 18.09.2006 | | Autor: | bubble |
| Aufgabe | Gegeben: f = [mm] X^{6} [/mm] - 1
Gesucht:
Ist f irreduzibel?
Wie lautet der Zerfällungskörper?
Wie gross ist der Körpergrad?
Wie
|
Hallo zusammen
Ist f irreduzibel?
Ja, denn [mm] X^{6} [/mm] - 1 : (X-1) = [mm] X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+x+1
[/mm]
Zerfällungskörper: [mm] Q(\wurzel[6]{1})
[/mm]
[mm] Q(\wurzel[6]{1}) [/mm] = {a [mm] +\wurzel[6]{1}b; [/mm] a,b [mm] \in [/mm] Q(X)}
Körpererweiterungsgrad = 2
Stimmen diese Antworten?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:12 Di 19.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo bubble!
> Gegeben: f = [mm]X^{6}[/mm] - 1
> Gesucht:
> Ist f irreduzibel?
> Wie lautet der Zerfällungskörper?
> Wie gross ist der Körpergrad?
> Wie
>
> Hallo zusammen
>
> Ist f irreduzibel?
> Ja, denn [mm]X^{6}[/mm] - 1 : (X-1) = [mm]X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+x+1[/mm]
Also wenn du [mm] $x^6 [/mm] - 1$ durch ein Polynom vom Grad 1 teilen kannst, ohne dass ein Rest uebrig bleibt, dann ist [mm] $x^6 [/mm] - 1$ reduzibel und somit nicht irreduzibel!
> Zerfällungskörper: [mm]Q(\wurzel[6]{1})[/mm]
6te Wurzeln von 1 gibt es einige. Aber nicht jede tuts hier! (Z.B. ist 1 auch eine solche Wurzel, aber [mm] $\IQ[1] [/mm] = [mm] \IQ$ [/mm] ist sicher nicht der Zerfaellungskoerper!)
Gib doch mal eine primitive 6te Einheitswurzel in [mm] $\IC$ [/mm] an.
> [mm]Q(\wurzel[6]{1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {a [mm]+\wurzel[6]{1}b;[/mm] a,b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Q(X)}
Das gilt sicher nicht. Wie willst du etwa $\sqrt[6]{1}^2$ so darstellen?
> Körpererweiterungsgrad = 2
Falsch.
> Stimmen diese Antworten?
Leider nein...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:53 Di 19.09.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Felix, guten Morgen bubble!
> > Körpererweiterungsgrad = 2
>
> Falsch.
Es ist doch [mm] X^{6} [/mm] - 1 = [mm] (X+1)*(X-1)*(X^{2} [/mm] + X + [mm] 1)*(X^{2} [/mm] - X + 1),
und der letzte Faktor gibt mir die beiden primitiven 6. Einheitswurzeln.
Gruß aus Hamburg-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Di 19.09.2006 | | Autor: | felixf |
Guten Morgen Dieter,
> > > Körpererweiterungsgrad = 2
> >
> > Falsch.
>
> Es ist doch [mm]X^{6}[/mm] - 1 = [mm](X+1)*(X-1)*(X^{2}[/mm] + X + [mm]1)*(X^{2}[/mm]
> - X + 1),
> und der letzte Faktor gibt mir die beiden primitiven 6.
> Einheitswurzeln.
Stimmt, da hast du recht! Hab irgendwie nicht mehr dran gedacht dass die 2. Einheitswurzeln ja schon in [mm] $\IZ$ [/mm] liegen  War halt zu spaet in der Nacht...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Di 19.09.2006 | | Autor: | bubble |
Dann ist der Zerfällungskörper [mm] Q(e^{\bruch{2i\pi}{6}})? [/mm]
D.h. [mm] Q(e^{\bruch{2i\pi}{6}})= [/mm] {a + [mm] e^{\bruch{2i\pi}{6}} [/mm] b + [mm] e^{\bruch{4i\pi}{6}} [/mm] c + [mm] e^{\bruch{4i\pi}{6}} [/mm] d + [mm] e^{\bruch{8i\pi}{6}} [/mm] e + [mm] e^{\bruch{10i\pi}{6}} [/mm] f ; a, b, c, d, e, f [mm] \in [/mm] Q(X)}
Ist dann der Körpererweiterungsgrad 6?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Mi 20.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo bubble!
> Dann ist der Zerfällungskörper [mm]Q(e^{\bruch{2i\pi}{6}})?[/mm]
Ja, oder z. B. auch [mm] \IQ(\wurzel{-3})
[/mm]
> D.h. [mm]Q(e^{\bruch{2i\pi}{6}})=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{a + [mm]e^{\bruch{2i\pi}{6}}[/mm] b +
> [mm]e^{\bruch{4i\pi}{6}}[/mm] c + [mm]e^{\bruch{4i\pi}{6}}[/mm] d +
> [mm]e^{\bruch{8i\pi}{6}}[/mm] e + [mm]e^{\bruch{10i\pi}{6}}[/mm] f ; a, b, c,
> d, e, f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Q(X)}
Diese Dinger sind nicht lin. unabhängig!
> Ist dann der Körpererweiterungsgrad 6?
Deswegen ist der Erweiterungsgrad auch nicht 6, sondern 2.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
