Zerfällungskörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mi 25.04.2007 | | Autor: | PaulP |
| Aufgabe | | Sei E der Zerfällungskörper von [mm] x^3-7 \in \IQ[x]. [/mm] Man bestimme ein primitives Element c von E über [mm] \IQ [/mm] und [mm] Irr(c,\IQ). [/mm] |
Hallo!
Damit komme ich nicht klar. Ich habe mal die Nullstellen bestimmt und versucht, das Minimalpolynum zu bestimmen. Liege ich damit richtig? Ich bekomme da nämlich nur "Mist" raus.
Gruß,
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Do 26.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Paul.
> Sei E der Zerfällungskörper von [mm]x^3-7 \in \IQ[x].[/mm] Man
> bestimme ein primitives Element c von E über [mm]\IQ[/mm] und
> [mm]Irr(c,\IQ).[/mm]
>
> Damit komme ich nicht klar. Ich habe mal die Nullstellen
> bestimmt und versucht, das Minimalpolynum zu bestimmen.
Das Minimalpolynom wovon? Von einem primitiven Element? Welches primitive Element hast du denn gewaehlt?
> Liege ich damit richtig? Ich bekomme da nämlich nur "Mist"
> raus.
Du musst zuerst den Zerfaellungskoerper bestimmen, und der ist von der Form $E = [mm] \IQ(a, [/mm] b)$ mit $a = [mm] \sqrt[3]{7}$ [/mm] und $b [mm] \in \IC$ [/mm] einer passenden komplexen Zahl. Dann musst du ein $c [mm] \in \IC$ [/mm] finden mit $E = [mm] \IQ(c)$; [/mm] das $c$ ist dann das primitive Element.
Kleiner Hinweis: Du kannst $c = a + [mm] \lambda [/mm] b$ mit ``passendem'' [mm] $\lambda \in \IQ$ [/mm] waehlen.
LG Felix
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