Zerfällungskp. von Polynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Do 03.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie einen Zerfällungskörper L der Familie [mm] $\{X^4+1, X^5+2\}$ [/mm] über [mm] $\IQ$ [/mm] sowie den Grad [mm] $[L:\IQ]$. [/mm] |
Hallo,
bin mir etwas unsicher bei meiner Lösung der Aufgabe:
Die Nullstellen von [mm] $X^4+1$ [/mm] sind: [mm] $e^{i\frac{\pi}{4}}, e^{i\frac{3\pi}{4}}, e^{i\frac{5\pi}{4}}, e^{i\frac{7\pi}{4}}$
[/mm]
Die Nullstellen von [mm] $x^5+2$ [/mm] sind: [mm] $\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, \sqrt[5]{2}e^{i\frac{3\pi}{5}}, -\sqrt[5]{2}, \sqrt[5]{2}e^{i\frac{7\pi}{5}}, \sqrt[5]{2}e^{i\frac{9\pi}{5}}$.
[/mm]
Es liegt [mm] $\frac{e^{i\frac{\pi}{4}}}{e^{i\frac{\pi}{5}}} [/mm] = [mm] e^{i\frac{\pi}{20}}$ [/mm] in L.
Der Zerfällungskörper ist also [mm] $L=\IQ(\sqrt[5]{2},e^{i\frac{\pi}{20}}) [/mm] = [mm] \IQ(\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, e^{i\frac{\pi}{4}})$, [/mm] denn darin liegen alle Nullstellen der zwei Polynome und die Erweiterung [mm] $L/\IQ$ [/mm] wird von den Nullstellen erzeugt.
Per Reduktion der Koeffizienten modulo 3 sieht man, dass [mm] $X^4+1$ [/mm] irreduzibel ist über [mm] $\IQ$, [/mm] damit ist [mm] $[\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}}):\IQ]=4$, [/mm] wobei [mm] $\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})$ [/mm] ein Zerfällungskörper von [mm] $X^4+1$.
[/mm]
Bleibt die Frage, ob [mm] $X^5+2$ [/mm] irreduzibel über [mm] $\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})$ [/mm] ist. Ich denke ja, denn die Nullstellen des Polynoms liegen nicht in [mm] $\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})$. [/mm] Damit ist also [mm] $[L:\IQ]=20$. [/mm] Stimmt das so?
Lg Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mo 07.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen Sie einen Zerfällungskörper L der Familie
> [mm]\{X^4+1, X^5+2\}[/mm] über [mm]\IQ[/mm] sowie den Grad [mm][L:\IQ][/mm].
> Hallo,
>
> bin mir etwas unsicher bei meiner Lösung der Aufgabe:
> Die Nullstellen von [mm]X^4+1[/mm] sind: [mm]e^{i\frac{\pi}{4}}, e^{i\frac{3\pi}{4}}, e^{i\frac{5\pi}{4}}, e^{i\frac{7\pi}{4}}[/mm]
>
> Die Nullstellen von [mm]x^5+2[/mm] sind:
> [mm]\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, \sqrt[5]{2}e^{i\frac{3\pi}{5}}, -\sqrt[5]{2}, \sqrt[5]{2}e^{i\frac{7\pi}{5}}, \sqrt[5]{2}e^{i\frac{9\pi}{5}}[/mm].
>
> Es liegt [mm]\frac{e^{i\frac{\pi}{4}}}{e^{i\frac{\pi}{5}}} = e^{i\frac{\pi}{20}}[/mm]
> in L.
> Der Zerfällungskörper ist also
> [mm]L=\IQ(\sqrt[5]{2},e^{i\frac{\pi}{20}}) = \IQ(\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm],
> denn darin liegen alle Nullstellen der zwei Polynome und
> die Erweiterung [mm]L/\IQ[/mm] wird von den Nullstellen erzeugt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und damit hast du jetzt fast die Aufgabe geloest:
* es ist [mm] $[\IQ(e^{i \pi/20}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \varphi(40) [/mm] = 16$, da [mm] $e^{i \pi/20}$ [/mm] eine 40te primitive Einheitswurzel ist;
* es ist [mm] $[\IQ(\sqrt[5]{2}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 5$, da [mm] $X^5 [/mm] - 2$ irreduzibel ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist.
Jetzt ist [mm] $[\IQ(\sqrt[5]{2}, e^{i \pi/20}) [/mm] : [mm] \IQ] \le [/mm] 16 [mm] \cdot [/mm] 5$, und wegen dem Gradsatz durch 16 sowie 5 teilbar. Da $ggT(16, 5) = 1$ ist, folgt also dass der Grad gleich $16 [mm] \cdot [/mm] 5$ ist.
> Per Reduktion der Koeffizienten modulo 3 sieht man, dass
> [mm]X^4+1[/mm] irreduzibel ist über [mm]\IQ[/mm], damit ist
> [mm][\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}}):\IQ]=4[/mm], wobei
> [mm]\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm] ein Zerfällungskörper von [mm]X^4+1[/mm].
> Bleibt die Frage, ob [mm]X^5+2[/mm] irreduzibel über
> [mm]\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm] ist. Ich denke ja, denn die
> Nullstellen des Polynoms liegen nicht in
> [mm]\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm].
Da der Grad $> 3$ ist, reicht das als Begruendung nicht aus.
Aber das brauchst du auch gar nicht so zu bestimmen, ich hab dir oben hingeschrieben wie es viel einfacher geht 
> Damit ist also [mm][L:\IQ]=20[/mm]. Stimmt
> das so?
Nein, 20 ist ein Teiler von $16 [mm] \cdot [/mm] 5$, aber eben nicht gleich.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix, vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
> Und damit hast du jetzt fast die Aufgabe geloest:
>
> * es ist [mm][\IQ(e^{i \pi/20}) : \IQ] = \varphi(40) = 16[/mm], da
> [mm]e^{i \pi/20}[/mm] eine 40te primitive Einheitswurzel ist;
> * es ist [mm][\IQ(\sqrt[5]{2}) : \IQ] = 5[/mm], da [mm]X^5 - 2[/mm]
> irreduzibel ueber [mm]\IQ[/mm] ist.
>
> Jetzt ist [mm][\IQ(\sqrt[5]{2}, e^{i \pi/20}) : \IQ] \le 16 \cdot 5[/mm],
> und wegen dem Gradsatz durch 16 sowie 5 teilbar. Da [mm]ggT(16, 5) = 1[/mm]
> ist, folgt also dass der Grad gleich [mm]16 \cdot 5[/mm] ist.
Ok, das verstehe ich. Aber weiter unten besthet noch eine Umklarheit.
> > Per Reduktion der Koeffizienten modulo 3 sieht man, dass
> > [mm]X^4+1[/mm] irreduzibel ist über [mm]\IQ[/mm], damit ist
> > [mm][\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}}):\IQ]=4[/mm], wobei
> > [mm]\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm] ein Zerfällungskörper von [mm]X^4+1[/mm].
>
>
>
> > Bleibt die Frage, ob [mm]X^5+2[/mm] irreduzibel über
> > [mm]\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm] ist. Ich denke ja, denn die
> > Nullstellen des Polynoms liegen nicht in
> > [mm]\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm].
>
> Da der Grad [mm]> 3[/mm] ist, reicht das als Begruendung nicht aus.
Ok, folgender Gedanke muss falsch sein, sonst würde er der Lösung von oben widersprechen, ich sehe aber leider den Fehler nicht:
Es gilt doch [mm] $[L:\IQ]=[\IQ(\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, e^{i\frac{\pi}{4}}):\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})][\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}}):\IQ]$.
[/mm]
Es ist [mm] $[\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}}):\IQ]=4$ [/mm] und [mm] $X^5+2 \in \IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})[X]$ [/mm] annuliert [mm] $\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}$.
[/mm]
Damit gilt doch dann: [mm] $Mipo_{\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})}(\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}) \:|\: X^5+2$ [/mm] und damit $ [mm] [\IQ(\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, e^{i\frac{\pi}{4}}):\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})] \leq [/mm] 5$ und somit [mm] $[L:\IQ] \leq [/mm] 20$.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 07.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Per Reduktion der Koeffizienten modulo 3 sieht man, dass
> > > [mm]X^4+1[/mm] irreduzibel ist über [mm]\IQ[/mm], damit ist
> > > [mm][\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}}):\IQ]=4[/mm], wobei
> > > [mm]\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm] ein Zerfällungskörper von [mm]X^4+1[/mm].
> >
> >
> >
> > > Bleibt die Frage, ob [mm]X^5+2[/mm] irreduzibel über
> > > [mm]\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm] ist. Ich denke ja, denn die
> > > Nullstellen des Polynoms liegen nicht in
> > > [mm]\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm].
> >
> > Da der Grad [mm]> 3[/mm] ist, reicht das als Begruendung nicht aus.
>
> Ok, folgender Gedanke muss falsch sein, sonst würde er der
> Lösung von oben widersprechen, ich sehe aber leider den
> Fehler nicht:
> Es gilt doch [mm][L:\IQ]=[\IQ(\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, e^{i\frac{\pi}{4}}):\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}})][\IQ(e^{i\frac{\pi}{4}}):\IQ][/mm].
Beachte, dass [mm] $\IQ(\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, e^{i\frac{\pi}{4}})$ [/mm] eine echte Teilmenge von $L$ ist! Es ist $L = [mm] \IQ(\sqrt[5]{2}, e^{i \frac{\pi}{5}}, e^{i \frac{\pi}{4}})$.
[/mm]
Wenn du das mit beruecksichtigst, passt es besser.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo!
> Beachte, dass [mm]\IQ(\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, e^{i\frac{\pi}{4}})[/mm]
> eine echte Teilmenge von [mm]L[/mm] ist! Es ist [mm]L = \IQ(\sqrt[5]{2}, e^{i \frac{\pi}{5}}, e^{i \frac{\pi}{4}})[/mm].
Ok, damit wird einiges klar. Ich hatte weiter oben geschrieben: $ [mm] L=\IQ(\sqrt[5]{2},e^{i\frac{\pi}{20}}) [/mm] = [mm] \IQ(\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, e^{i\frac{\pi}{4}}) [/mm] $, was natürlich falsch ist (du hattest vermutlich das fehlende Komma übersehen). Auf jeden Fall enthält [mm] $\IQ(\sqrt[5]{2}e^{i\frac{\pi}{5}}, e^{i\frac{\pi}{4}})$ [/mm] ja gar nicht alle Nullstellen von [mm] $X^5+2$, [/mm] kann also nicht der gesuchte Zerfällungskp. sein, sondern es muss [mm] $L=\IQ(\sqrt[5]{2},e^{i\frac{\pi}{20}}) [/mm] = [mm] \IQ(\sqrt[5]{2},e^{i\frac{\pi}{5}}, e^{i\frac{\pi}{4}}) [/mm] $ heißen und damit erübrigt sich auch meine Einwand.
Danke für deine Hilfe, lg Lippel
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