Zerfall Plutonium < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Do 26.05.2016 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Plutonium-241 zerfällt zu Americium-241, welches selbst auch radioaktiv ist und daher weiter zerfällt.
Die zum Zeitpunkt t vorhandene Menge Americium-241 in Milligramm wird durch das Modell [mm] m_A(t)=200*(1-e^{-0,046t})*e^{-0,0016t} [/mm] mit t [mm] \ge [/mm] 0 angenähert.
Zeichne das Schaubild von [mm] m_A [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 200.
Begründe mit Hilfe des Schaubildes von [mm] m_A, [/mm] dass Plutonium schneller zerfällt als Americium. |
Hallo zusammen,
die Zeichnung ist natürlich kein Problem, mit der Begründung habe ich jedoch Schwierigkeiten.
Der Zerfall von Americium wird ja durch die Steigung der Tangente an das Schaubild von [mm] m_A [/mm] dargestellt.
Wie erhalte ich jedoch anschaulich den Zerfall des Plutoniums ?
Sind das Sekanten an das Schaubild von [mm] m_A [/mm] ?
Hängt die Begründung irgendwie damit zusammen, dass [mm] m_A [/mm] rechtsgekrümmt ist ?
Danke für eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 26.05.2016 | | Autor: | Jule2 |
Ich würde sagen dass die Masse von Americium ja stetig zunimmt also muss ja Plutonium schneller zerfallen sonst würde die Masse von Americium
Um ja abnehmen!!!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Do 26.05.2016 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
die Funktion [mm] m_A [/mm] ist nicht streng monoton wachsend, daher verstehe ich die Antwort nicht.
Viele Grüße
Rubi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Do 26.05.2016 | | Autor: | Jule2 |
Entschuldige hab sie mir nur von 0-20 Plotten lassen!!
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 26.05.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Zerfall von A wird nicht durch die Steigung von ma beschrieben, in ma steckt ja auch noch der Zuwachs durch den Zerfall des Plutoniums.
welcher Teil der funktion beschreibt denn die Abnahme durch den Zerfall, welcher die Zunahme durch den Zerfall des Plutoniums?
was wäre wenn Pl. genauso schnell verfiele wie A? wieso kann ma anfangs steigen, dann fallen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Do 26.05.2016 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich habe mir es nun mal mit anderen Zahlen verdeutlicht.
Angenommen, ich habe 1000 g Plutonium und dieses zerfällt mit 1% pro Jahr.
Dann wäre die Funktion Plutoniumfunktion p(t) = 1000 * [mm] 0,99^t
[/mm]
Das entstehende Americium hätte dann (ohne Zerfall) die Funktion
a(t) = 1000 - 1000 * [mm] 0,99^t [/mm] = 1000 * [mm] (1-0,99^t)
[/mm]
Wenn ich das Americium nun ebenfalls mit 1% zerfallen lasse ergibt sich
[mm] a_1(t)=1000*(1-0,99^t)*0,99^t
[/mm]
Ist dies so korrekt ?
Kann ich nun rein aus der Funktionsgleichung der Aufgabe entnehmen, dass Plutonium schneller zerfällt, weil die Hochzahl -0,048 kleiner ist als -0,0016 ?
Aber woran erkenne ich rein anschaulich aus dem Schaubild, dass dies so ist ?
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Fr 27.05.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ja deine Überlegungen sind richtig.
2. bei t=0 ist [mm] m_a=0 [/mm] dh. kein A vorhanden. dann steigt die Funktion, also muss mehr A entstehen als zerfallen. nach einiger Zeit ist ein Max entstanden, woher kann das kommen?
denk dran, dass P ja auch weniger wird.
danach fällt die fkt. warum? was zeigt die Steigung am Anfang? was die Steigung nach dem Max?
wieviel P ist wohl am Anfang da?
Gruß ledum
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Am Graphen kannst du nicht erkennen, welche Art schneller zerfällt; sie sehen qualitativ gleich aus. Viel schlimmer noch: Du kannst auch mit Hilfe der Formel nicht entscheiden, welche Substanz welche Zerfallsrate hat.
Ich zeige dir zwei verschiedene Beispiele, die beide passen:
Americium: Menge wie angegeben: [mm] A(t)=200(1-e^{-0,046t})*e^{-0,016t}
[/mm]
[mm] A(t)=200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t}
[/mm]
[mm] A'(t)=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t} [/mm] (*)
------------- Beispiel 1 ----------------
Polonium: Zerfallsrate [mm] \alpha=0,062, [/mm] Menge bei t=0: 9200/62 (Bruch extra nicht gekürzt)
Dann ist [mm] P(t)=9200/62*e^{-0,062t} [/mm] und [mm] P'(t)=-0,062*9200/62*e^{-0,062t}=-9,2*e^{-0,062t}
[/mm]
Americium: Zerfallsrate [mm] \beta=0,016
[/mm]
Der reine Zerfall von Americium ohne Zuwachs durch das Polonium beträgt [mm] \beta*A(t) [/mm] = [mm] 0,016*(200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t})=3,2*e^{-0,016t}-3,2*e^{-0,062t}.
[/mm]
Um diesen Wert nimmt das Americium ab, wird aber gleichzeitig um das zerfallene Plutonium mit [mm] 9,2*e^{-0,062t} [/mm] wieder aufgefüllt. Damit ergibt sich nun
[mm] A'(t)=-(3,2*e^{-0,016t}-3,2*e^{-0,062t})+9,2*e^{-0,062t}=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t} [/mm] in völliger Übereinstimmung mit der vorgegebenen Formel (*).
------------- Beispiel 2 ----------------
[mm] \fbox{Ich vertausche die Zerfallsraten!!!}
[/mm]
Polonium: Zerfallsrate [mm] \alpha=0,016, [/mm] Menge bei t=0: 9200/16 (Bruch extra nicht gekürzt)
Dann ist [mm] P(t)=9200/16*e^{-0,016t} [/mm] und [mm] P'(t)=-0,016*9200/16*e^{-0,016t}=-9,2*e^{-0,016t}
[/mm]
Americium: Zerfallsrate [mm] \beta=0,062
[/mm]
Der reine Zerfall von Americium ohne Zuwachs durch das Polonium beträgt nun [mm] \beta*A(t) [/mm] = [mm] 0,062*(200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t})=12,4*e^{-0,016t}-12,4*e^{-0,062t}.
[/mm]
Um diesen Wert nimmt jetzt das Americium ab, wird aber gleichzeitig um das zerfallene Plutonium mit [mm] 9,2*e^{-0,016t} [/mm] wieder aufgefüllt. Damit ergibt sich nun
[mm] A'(t)=-(12,4*e^{-0,016t}-12,4*e^{-0,062t})+9,2*e^{-0,016t}=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t} [/mm] ebenfalls in völliger Übereinstimmung mit der vorgegebenen Formel (*).
-------------------------- MAN STAUNE! ---------------------
Hier noch mal in Kurzform:
Die angegebene Formel ergibt nach Auflösen der Klammern
[mm] A(t)=200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t}.
[/mm]
Daher ändert sich die Menge Americium pro Zeiteinheit mit
[mm] A'(t)=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}.
[/mm]
Nimmt man an, dass Americium die Zerfallsrate 0,016 hat, so ist der Zerfall ohne die Zulieferung durch das Plutonium
-0,016*A(t)= [mm] -3,2*e^{-0,016t}+3,2*e^{-0,062t}.
[/mm]
Mit der Zulieferung von [mm] 9,2*e^{-0,062t} [/mm] Einheiten Plutonium erhält man genau die erforderliche Änderung. Also hat dann Plutonium die Zerfallsrate 0,062.
Nimmt man an, dass Americium die Zerfallsrate 0,062 hat, so ist der Zerfall ohne die Zulieferung durch das Plutonium
-0,062*A(t)= [mm] -12,4*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}.
[/mm]
Mit der Zulieferung von [mm] 9,2*e^{-0,016t} [/mm] Einheiten Plutonium erhält man genau die erforderliche Änderung. Also hat dann Plutonium die Zerfallsrate 0,016.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Sa 28.05.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo HKJ
ich verstehe nicht was du rechnest mit reinem Zerfall von A ohne Anwesenheit von P?
eine der 2 e fkt kommt doch dann nicht vor, aber du verwendest die gegebene Formel mit Polonium und addierst dann noch mal zusätzlich das Zerfallsprodukt von P??
Gruß leduart
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Wenn man die gegebene Gleichung auflöst, erhält man
[mm] A(t)=200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t}.
[/mm]
Man könnte nun vermuten, dass der erste Summand das hinzukommende Polonium (+) und der zweite das zerfallene Americium (-) beschreibt, was aber nicht stichhaltig ist: Die Gleichung beschreibt nicht die Veränderung, sondern das Vorhandensein der A-Menge, und da sind die Vorzeichen nicht aussagekräftig.
Wie kommt man auf die Gleichung? (Und das beantwortet dann die Frage nach meiner Rechnung)
Modell für Polonium: Startmenge p, Zerfallskonstante [mm] \alpha, [/mm] somit:
[mm] P(t)=p*e^{-\alpha*t}.
[/mm]
Zerfallsrate: [mm] P'(t)=-\alpha*p*e^{-\alpha*t}=-\alpha*P(t).
[/mm]
Modell für Americium:
Menge zunächst unbekannt (obige Formel will ich ja herleiten). Zerfallskonstante [mm] \beta.
[/mm]
Nehme ich das Polonium weg und habe nur das Americium, ist dafür die Zerfallsrate [mm] A_1'(t)=-\beta*A(t).
[/mm]
Lege ich nun wieder das Polonium dazu, entsteht daraus wieder neues Americium mit der Produktionsrate [mm] A_2'(t)=\alpha*P(t)=\alpha*p*e^{-\alpha*t}.
[/mm]
Insgesamt ist also die Änderungsrate des Americiums
[mm] A'(t)=A_1'(t)+A_2'(t)=-\beta*A(t)+\alpha*p*e^{-\alpha*t}
[/mm]
Diese Differenzialgleichung erklärt meine Überlegungen. Sie lässt sich in zwei Schritten durch folgenden Ansatz lösen:
[mm] A(t)=f(t)*e^{-\beta*t}
[/mm]
Dann ist [mm] A'(t)=f'(t)*e^{-\beta*t}-\beta*f(t)*e^{-\beta*t}.
[/mm]
In die Differenzialgleichung eingesetzt, erhält man nun
[mm] f'(t)*e^{-\beta*t}-\beta*f(t)*e^{-\beta*t}=-\beta*f(t)*e^{-\beta*t}+\alpha*p*e^{-\alpha*t}
[/mm]
und somit [mm] f'(t)*e^{-\beta*t}=\alpha*p*e^{-\alpha*t}, [/mm] also
[mm] f'(t)=\alpha*p*e^{(\beta-\alpha)*t}
[/mm]
mit der Lösung [mm] f(t)=\bruch{1}{\beta-\alpha}\alpha*p*e^{(\beta-\alpha)*t} [/mm] + [mm] C=R*e^{(\beta-\alpha)*t} [/mm] + C.
Zusammengefasst erhält man dann:
[mm] A(t)=(R*e^{(\beta-\alpha)*t} [/mm] + [mm] C)*e^{-\beta*t}.
[/mm]
Für A(0)=R+C=0 erhält man R=-C und damit
[mm] A(t)=C(1-e^{(\beta-\alpha)*t})*e^{-\beta*t}
[/mm]
und damit einen Term in genau der angegebenen Form.
An der Herleitung der Differenzialgleichung müsste erkennbar sein, warum ich mal mit und mal ohne Polonium rechne: Das Momentan vorhandene Americium zerfällt mit [mm] \-beta*A(t), [/mm] gleichzeitig kommt aber das zerfallene Polonium als neues Americium hinzu.
Man könnte nun vermuten, dass man an der Form der Gleichung doch erkennen kann, dass das [mm] \beta [/mm] in der ausgeklammerten e-Funktion der Zerfallsrate des Americiums entspricht und damit direkt ablesbar ist. Das ist aber nicht der Fall!
Bei [mm] A(t)=(R*e^{(\beta-\alpha)*t} [/mm] + [mm] C)*e^{-\beta*t} [/mm] ergab sich für A(0)=R+C=0, und man könnte auch C=-R setzen:
A(t)= [mm] (R*e^{(\beta-\alpha)*t} [/mm] - [mm] R)*e^{-\beta*t}=R*e^{-\alpha*t}-R*e^{-\beta*t}=R(1-e^{(\alpha-\beta)*t})*e^{-\alpha*t}
[/mm]
Nun ist auf einmal die e-Funktion dss Poloniums ausgeklammert, aber die Gleichung hat die selbe Form.
Auch folgende Überlegung hilft formal nicht weiter:
Es war [mm] R=\bruch{1}{\beta-\alpha}\alpha*p. [/mm] Wenn [mm] \beta>\alpha [/mm] ist, ist R positiv; sonst ist R negativ und C positiv. Die angegebene Zahl 200 war positiv.
Ich weiß aber nicht, ob diese Zahl das R oder das C ist, weil ich nicht weiß, ob 0,016 das [mm] \alpha [/mm] oder das [mm] \beta [/mm] ist.
Oder anders gesagt: Wenn die Zahl vor der Klammer positiv sein soll, muss gelten:
Wenn [mm] \beta>\alpha [/mm] ist, ist die Zahl das R, und der [mm] \alpha-Term [/mm] steht außerhalb der Klammer.
Wenn [mm] \beta<\alpha [/mm] ist, ist die Zahl das C, und der [mm] \beta-Term [/mm] steht außerhalb der Klammer.
In jedem Fall steht der Term mit der kleineren Zerfallsrate außerhalb, aber man weiß nicht, ob er zu Polonium oder Americium gehört.
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> Am Graphen kannst du nicht erkennen, welche Art schneller
> zerfällt; sie sehen qualitativ gleich aus. Viel schlimmer
> noch: Du kannst auch mit Hilfe der Formel nicht
> entscheiden, welche Substanz welche Zerfallsrate hat.
>
> Ich zeige dir zwei verschiedene Beispiele, die beide
> passen:
>
> Americium: Menge wie angegeben:
> [mm]A(t)=200(1-e^{-0,046t})*e^{-0,016t}[/mm]
>
> [mm]A(t)=200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t}[/mm]
>
> [mm]A'(t)=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}[/mm] (*)
>
>
> ------------- Beispiel 1 ----------------
>
> Polonium: Zerfallsrate [mm]\alpha=0,062,[/mm] Menge bei t=0: 9200/62
> (Bruch extra nicht gekürzt)
>
> Dann ist [mm]P(t)=9200/62*e^{-0,062t}[/mm] und
> [mm]P'(t)=-0,062*9200/62*e^{-0,062t}=-9,2*e^{-0,062t}[/mm]
>
> Americium: Zerfallsrate [mm]\beta=0,016[/mm]
>
> Der reine Zerfall von Americium ohne Zuwachs durch das
> Polonium beträgt [mm]\beta*A(t)[/mm] =
> [mm]0,016*(200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t})=3,2*e^{-0,016t}-3,2*e^{-0,062t}.[/mm]
>
> Um diesen Wert nimmt das Americium ab, wird aber
> gleichzeitig um das zerfallene Plutonium mit
> [mm]9,2*e^{-0,062t}[/mm] wieder aufgefüllt. Damit ergibt sich nun
>
> [mm]A'(t)=-(3,2*e^{-0,016t}-3,2*e^{-0,062t})+9,2*e^{-0,062t}=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}[/mm]
> in völliger Übereinstimmung mit der vorgegebenen Formel
> (*).
>
>
> ------------- Beispiel 2 ----------------
>
>
> [mm]\fbox{Ich vertausche die Zerfallsraten!!!}[/mm]
>
> Polonium: Zerfallsrate [mm]\alpha=0,016,[/mm] Menge bei t=0: 9200/16
> (Bruch extra nicht gekürzt)
>
> Dann ist [mm]P(t)=9200/16*e^{-0,016t}[/mm] und
> [mm]P'(t)=-0,016*9200/16*e^{-0,016t}=-9,2*e^{-0,016t}[/mm]
>
> Americium: Zerfallsrate [mm]\beta=0,062[/mm]
>
> Der reine Zerfall von Americium ohne Zuwachs durch das
> Polonium beträgt nun [mm]\beta*A(t)[/mm] =
> [mm]0,062*(200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t})=12,4*e^{-0,016t}-12,4*e^{-0,062t}.[/mm]
>
> Um diesen Wert nimmt jetzt das Americium ab, wird aber
> gleichzeitig um das zerfallene Plutonium mit
> [mm]9,2*e^{-0,016t}[/mm] wieder aufgefüllt. Damit ergibt sich nun
>
> [mm]A'(t)=-(12,4*e^{-0,016t}-12,4*e^{-0,062t})+9,2*e^{-0,016t}=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}[/mm]
> ebenfalls in völliger Übereinstimmung mit der
> vorgegebenen Formel (*).
>
> -------------------------- MAN STAUNE!
> ---------------------
>
> Hier noch mal in Kurzform:
>
> Die angegebene Formel ergibt nach Auflösen der Klammern
> [mm]A(t)=200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t}.[/mm]
>
> Daher ändert sich die Menge Americium pro Zeiteinheit mit
> [mm]A'(t)=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}.[/mm]
>
> Nimmt man an, dass Americium die Zerfallsrate 0,016 hat, so
> ist der Zerfall ohne die Zulieferung durch das Plutonium
>
> -0,016*A(t)= [mm]-3,2*e^{-0,016t}+3,2*e^{-0,062t}.[/mm]
>
> Mit der Zulieferung von [mm]9,2*e^{-0,062t}[/mm] Einheiten Plutonium
> erhält man genau die erforderliche Änderung. Also hat
> dann Plutonium die Zerfallsrate 0,062.
>
> Nimmt man an, dass Americium die Zerfallsrate 0,062 hat, so
> ist der Zerfall ohne die Zulieferung durch das Plutonium
>
> -0,062*A(t)= [mm]-12,4*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}.[/mm]
>
> Mit der Zulieferung von [mm]9,2*e^{-0,016t}[/mm] Einheiten Plutonium
> erhält man genau die erforderliche Änderung. Also hat
> dann Plutonium die Zerfallsrate 0,016.
Guten Abend HJK !
Ich hatte an der Aufgabe auch schon etwas gerätselt und einen
Antwortversuch dann doch wieder abgebrochen.
Jetzt sehe ich, dass du das gleiche Ziel hattest und es dann
aber auch erreicht hast.
Besten Dank für die Erläuterungen. Die Aufgabe ist damit
deutlich interessanter als man zunächst denken konnte.
LG , Al
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Hallo Al,
auch mich hat die Tatsache überrascht, dass beim Tausch der Zerfallsraten für die zweite Substanz das selbe Gesetz herauskommt. (Habe auch einen ganzen Tag daran herumgeknobelt.)
Vermutlich kann man es damit vergleichen, dass es egal ist, ob man auf einen Wert zunächst 30 % und dann 5 % oder zuerst 5 % und dann 30 % aufschlägt. Offensichtlich ist das aber nicht.
LG, HJ
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> > Am Graphen kannst du nicht erkennen, welche Art schneller
> > zerfällt; sie sehen qualitativ gleich aus. Viel schlimmer
> > noch: Du kannst auch mit Hilfe der Formel nicht
> > entscheiden, welche Substanz welche Zerfallsrate hat.
> >
> > Ich zeige dir zwei verschiedene Beispiele, die beide
> > passen:
> >
> > Americium: Menge wie angegeben:
> > [mm]A(t)=200(1-e^{-0,046t})*e^{-0,016t}[/mm]
> >
> > [mm]A(t)=200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t}[/mm]
> >
> > [mm]A'(t)=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}[/mm] (*)
> >
> >
> > ------------- Beispiel 1 ----------------
> >
> > Polonium: Zerfallsrate [mm]\alpha=0,062,[/mm] Menge bei t=0: 9200/62
> > (Bruch extra nicht gekürzt)
> >
> > Dann ist [mm]P(t)=9200/62*e^{-0,062t}[/mm] und
> > [mm]P'(t)=-0,062*9200/62*e^{-0,062t}=-9,2*e^{-0,062t}[/mm]
> >
> > Americium: Zerfallsrate [mm]\beta=0,016[/mm]
> >
> > Der reine Zerfall von Americium ohne Zuwachs durch das
> > Polonium beträgt [mm]\beta*A(t)[/mm] =
> >
> [mm]0,016*(200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t})=3,2*e^{-0,016t}-3,2*e^{-0,062t}.[/mm]
> >
> > Um diesen Wert nimmt das Americium ab, wird aber
> > gleichzeitig um das zerfallene Plutonium mit
> > [mm]9,2*e^{-0,062t}[/mm] wieder aufgefüllt. Damit ergibt sich nun
> >
> >
> [mm]A'(t)=-(3,2*e^{-0,016t}-3,2*e^{-0,062t})+9,2*e^{-0,062t}=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}[/mm]
> > in völliger Übereinstimmung mit der vorgegebenen Formel
> > (*).
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> > ------------- Beispiel 2 ----------------
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> >
> > [mm]\fbox{Ich vertausche die Zerfallsraten!!!}[/mm]
> >
> > Polonium: Zerfallsrate [mm]\alpha=0,016,[/mm] Menge bei t=0: 9200/16
> > (Bruch extra nicht gekürzt)
> >
> > Dann ist [mm]P(t)=9200/16*e^{-0,016t}[/mm] und
> > [mm]P'(t)=-0,016*9200/16*e^{-0,016t}=-9,2*e^{-0,016t}[/mm]
> >
> > Americium: Zerfallsrate [mm]\beta=0,062[/mm]
> >
> > Der reine Zerfall von Americium ohne Zuwachs durch das
> > Polonium beträgt nun [mm]\beta*A(t)[/mm] =
> >
> [mm]0,062*(200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t})=12,4*e^{-0,016t}-12,4*e^{-0,062t}.[/mm]
> >
> > Um diesen Wert nimmt jetzt das Americium ab, wird aber
> > gleichzeitig um das zerfallene Plutonium mit
> > [mm]9,2*e^{-0,016t}[/mm] wieder aufgefüllt. Damit ergibt sich nun
> >
> >
> [mm]A'(t)=-(12,4*e^{-0,016t}-12,4*e^{-0,062t})+9,2*e^{-0,016t}=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}[/mm]
> > ebenfalls in völliger Übereinstimmung mit der
> > vorgegebenen Formel (*).
> >
> > -------------------------- MAN STAUNE! ---------------------
> >
> > Hier noch mal in Kurzform:
> >
> > Die angegebene Formel ergibt nach Auflösen der Klammern
> > [mm]A(t)=200*e^{-0,016t}-200*e^{-0,062t}.[/mm]
> >
> > Daher ändert sich die Menge Americium pro Zeiteinheit mit
> > [mm]A'(t)=-3,2*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}.[/mm]
> >
> > Nimmt man an, dass Americium die Zerfallsrate 0,016 hat, so
> > ist der Zerfall ohne die Zulieferung durch das Plutonium
> >
> > -0,016*A(t)= [mm]-3,2*e^{-0,016t}+3,2*e^{-0,062t}.[/mm]
> >
> > Mit der Zulieferung von [mm]9,2*e^{-0,062t}[/mm] Einheiten Plutonium
> > erhält man genau die erforderliche Änderung. Also hat
> > dann Plutonium die Zerfallsrate 0,062.
> >
> > Nimmt man an, dass Americium die Zerfallsrate 0,062 hat, so
> > ist der Zerfall ohne die Zulieferung durch das Plutonium
> >
> > -0,062*A(t)= [mm]-12,4*e^{-0,016t}+12,4*e^{-0,062t}.[/mm]
> >
> > Mit der Zulieferung von [mm]9,2*e^{-0,016t}[/mm] Einheiten Plutonium
> > erhält man genau die erforderliche Änderung. Also hat
> > dann Plutonium die Zerfallsrate 0,016.
>
>
>
> Guten Abend HJK !
>
> Ich hatte an der Aufgabe auch schon etwas gerätselt und
> einen
> Antwortversuch dann doch wieder abgebrochen.
>
> Jetzt sehe ich, dass du das gleiche Ziel hattest und es
> dann
> aber auch erreicht hast.
>
> Besten Dank für die Erläuterungen. Die Aufgabe ist damit
> deutlich interessanter als man zunächst denken konnte.
>
> LG , Al
Physikalischer Nachtrag:
Eine Korrektur muss trotzdem noch angegeben werden:
Bei dem anfänglichen Isotop der Zerfallskette handelt es sich
nicht um Polonium-241, sondern um Plutonium-241.
Polonium-241 gibt es nicht, aber z.B. das Isotop Polonium-214.
Plutonium-241 kann eventuell über eine längere Zerfallskette
der ![[]](/images/popup.gif) Neptunium-Reihe über Americium-241 oder Uran-237 und
einige weitere Stufen zu Polonium-213 zerfallen, welches aber
ebenfalls nicht stabil ist und weiter bis zu Wismut mit einer
kosmologischen Halbwertszeit zerfällt.
LG , Al-Chw.
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> Hallo zusammen,
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> ich habe mir es nun mal mit anderen Zahlen verdeutlicht.
> Angenommen, ich habe 1000 g Plutonium und dieses zerfällt
> mit 1% pro Jahr.
> Dann wäre die Funktion Plutoniumfunktion p(t) = 1000 *
> [mm]0,99^t[/mm]
>
> Das entstehende Americium hätte dann (ohne Zerfall) die
> Funktion
> a(t) = 1000 - 1000 * [mm]0,99^t[/mm] = 1000 * [mm](1-0,99^t)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich das Americium nun ebenfalls mit 1% zerfallen lasse
Warum machst du das. in der Aufgabe sind beide Werte unterschiedlich, und es geht gerade darum, diese unterschiedlichen Werte zuzuordnen.
> ergibt sich
> [mm]a_1(t)=1000*(1-0,99^t)*0,99^t[/mm]
>
> Ist dies so korrekt ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein. Hättest du zu Beginn des Jahres [mm] a_1(t)=1000*(1-0,99^t), [/mm] so könntest du nun mit [mm] 0,99^t [/mm] multiplizieren. Aber
- Diese Menge hast du ja erst am Jahresende, rechnest aber bei deinem Jahreszerfall so, als wäre sie schon am Anfang des Jahres dagewesen. Am Anfang hast du noch gar kein Americium, da kann ja noch gar nichts zerfallen.
- Während des Jahres kommt immer wieder etwas hinzu, das auch schon zerfällt, und das wird ebenso nicht berücksichtigt.
Du musst eine Differenzialgleichung aufstellen. Siehe hierzu meine beiden anderen Beiträge.
> Kann ich nun rein aus der Funktionsgleichung der Aufgabe
> entnehmen, dass Plutonium schneller zerfällt, weil die
> Hochzahl -0,048 kleiner ist als -0,0016 ?
>
> Aber woran erkenne ich rein anschaulich aus dem Schaubild,
> dass dies so ist ?
>
> Viele Grüße
> Rubi
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