Zerfallsaufgabe Nr.2 < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Das radioaktive Isotop Polonium 210 hat eine physikalische Halbwertszeit von 139 Tagen.
a) Zeigen Sie dass das Zerfallsgesetz für Polonium [mm] N(t)=N_0*0,9950^t [/mm] lautet.
b) Wann sind von 1 mg Polonium 210 noch 0,1 mg vorhanden?
c) Der ehemalige russische Agent und spätere Putinkritiker Alexander Litwinenko starb am 23.11.2006 an einer Polonium 210 Vergiftung. Angenommen man hat an diesem Tag eine Polonium-Menge von 4 mg in seinem Körper festgestellt, welche Menge muss er am 1. November bekommen haben?
d) Wie groß ist die Zerfallsgeschwindigkeit von 4 mg Polonium am 10. Tag?
e) Polonium hat eine biologische Halbwertszeit von 50 Tagen. Der effektive Abbau eines radioaktiven Stoffs im Körper hängt von der biologischen und physikalischen Halbwertszeit ab. Der Zusammenhang aus zwischen diesen Halbwertszeiten ergibt sich aus folgender Formel:
[mm] \bruch{physikalische Halbwertszeit * biologische Halbwertszeit}{physikalische Halbwertszeit + biologische Halbwertszeit}
[/mm]
Berechnen Sie nun mit der effektiven Halbwertszeit welche Menge Polonium verabreicht wurde. Verwenden Sie die Angaben aus c), rechen Sie auf den 5. Dezember genau. |
Hallo,
noch einmal eine Zerfallsaufgabe.
a) ist klar.
b)
[mm] 1*0,9950^t=0,1 [/mm] /:1
[mm] 0,9950^t=0,1/lg
[/mm]
t lg(0,9950)=lg(0,1) /: lg(0,9950)
[mm] \Rightarrow [/mm] 459,36 Tage
Stimmt das?
c)
Wie sich das rechnet, ist mir wieder mal nicht ganz klar.
Ich gehe ja von einer Menge von 4mg aus. Also dachte ich:
4 * [mm] N_0 [/mm] = [mm] N_0 [/mm] * [mm] 0,9950^2^3
[/mm]
Hoch 23, da ja 23 tage vergingen. Scheint aber nicht zu stimmen.
Wie lautet denn da der richtige Ansatz?
Danke
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> Das radioaktive Isotop Polonium 210 hat eine physikalische
> Halbwertszeit von 139 Tagen.
>
> a) Zeigen Sie dass das Zerfallsgesetz für Polonium
> [mm]N(t)=N_0*0,9950^t[/mm] lautet.
>
> b) Wann sind von 1 mg Polonium 210 noch 0,1 mg vorhanden?
>
> c) Der ehemalige russische Agent und spätere Putinkritiker
> Alexander Litwinenko starb am 23.11.2006 an einer Polonium
> 210 Vergiftung. Angenommen man hat an diesem Tag eine
> Polonium-Menge von 4 mg in seinem Körper festgestellt,
> welche Menge muss er am 1. November bekommen haben?
>
> d) Wie groß ist die Zerfallsgeschwindigkeit von 4 mg
> Polonium am 10. Tag?
>
> e) Polonium hat eine biologische Halbwertszeit von 50
> Tagen. Der effektive Abbau eines radioaktiven Stoffs im
> Körper hängt von der biologischen und physikalischen
> Halbwertszeit ab. Der Zusammenhang aus zwischen diesen
> Halbwertszeiten ergibt sich aus folgender Formel:
>
> [mm]\bruch{physikalische Halbwertszeit * biologische Halbwertszeit}{physikalische Halbwertszeit + biologische Halbwertszeit}[/mm]
>
> Berechnen Sie nun mit der effektiven Halbwertszeit welche
> Menge Polonium verabreicht wurde. Verwenden Sie die
> Angaben aus c), rechen Sie auf den 5. Dezember genau.
> Hallo,
>
> noch einmal eine Zerfallsaufgabe.
>
> a) ist klar.
>
> b)
>
> [mm]1*0,9950^t=0,1[/mm] /:1
> [mm]0,9950^t=0,1/lg[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") du meinst sicher [mm] \bruch{0,1}{1} [/mm] mg
> t lg(0,9950)=lg(0,1) /: lg(0,9950)
> [mm]\Rightarrow[/mm] 459,36 Tage
>
> Stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") warum denn nicht ;)
Mach doch die Gegenprobe: Halbwertszeit 139 Tage, dann wären noch 0,5 mg da. Nach weiteren 138 Tagen wären noch 0,25 mg da. Nach weiteren 139 Tagen wären noch 0,125 mg da. 3*139=417. Du liegst etwas drüber also genau korrekt
>
> c)
>
> Wie sich das rechnet, ist mir wieder mal nicht ganz klar.
>
> Ich gehe ja von einer Menge von 4mg aus. Also dachte ich:
Du hast eine Funktion, die t als Variable für den Tag enthält, oder?
Wenn er am 1. November vergiftet wurde, sind bis zu 23.11.2006 also 23 Tage vergangen. Nach diesen 23 Tagen hatte er 4 mg des Metalls im Plut. Pro Tag werden nach deiner Gleichung [mm]N(t)=N_0*0,9950^t[/mm]
0,9950 an Substanz abgebaut, hier mg. Demnach muss deine Gleichung lauten:
$4 mg = [mm] N_0 [/mm] * [mm] 0,09950^{23}$, [/mm] oder? Du warst also fast richtig, nur die [mm] N_0 [/mm] links brauchst du nicht, denn wieso sollte die 4-fache Menge am Ende vorhanden sein? Das wäre ja verkehrte Welt ;)
>
> 4 * [mm]N_0[/mm] = [mm]N_0[/mm] * [mm]0,9950^2^3[/mm]
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> Hoch 23, da ja 23 tage vergingen. Scheint aber nicht zu
> stimmen.
> Wie lautet denn da der richtige Ansatz?
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ist [mm] N_0=4,48? [/mm] Weil 4mg : [mm] 0,9950^2^3?
[/mm]
Bei e) hab ich einen Tippfehler ausgebessert. Es waren 5 Dezimalstellen gemeint, nicht der 5. Dezember. Hab ich beim Abschreiben falsch interpretiert.
| Aufgabe | e) Polonium hat eine biologische Halbwertszeit von 50 Tagen. Der effektive Abbau eines radioaktiven Stoffs im Körper hängt von der biologischen und physikalischen Halbwertszeit ab. Der Zusammenhang aus zwischen diesen Halbwertszeiten ergibt sich aus folgender Formel:
[mm] \bruch{physikalische Halbwertszeit * biologische Halbwertszeit}{physikalische Halbwertszeit + biologische Halbwertszeit}
[/mm]
Berechnen Sie nun mit der effektiven Halbwertszeit welche Menge Polonium verabreicht wurde. Verwenden Sie die Angaben aus c) rechnen Sie auf 5 Dez. genau. |
effektive HW-Zeit = [mm] \bruch{139*50}{139+50}=36,77
[/mm]
[mm] 0,5*N_0=N_0*a^36,7748 /:N_0
[/mm]
[mm] 0,5=a^3^6^,^7^7 /\wurzel[36,77]{}
[/mm]
0,98132 = a
4mg = [mm] N_0*0,98132^2^3 [/mm] / [mm] :0,98132^2^3
[/mm]
6,17102 mg = [mm] N_0
[/mm]
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo drahmas!
> Ist [mm]N_0=4,48?[/mm] Weil 4mg : [mm]0,9950^2^3?[/mm]
Aber passe mit dem Runden auf. Das stimmt hier so einige Male nicht.
> effektive HW-Zeit = [mm]\bruch{139*50}{139+50}=36,77[/mm]
Einheit?
> [mm]0,5*N_0=N_0*a^36,7748 /:N_0[/mm]
> [mm]0,5=a^3^6^,^7^7 /\wurzel[36,77]{}[/mm]
>
> 0,98132 = a
Runden!!!!
> 4mg = [mm]N_0*0,98132^2^3[/mm] / [mm]:0,98132^2^3[/mm]
> 6,17102 mg = [mm]N_0[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 11.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
ich hätte zu d) noch eine Frage. "Wie groß ist die Zerfallsgeschwindigkeit von 4 Mikrogramm Polonium-210 am 10. Tag?
Wie rechne ich das? Irgendwie hab ich das Gefühl, ich müsste die Differenz zwischen Tag 9 und Tag 10 bilden. Nur wie komme ich da auf die Zerfallsgeschwindigkeit?
Besten Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Di 11.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo drahmas!
Die Zerfallsgeschwindigkeit entspricht der Ableitung der Zerfallsfunktion.
Es gilt hier also $N'(10)_$ zu berechnen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Di 11.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Mhmmm... Danke für die Antwort.
Wie bilde ich denn die Ableitung von N?
Besten Grüße 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Di 11.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Bedenke, dass gilt: [mm]a^x \ = \ \left[e^{\ln(a)}\right]^x \ = \ e^{x*\ln(a)}[/mm] .
Und davon solltest Du die Ableitung doch bilden können ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Di 11.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Leider nein :-( ...
Wofür steht denn das e in diesem Fall. Das kommt ja bei mir in der Formel gar nicht vor? Oder täusche ich mich da?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Leider nein :-( ...
>
> Wofür steht denn das e in diesem Fall.
Für die Eulersche Zahl.
Es gilt : [mm] $e^{ln(a)}= [/mm] a$ für jedes a>0. Daher:
$ [mm] a^x [/mm] \ = \ [mm] \left[e^{\ln(a)}\right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x\cdot{}\ln(a)} [/mm] $
FRED
> Das kommt ja bei
> mir in der Formel gar nicht vor? Oder täusche ich mich
> da?
>
> Danke
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 11.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Ah, okay. Dann ists klar. Mich hat die Eulersche Zahl (e) verwirrt.
Dann müsste es lauten: [mm] e^{10*ln(0,99527)}=0,95135582. [/mm] Sind das dann Tage als Einheit?
Besten Dank
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Hallo drahmas,
> Ah, okay. Dann ists klar. Mich hat die Eulersche Zahl (e)
> verwirrt.
>
> Dann müsste es lauten: [mm]e^{10*ln(0,99527)}=0,95135582.[/mm] Sind
> das dann Tage als Einheit?
Das hat keine Einheit.
Für die Einheit ist der der Faktor vor [mm]e^{10*ln(0,99527)}[/mm] maßgebend.
>
>
> Besten Dank
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Di 11.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Super, danke!
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