Zerlegen von Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mo 13.09.2004 | | Autor: | galaxic |
Hall zusammen,
ich hätte da folgende Aufgabe aus der Vektorgeometrie, die mir Probleme macht. Es geht um die zerlegung eines Vektors in die einzelne Vektoren.
Könnte mir da jemand einen praktischen Lösungsweg verraten.
Aufgabe: Zerlegen Sie den Vektor u nach den Vektoren r, s und t .
-11 2 -3 -8
u = -12 ; r = 5 s = 5 t = -6
1 -2 5 4
Die Lösung wäre u = r - s + 2t
Sorry, dass ich mit der Zeit dränge. Aber ich sollte die Lösung schon Morgen Früh haben.
Aber ich habe im Forum Berichte von echten Mathe-Göttern gelesen, auf die ich jezt zähle  .
Für Antworten Danke ich schon im voraus.
mfg galaxic
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Sali galaxic
in der Regel lassen wir uns im Matheraum nicht so sehr drängen und liefern auch keine pfannenfertigen Lösungen! 
Da es aber ziehmlich eilt, bleibe ich am PC sitzen (da du ja auch online bist) und hoffe aucf einen zügigen, fruchtbaren Dialog, der dich weiter bringt!
Es sind also 4 Vektoren [mm] $\vec{u}$, $\vec{r}$, $\vec{s}$ [/mm] und [mm] $\vec{t}$gegeben, [/mm] davon soll [mm] $\vec{u}$ [/mm] zerlegt werden in die anderen drei.
Was heisst das denn?
Das heisst, es sind die Komponenten $x$, $y$ und $z$ gesucht, so dass gilt:
[mm] $\vec{u} [/mm] = [mm] x*\vec{r} [/mm] + [mm] y*\vec{s} [/mm] + [mm] z*\vec{t}$
[/mm]
Oder ausgeschrieben:
$ [mm] x*\begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix}+y*\begin{pmatrix}-3\\5\\5\end{pmatrix}+z*\begin{pmatrix}-8\\-6\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-11\\-12\\1\end{pmatrix}$
[/mm]
Du brauchst dich jetzt nur noch zu erinnern, irgendwo gehört zu haben, dass eine Vektorgleichung in drei einzelne Gleichungen zerlegt werden kann (für jede der Vektorkomponenten ergibt sich eine Gleichung). Dann sollte es 3 Gleichungen geben in den 3 Unbekannten $x$, $y$ und $z$.
Kannst du diese Gleichungen mal aufstellen und hier zeigen?
Mit lieben Grüssen vom Thurgau in den Aargau
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mo 13.09.2004 | | Autor: | galaxic |
Hallo Paulus,
Dass ging ja schnell.
Ich versuche die Gleichungen aufzulösen.
Also ich brauche schon noch einen moment.
Auch liebe Grüsse aus dem Aargau nach Thurgau.
mfg
galaxic
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mo 13.09.2004 | | Autor: | galaxic |
Hey Paulus,
Ich habe noch eine kleine Frage:
"Unter den Komponenten x, y, z verstehst du Streckungs oder Stauchungsfaktor, oder?
mfg
galaxic
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo galaxic
Ja, genau. Einfach eine reelle Zahl, mit der der ganze Vektor multipliziert wird. Also jede Komponente des Vektors.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mo 13.09.2004 | | Autor: | galaxic |
Hallo Paulus,
Zum Glück kann ich auf dich zählen.
Bin mit den Gleichungen gelich fertig.
mfg
galaxic
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 13.09.2004 | | Autor: | galaxic |
Hallo Paulus,
2x+11-3y
z=--------------
6
Ich habe nach dem gleichen Prinzip für die 2.Zeile gemacht, und die beiden Gleichungen gleichgesetzt ( beide Gleichungen sind ja nach z aufgelöst).
Ist das soweit richtig?
mfg galaxic
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo galaxis
ich denke, im Nenner sollte nicht 6, sondern 8 stehen.
Dann ist das schon richtig. Ich frage mich aber, warum du nach z auflöst.
Ich wäre ganz einfach so vorgegangen:
Die Vektorgleichung lautete ja:
[mm] $x*\begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix}+y*\begin{pmatrix}-3\\5\\5\end{pmatrix}+z*\begin{pmatrix}-8\\-6\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-11\\-12\\1\end{pmatrix}$
[/mm]
Betrachtest du die 1. Komponente der Vektoren, so erhältst du daraus:
$2x-3y-8z=-11$
Die 2. Komponente ergibt:
$5x+5y-6z=-12$
... und die 3. Komponente ergibt:
$-2x+5y+4z=1$
Kannst du diese 3 Gleichungen jetzt nach den 3 Unbekannten auflösen?
Falls nicht, dann helfe ich dir selbstverständlich schon weiter. Sage es bitte rechtzeitig, damit du morgen wieder ausgeruht bist!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mo 13.09.2004 | | Autor: | galaxic |
Hallo Paul,
Ja, nach diesem Prinzip bin ich vorgegangen.
2x-3y-8z =-11
Danach habe ich diese Gleichung nach z aufgelöst.
2x+11-3y
z = ---------------
8
Aber am besten gibst du mir eine Musterlösung, ich glaube sonst läuft mir wirklich die Zeit davon.
mfg galaxic
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo galaxic
Also, wir haben das Gleichungssystem
$2x-3y-8z=-11$
$5x+5y-6z=-12$
$-2x+5y+4z=1$
Jetzt versucht man ganz einfach, mit Hilfe der 1. Gleichung die $x$ in der 2. und in der 3. Gleichung wegzubringen.
Wenn ich das mal ganz langsam mache, sieht das so aus:
Multipliziere die 1. Gleichung mit $-5$ und die 2. Gleichung mit $2$. Dadurch gibt es bei den $x$-Werten entgegengesetzte Koeffizienten:
$-10x+15y+40z=55$
$10x+10y-12z=-24$
$-2x+5y+4z=1$
Jetzt kannst du einfach die 1. Gleichung zur 2. Addieren:
$-10x+15y+40z=55$
$ 25y+28z=31$
$-2x+5y+4z=1$
Die 1. Gleichung kann wieder in der ursprünglichen Form geschrieben werden:
$2x-3y-8z=-11$
$25y+28z=31$
$-2x+5y+4z=1$
Mit Hilfe der 1. Gleichung nun noch die $x$ in der 3. Gleichung wegbringen! Zum Glück sind da schon entgegengesetzte Koeffizienten, wir brauchen also einfach die 1. Gleichung uzur 3. zu addieren:
$2x-3y-8z=-11$
$25y+28z=31$
$2y-4z=-10$
Der Blick streift über die Gleichungen um zu schauen, ob da dividiert werden kann. Ja, die 3. Gleichung kann durch 2 dividiert werden:
$2x-3y-8z=-11$
$25y+28z=31$
$y-2z=-5$
Nach Schema "f" würde man nun mit Hilfe der 2. Gleichung in der 3. Gleichung das $y$ eliminieren. Einfacher scheint es zu gehen, wenn man zunächst die 2. und die 3. Gleichungen vertausche:
$2x-3y-8z=-11$
$y-2z=-5$
$25y+28z=31$
Jetzt kann die 2. Gleichung mit $-25$ multipliziert...
$2x-3y-8z=-11$
$-25y+50z=125$
$ 25y+28z=31$
... und zur 3. Gleichung addiert werden:
$2x-3y-8z=-11$
$-25y+50z=125$
$78z=156$
Die 2. Gleichung schreibe ich wieder in der ursprünglichen Form hin, die 3. lässt sich durch 78 dividieren:
$2x-3y-8z=-11$
$y-2z=-5$
$z=2$
$z=2$ kann jetzt in den übrigen Gleichungen eingesetzt werden:
$2x-3y-16=-11$
$y-4=-5$
$z=2$
oder:
$2x-3y=5$
$y=-1$
$z=2$
$y=-1$ kann noch in der 1. Gleichung eingesetzt werden:
$2x+3=5$
$y=-1$
$z=2$
oder:
$2x=2$
$y=-1$
$z=2$
oder:
$x=1$
$y=-1$
$z=2$
Fertig!
Erinnern wir uns nochmals an den Anfang:
[mm] $\vec{u}=x*\vec{r}+y*\vec{s}+z*\vec{t}$
[/mm]
dann kann man jetzt die errechneten Werte einsetzen und erhält:
[mm] $\vec{u}=\vec{r}-\vec{s}+2*\vec{t}$
[/mm]
in Uebereinstimmung mit deiner Musterlösung!
P.S. mit ein Wenig Uebung wird man nicht immer die ganzen Gleichungen mit den Variablen notieren, sondern bedient sich einer abgekürzten Schreibweise: der Matrizenschreibweise.
Dazu bei entsprechender Frage vielleicht später mehr. Jetzt ists ja Zeit zum Verdauen und zum Ausruhen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Mo 13.09.2004 | | Autor: | galaxic |
Paulus,
Du bist wirklich der Mathe-Gott.
Also besser hätte mir das Niemand erklären können, habe alles verstanden und werde es mit vergleichbaren Aufgaben noch üben.
Auf jeden Fall vielen Dank.
Morgen habe ich noch die letzte Gelegenheit vor einige Fragen in der Lerngruppe zu stellen und übermorgen gibt es dann schon die Prüfung.
Falls du Morgen Abend vielleicht, also nur wenn du willst, ein bisschen Zeit hättest würde es mich sehr freuen und bestimmt fördern.
Gute Nacht
Galaxic
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Die Nacht ist ewig, der Morgen stribt nie. (unbekannter Autor)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Di 14.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo galaxic
> Paulus,
> Du bist wirklich der Mathe-Gott.
Na, na, so schlimm wirds ja nicht sein! Sollte ich morgen nicht da sein (ich habs zwar im Sinn, aber man weiss ja nie), dann gibts noch viel kompetentere Mathematiker in diesem Forum!
Was heisst übrigens: der Morgen stribt nie? Vielleicht der Morgen stirbt nie?
Mit lieben Grüssen
Paul
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