Zerlegung Symmetrische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei Z die Menge der Zerlegungen vom Typ 2,2 von [mm] \{1,2,3,4\}.
[/mm]
(i) Bestimmen sie Sym(Z) |
Ich verstehe nicht, was die Zerlegung des Typs 2 ist.
Ich kann mir nur Vorstellen, dass es ungefähr so was sein kann:
[mm] $Z:=\{S\in\ \mathcal{P}(S_4)\mbox{ }| \mbox{ }|S|=2\}$
[/mm]
Also [mm] S_1=\{(12)\},S_2=\{(13)\},S_3=\{(14)\}...usw.
[/mm]
Stimmt das??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:58 Do 10.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei Z die Menge der Zerlegungen vom Typ 2,2 von
> [mm]\{1,2,3,4\}.[/mm]
Eine Zerlegung einer Menge $X$ ist eine (geordnete, endliche) Menge von Teilmengen [mm] $\{ A_1, \dots, A_n \} \subseteq [/mm] Potenzmenge(X)$ mit [mm] $A_i \neq \emptyset$, A_i \cap A_j [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] fuer $i [mm] \neq [/mm] j$, und [mm] $\bigcup_{i=1}^n A_i [/mm] = X$. Der Typ davon ist [mm] $|A_1|, |A_2|, [/mm] ..., [mm] |A_n|$.
[/mm]
Eine Zerlegung vom Typ 2,2 von [mm] $\{ 1, 2, 3, 4 \}$ [/mm] ist also ein Paar $(A, B)$ mit $A, B [mm] \neq \empyset$, [/mm] $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] und $A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \{ 1, 2, 3, 4 \}$ [/mm] und $|A| = |B| = 2$.
> (i) Bestimmen sie Sym(Z)
> Ich verstehe nicht, was die Zerlegung des Typs 2 ist.
>
> Ich kann mir nur Vorstellen, dass es ungefähr so was sein
> kann:
>
> [mm]Z:=\{S\in\ \mathcal{P}(S_4)\mbox{ }| \mbox{ }|S|=2\}[/mm]
Wenn du eine Zerlegung $(A, B)$ hast wie ich sie oben geschrieben hatte, dann ist $B = [mm] \{ 1, 2, 3, ,4 \} \subseteq [/mm] A$. Damit reicht es aus, $Z$ als die Menge der zweielementigen Teilmengen von [mm] $\{ 1, 2, 3, 4 \}$ [/mm] zu betrachten.
Wenn du also $Z = [mm] \{ S \subseteq \{ 1, 2, 3, 4 \} \mid |S| = 2 \}$ [/mm] nimmst, passt es.
Warum du aber Teilmengen von der Potenzmenge von [mm] $S_4$ [/mm] nehmen willst, erschliesst sich mir nicht ganz...
LG Felix
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