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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 So 02.03.2008 | | Autor: | Hund |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] eine offene Menge im [mm] \IR^{n} [/mm] und [mm] f_{1};...;f_{r} [/mm] aus [mm] C(\Omega) [/mm] mit [mm] \summe_{j=1}^{r}{|f_{j}(x)|}>0 [/mm] für alle x aus [mm] \Omega.
[/mm]
Konstruieren Sie [mm] g_{1};...;g_{r} [/mm] aus [mm] C(\Omega) [/mm] mit [mm] \summe_{j=1}^{r}{g_{j}(x)f_{j}(x)}=1 [/mm] für alle x aus [mm] \Omega. [/mm] |
Hallo,
also ich habe die Behauptung zunächst lokal gezeigt.
Sei y aus [mm] \Omega. [/mm] Wegen der vorausgesetzten Summeneigenschaft gibt es ein i aus {1;...;r} mit [mm] f_{i}(y) [/mm] nicht 0 und wegen der Stetigkeit gilt die auf einer offenen Umgebung U(y) von y. Definiere nun für x aus U(y) und j=1;...;r:
[mm] h_{j}(x)=\begin{cases} \bruch{1}{f_{i}(x)}, & \mbox{für } j \mbox{=i} \\ 0, & \mbox{für } j \mbox{ aus {1;...;r}\{i}} \end{cases} [/mm] und in sonstigen Stellen beliebig.
Diese Funktionen sind stetig auf U(y) und es gilt [mm] \summe_{j=1}^{r}{h_{j}(x)f_{j}(x)}=1 [/mm] für x aus U(y).
Somit ist die Behauptung lokal gezeigt. Globalisierung durch ZdE.
Die U(y) bilden eine offene Überdeckung von [mm] \Omega. [/mm] Es gibt also eine abzählbare Teilüberdeckung [mm] U_{i} [/mm] und [mm] a_{i} [/mm] aus [mm] C(\Omega) [/mm] mit:
(a) supp [mm] a_{i} [/mm] ist enthalten in [mm] U_{i}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}{a_{i}(x)}=1
[/mm]
Nach dem oberen gibt es zu i Funktionen [mm] h_{i1};...;{ir} [/mm] aus [mm] C(U_{i}) [/mm] mit [mm] \summe_{j=1}^{r}{h_{ij}(x)f_{j}(x)}=1 [/mm] für x aus [mm] U_{i}.
[/mm]
Definiere für J=1;...;r und x aus [mm] \Omega:
[/mm]
[mm] g_{j}(x)=\summe_{i=1}^{\infty}{a_{i}(x)h_{ij}(x)}.
[/mm]
Diese Funktionen sind offenbar stetig und es gilt:
[mm] \summe_{j=1}^{r}{g_{j}(x)f_{j}(x)}=\summe_{j=1}^{r}{\summe_{i=1}^{\infty}{a_{i}(x)h_{ij}(x)}f_{j}(x)}=1 [/mm] für alle x aus [mm] \Omega, [/mm] was zu Zeigen war.
Ist das so richtig?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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Hi,
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine offene Menge im [mm]\IR^{n}[/mm] und [mm]f_{1};...;f_{r}[/mm]
> aus [mm]C(\Omega)[/mm] mit [mm]\summe_{j=1}^{r}{|f_{j}(x)|}>0[/mm] für alle x
> aus [mm]\Omega.[/mm]
>
> Konstruieren Sie [mm]g_{1};...;g_{r}[/mm] aus [mm]C(\Omega)[/mm] mit
> [mm]\summe_{j=1}^{r}{g_{j}(x)f_{j}(x)}=1[/mm] für alle x aus
> [mm]\Omega.[/mm]
> Hallo,
>
> also ich habe die Behauptung zunächst lokal gezeigt.
>
> Sei y aus [mm]\Omega.[/mm] Wegen der vorausgesetzten
> Summeneigenschaft gibt es ein i aus {1;...;r} mit [mm]f_{i}(y)[/mm]
> nicht 0 und wegen der Stetigkeit gilt die auf einer offenen
> Umgebung U(y) von y. Definiere nun für x aus U(y) und
> j=1;...;r:
>
> [mm]h_{j}(x)=\begin{cases} \bruch{1}{f_{i}(x)}, & \mbox{für } j \mbox{=i} \\ 0, & \mbox{für } j \mbox{ aus {1;...;r}\{i}} \end{cases}[/mm]
> und in sonstigen Stellen beliebig.
>
> Diese Funktionen sind stetig auf U(y) und es gilt
> [mm]\summe_{j=1}^{r}{h_{j}(x)f_{j}(x)}=1[/mm] für x aus U(y).
OK.
>
> Somit ist die Behauptung lokal gezeigt. Globalisierung
> durch ZdE.
> Die U(y) bilden eine offene Überdeckung von [mm]\Omega.[/mm] Es
> gibt also eine abzählbare Teilüberdeckung [mm]U_{i}[/mm] und [mm]a_{i}[/mm]
> aus [mm]C(\Omega)[/mm] mit:
> (a) supp [mm]a_{i}[/mm] ist enthalten in [mm]U_{i}[/mm]
> (b) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}{a_{i}(x)}=1[/mm]
>
> Nach dem oberen gibt es zu i Funktionen [mm]h_{i1};...;{ir}[/mm] aus
> [mm]C(U_{i})[/mm] mit [mm]\summe_{j=1}^{r}{h_{ij}(x)f_{j}(x)}=1[/mm] für x
> aus [mm]U_{i}.[/mm]
>
OK.
> Definiere für J=1;...;r und x aus [mm]\Omega:[/mm]
> [mm]g_{j}(x)=\summe_{i=1}^{\infty}{a_{i}(x)h_{ij}(x)}.[/mm]
> Diese Funktionen sind offenbar stetig und es gilt:
>
haha, kann es sein, dass du an der einzigen stelle, an der du unsicher bist, 'offenbar' geschrieben hast? 
also, so 100% offenbar finde ich das nicht, das verdient durchaus ein wenig argumentation. interessant waere zu wissen, ob die [mm] f_i [/mm] also nichtnegativ vorausgesetzt sind.
> [mm]\summe_{j=1}^{r}{g_{j}(x)f_{j}(x)}=\summe_{j=1}^{r}{\summe_{i=1}^{\infty}{a_{i}(x)h_{ij}(x)}f_{j}(x)}=1[/mm]
> für alle x aus [mm]\Omega,[/mm] was zu Zeigen war.
>
> Ist das so richtig?
>
ich denke, dein vorgehen stimmt im grossen und ganzen (siehe anmerkung oben).
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Hund |
Hallo,
danke für deine Antwort. Die [mm] g_{j} [/mm] sind deshalb stetig, weil für ein x die dort genannte ZdE lokal nur endlich viele Summanden hat und somit [mm] g_{j}auf [/mm] einer Umgebung von x stetig ist. Somit ist sie also auch ganz stetig. Weil die Summe lokal endlich ist, darf auch die Umordnung gemacht werden.
Ist das so richtig?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Di 11.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Hund
> danke für deine Antwort. Die [mm]g_{j}[/mm] sind deshalb stetig,
> weil für ein x die dort genannte ZdE lokal nur endlich
> viele Summanden hat und somit [mm]g_{j}auf[/mm] einer Umgebung von x
> stetig ist. Somit ist sie also auch ganz stetig. Weil die
> Summe lokal endlich ist, darf auch die Umordnung gemacht
> werden.
>
> Ist das so richtig?
Ich denke ja. Es fehlt hoechstens noch die Erwaehnung, dass [mm] $a_i h_{ij}$ [/mm] stetig ist, aber das ist eigentlich klar :)
LG Felix
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