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Zerlegung des \mathbb{K}^n < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zerlegung des \mathbb{K}^n: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 So 13.11.2016
Autor: Stala

Aufgabe
Es handelt sich um keine Aufgabe, sondern eine Aussage aus der Einleitung eines Skripts:

Sei die Matrix A [mm] \in \mathbb{K}^{m+n}. [/mm] Seien die Abbildungen [mm] l_a [/mm] und [mm] l_{A^T} [/mm] wie folgt definiert:
[mm] l_A [/mm] : [mm] \quad \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m [/mm]
x [mm] \to [/mm] Ax

[mm] l_{A^T}: \quad \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}^n [/mm]
y [mm] \to [/mm] A^Ty

Dieses Paar von Abbildung zerlegt den [mm] \mathbb{K}^n [/mm] in ein orthokomplementäres Paar von Untervektorräumen, nämlich:

[mm] \mathbb{K}^n [/mm] = kern(A) [mm] \oplus Bild(A^T) [/mm]

Es wird einfach gesagt, dass dies auch der Linearen Algebra bekannt sei. Nur kann ich in meinem LinAlg Unterlagen einen solchen Satz nicht finden, Dualität war da auch nur sehr rudimentär behandelt.

Wenn ich davon ausgehe, dass [mm] \mathbb{K}^n [/mm] = kern(A) [mm] \oplus Bild(A^T), [/mm] dann folgt die Orthogonalität ja recht einfach:
Dann gilt für x [mm] \in \mathbb{K}^n, [/mm] dass es eindeutig bestimmte u,v gibt mit x = u + v und u [mm] \in [/mm] kern(A) und v [mm] \in Bild(A^T). [/mm] Da Au = 0 nach Voraussetzung und v = [mm] A^T [/mm] y nach Konstruktion gilt dann ja:

[mm] v^T [/mm] u = [mm] (A^Ty)^T [/mm] u = [mm] y^T [/mm] Au = 0

also sind u,v, tatsächlich orthogonal.

Nur finde ich keinen Beweis, dass diese Zerlegung [mm] \mathbb{K}^n [/mm] = kern(A) [mm] \oplus Bild(A^T) [/mm] tatsächlich gilt.
Kann mir jemand nen Hinweis geben? Oder auch nur in welcher Literatur man das findet?

VG
Stala

        
Bezug
Zerlegung des \mathbb{K}^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 So 13.11.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

mach dir mal klar, dass du mit deinem Beweis faktisch zeigst, dass der Kern von $A$ und das Bild von [mm] $A^T$ [/mm] orthogonal sind.
Du nimmst halt $u$ aus dem Kern von $A$, $v$ aus dem Bild von [mm] $A^T$ [/mm] und führst deinen Beweis durch.
Daraus folgt sofort, dass der Schnitt aus beiden Mengen nur der Nullvektor ist und die Summe direkt.

Insbesondere sind der Kern und das Bild von [mm] $A^T$ [/mm] beides Teilmengen von [mm] $\IK^n$ [/mm] und damit folgt [mm] $\mathbb{K}^n \supseteq \text{kern}(A) \oplus \text{im}(A^T)$. [/mm]

Dann gilt, dass Rang von $A$ und [mm] $A^T$ [/mm] identisch sind. Damit folgt:
[mm] $\text{dim}(\text{im}(A)) [/mm] = [mm] \text{rang}(A) [/mm]  = [mm] \text{rang}(A^T) [/mm]  =  [mm] \text{dim}(\text{im}(A^T))$ [/mm]

Wegen des []Rangsatzes folgt dann aber sofort:
[mm] $\text{dim}(\IK^n) [/mm] = [mm] \text{dim}(\text{kern}(A)) [/mm] + [mm] \text{dim}(\text{im}(A)) [/mm]  = [mm] \text{dim}(\text{kern}(A)) [/mm] + [mm] \text{dim}(\text{im}(A^T)) [/mm] = [mm] \text{dim}( \text{kern}(A) \oplus \text{im}(A^T))$ [/mm]

D.h. [mm] $\text{kern}(A) \oplus \text{im}(A^T)$ [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] $\IK^n$ [/mm] mit selber Dimension, daher folgt Gleichheit.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Zerlegung des \mathbb{K}^n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 So 13.11.2016
Autor: Stala

Hi Gono,

daran, dass ich ja schon gezeigt habe, dass kern(A) und [mm] Bild(A^T) [/mm] nur den Nullvektor im Schnitt haben, habe ich ja gar nicht gedacht. Der Rest ist simpel mit dem Rangsatz!

Vielen Dank und nen schönen Sonntag!

VG
Stala

Bezug
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